книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

§ 10. Поступательное движение твердого тела

Движение тела будет поступательным, если прямая, проведен­ ная через две любые точки данного тела, перемещается при этом

Очевидно, что участки траекторий, проходимые всеми точками поступательно движущегося тела за один и тот же отрезок времени,

Рис. 13 Рис. 14

при наложении совпадут, а векторы их перемещений при этом будут равны друг другу по величине и направлению.

Отсюда следует, что все точки тела, движущегося поступательно, будут иметь в любой момент времени одинаковые по величине и по направлению векторы скорости и ускорения. Действительно, пусть в момент времени t положение двух точек тх и т 2 тела, движущегося поступательно, характеризуются их радиусами-векторами хх и г2 , при­

твердого тела достаточно знать движение только одной какой-либо

ный момент времени независимо от положения каких-либо его то­ чек относительно оси вращения. Величина

За единицу принимается угловая скорость такого движения, когда за единицу времени тело поворачивается на угол, равный еди­

т. е. линейная скорость v какой-либо точки вращающегося тела равна произведению ее угловой скорости со на радиус вращения г.

Угловую скорость вращения тела условились считать вектором, направление которого определяется известным' правилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то на­ правление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что вектор угловой скорости всегда направлен параллельно оси вращения в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения (рис. 17, а, б).

Зависимость между линейной и угловой скоростью можно вы­ разить в векторном виде. Так, вектор линейной скорости v точки А вращающегося тела, направленный по касательной к ее траекто­ рии, и радиус вращения, направленный от оси вращения Ох02 к точке А, взаимно перпендикулярны. Вектор угловой скорости со на­ правлен по оси вращения и, следовательно, перпендикулярен век­ торам v и г, лежащим в плоскости вращения. Таким образом, три взаимно перпендикулярных вектора v, со и г образуют так называе­ мую правовинтовую систему векторов: если головку винта вращать по кратчайшему пути от вектора со к вектору г, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора линейной скорости v. Следовательно, связь между векторами линейной и угловой скорости можно выразить в виде векторной формулы, опре­ деляющей и величину и направление вектора линейной скорости через векторы угловой скорости и радиус вращения:

/\

—ыг sin(co, г) =сог, так как синус угла между взаимно перпендику­ лярными векторами со и г равен единице.

Впрочем, указанный вид связи между векторами линейной и угловой скорости какой-либо точки вращающегося тела v = coXR сохраняется и тогда, когда положение данной точки А определяет­ ся ее радиусом-вектором R, проведенным к ней из любой точки оси

вращающегося тела, так как за равные отрезки времени все точки тела поворачиваются на одинаковые углы. Значит, линейные ско­ рости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения г.

§ 13. Угловое ускорение

Если вращательное движение неравномерное, то его угловая скорость с течением времени изменяется. О том, насколько быстро она изменяется, свидетельствует угловое ускорение. Определим его величину.

изменения угловой скорости Дсо к соответствующему отрезку вре­ мени At при условии, что Аг-> 0, т. е. производная от угловой скоро­ сти по времени, и является угловым ускорением, характеризующим

быстроту изменения угловой скорости в данный момент времени:

- ~ 5 - ( 2 ) = 4 - (1 -27,)

т. е. оно оказывается равным второй производной от угла враще­

= Т~2. За единицу принимается угловое ускорение такого враща­ тельного движения, когда за единицу времени его угловая скорость изменяется на 1 рад/с.

Угловое ускорение, как и угловая скорость, считается векторной величиной. При неизменном положении оси вращения вектор угло­ вого ускорения направлен параллельно угловой скорости, если вра­ щение ускоренное. Если же вращательное движение является за­

стью о). Так, касательное ускорение данной точки равно производ­ ной по времени от величины ее линейной скорости V.

dv

w, = — или, так как v = cor, dt

т. е. касательное ускорение точки равно произведению углового уско­ рения тела на радиус вращения.

Таким образом, касательные составляющие линейных ускоре­ ний точек вращающегося тела пропорциональны их расстоянию до

Таким образом, зная угловую скорость и угловое ускорение вра­ щательного движения, можно определить и величину линейного ускорения любой точки вращающегося тела, если задано ее рас­ стояние до оси вращения. Из угловых характеристик вращательно­ го движения можно определить и направление вектора линейного ускорения данной точки тела. Отношение касательного ускорения к центростремительному (рис. 18) равно тангенсу угла у, образуе­ мого вектором полного ускорения w данной точки тела с радиусом вращения, проведенным в эту точку:

Зная угловое ускорение вращающегося тела как функцию вре­ мени и начальные условия (т. е. положение тела и его угловую.ско­ рость в некоторый начальный момент времени), путем интегриро­ вания можно определить его угловую скорость и величину угла поворота в любой момент времени (как это делалось выше для соответствующих линейных характеристик движения).

т. е. зависимость координат движущегося тела от времени безотно­ сительно к причинам, вызывающим движение и определяющим его характер. Выяснение этих причин и их влияния на характер движе­ ния является, безусловно, весьма важным для познания механи­ ческого, движения.

Опыт показывает, что состояние движения какого-либо тела мо­ жет изменяться только в результате его взаимодействия с други­ ми телами. При этом характер движения тела зависит как от дру­

Раздел механики, называемый динамикой, устанавливает связь между характером движения тел и их взаимодействием как причи­ ной, вызывающей и определяющей его. Иными словами, динамика

устанавливает закономерную причинную зависимость кинемати­ ческих характеристик движения от величин, определяющих взаимо­ действие тел, которое обусловливает характер движения. Частный случай динамики — статика — изучает условия равновесия тел, на­ ходящихся под воздействием других тел.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, ко­ торая называется силой. Сила является количественной мерой дей­ ствий тел друг на друга, в результате которых они изменяют со­ стояние своего движения.

Понятие о силе как о физической величине возникло на основе известного физиологического ощущения мускульного усилия, необ­ ходимого для изменения скорости движения тел. Так, чтобы приве­ сти в движение покоящуюся тележку, рабочий должен с определен­ ным усилием толкать ее в направлении движения, а чтобы остановить движущуюся тележку, он должен приложить усилие, направленное противоположно направлению ее движения.

Изменение состояния движения какого-либо тела всегда вызы­ вается действием на него сил, исходящих от определенных других тел. Так, планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орби­ там потому, что на них со стороны Солнца действует сила притя­ жения; снаряд вылетает из канала ствола орудия вследствие дей­ ствия на него силы давления пороховых газов; деревянный шар, катящийся по горизонтальной песчаной дорожке, замедляет свое движение, так как ему препятствует сила трения, действующая со стороны дорожки, и т. д.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со сторо­ ны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние рав­ номерного прямолинейного движения считается неизменным со­ стоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью и равным нулю ускорением. Состояние покоя можно считать частным случаем рав­ номерного прямолинейного движения, скорость которого рав­ на нулю.

Если же скорость тела с течением времени изменяется, т. е. если тело обладает ускорением, то состояние движения его будет изме­ няться. Отсюда следует, что силы, будучи причинами изменения состояния движения, характеризуют взаимодействия тел, в резуль­ тате которых они приобретают ускорения.

Сила как количественная мера взаимодействия тел характери­ зуется не только своей величиной, но и направлением действия, а также точкой приложения, т. е. сила является векторной величиной. Представление о величине и направлении вектора силы дается опы­ том. Так, сила, которую необходимо приложить для того, чтобы поднять ведро, наполненное водой, по величине должна быть боль­ ше силы, необходимой для поднятия пустого ведра. В обоих случа­ ях силы направлены вверх, т. е. в сторону движения ведра.

В механике принято рассматривать три вида сил. Во-первых, гравитационные силы, или силы тяготения (в частности, силы, с ко-

торыми различные тела притягиваются к Земле, а также силы взаимодействия между Солнцем и планетами). С гравитационными силами взаимодействуют как соприкасающиеся тела, так и тела, находящиеся на расстоянии друг от друга. Величина их зависит от расстояния между взаимодействующими телами, а также от их формы и размеров, т. е. от взаимного расположения частиц, обра­ зующих взаимодействующие тела.

Во-вторых, так называемые упругие силы. Упругие силы дейст­ вуют как между соприкасающимися телами, так и между соседни­ ми слоями одного и того же тела. Возникая в результате деформа­ ций тел, т. е. изменения их формы и размеров, упругие силы зави­ сят от величины деформаций. Иными словами, упругие силы, как и силы тяготения, зависят лишь от взаимного расположения частиц, образующих взаимодействующие тела. Так, силы, действующие со стороны пружины или троса на подвешенные к ним тела, сила дав­ ления груза на удерживающую его подставку, сила натяжения ка­ ната, с помощью которого приводится в движение какое-нибудь тело,— все это упругие силы, обусловленные деформациями тел (пружины, каната и т. д.), являющимися источниками этих сил.

В-третьих, силы трения, действующие на соприкасающиеся по­ верхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

§ 2. Статическое и динамическое проявление сил

Силы могут проявляться динамически и статически. Динами­ ческое проявление сил состоит в том, что под их действием тела приобретают ускорения, причем чем больше величина действую­ щей силы, тем большим будет и ускорение тела, на которое эта сила действует. В частности, всякая сила, подействовавшая на свободное точечное тело, обязательно сообщит ему ускорение, т. е. проявится динамически.

Статически силы проявляются в том, что находящиеся под их воздействием тела, хотя и не приобретают ускорений, но так или иначе (в зависимости от величины действующих на них сил) де­ формируются и в результате этого воздействуют на другие тела, удерживающие их от движения, с определенными силами, прояв­ ляющимися как силы натяжения, давления и т. п. Сила, действую­ щая на тело, проявится статически только тогда, когда кроме нее на это тело будет действовать, по крайней мере, еще одна сила со стороны другого тела, препятствующего его движению, которая и будет компенсировать динамическое действие данной силы.

Если тело, испытывающее действие внешней силы, соприкаса­ ется с другим телом, препятствующим его движению, то при этом оба они деформируются. В процессе деформаций тел возникают так называемые упругие силы, препятствующие деформациям и по величине зависящие от величины деформаций. Они будут действо­ вать на каждое из соприкасающихся тел. В частности, упругая