Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

зависящему от характера изменения At. Предел отношения изменения радиуса-вектора движущейся материальной точки Дг к соответствую щему отрезку времени Д^ при условии, что At -у О, называется про изводной от радиуса-вектора г по времени t и условно обозначается

. Этот предел и будет скоростью					движущейся	точки	в	данный
dt
момент	времени Л
Таким		образом, скорость движения			материальной	точки	в	данный
момент	времени есть производная		ее	радиуса-вектора		по времени
		,.	Дг		dr
		v — hm		=	.			(1.8)
		д г - о	д * .		dt
Очевидно,		что скорость в данный		момент времени		численно		равна

пути, который проходило бы данное точечное тело в единицу вре мени, если бы, начиная с этого момента, его движение стало рав номерным. Скорость, определенная таким путем, будет однозначно

характеризовать движение в	данный момент	времени,	однако
в различные моменты времени	ее величина и	направление	могут
быть различными.
Скорость, будучи величиной	векторной, направлена так же, как

и элементарно малый вектор перемещения, который в пределе при Д/-*0 совпадает с элементарным участком траектории, т. е. она

направлена по касательной				к траектории движущегося			точечного
тела в сторону движения.
Вектор скорости,		как	и любой другой вектор, имеет			проекции на
оси координат	X, Y	и Z,	соответственно		равные vx, vy,	vz,	и может
быть выражен	через	эти	свои	проекции	таким образом:
			v =	vx\ + Vyl +	vzk,		(1.9)

где і, j и k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль указанных осей координат.

Нетрудно видеть, что проекции вектора скорости материальной точки на оси координат есть скорости движения проекций этой точки на данные оси, т. е. они равны производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Действительно, радиус-вектор движущейся точки г, как извест

но, выражается через свои проекции	на	оси координат так: т =	хі-\-
-\-y} + zk. Подставляя это значение	г в	выражение скорости	как

производной радиуса-вектора точки по времени и имея в виду, что производная суммы равна сумме производных от каждого слагае

мого, а единичные		векторы i , j и к с течением времени не изменя
ются ни по величине, ни по направлению				(система координат счи
тается неподвижной), получим
	dr	d / . , . , , ч	dx	. ,	dy . ,	dz .
v =	=	(xi + yj + zk)	=	і 4	— J H	k.
	dt	dtK	dt		dt	dt

Вектор

скорости

представляется

виде

суммы

трех

взаимно

dy .

dz .

перпендикулярных

векторов

і,

—^- j

к,

соответственно

параллельных осям X,

Y и Z. Учитывая же, что проекция суммы

век

торов на направление,

например,

оси X равна сумме проекций слага

емых векторов на это же направление,

получим

\dt

) x

dy .

dz .

перпендикулярны

оси

то

Но так как векторы — ^ - j

л ,

(-^-

к\

их

проекции на эту ось равны нулю: ( ——•

Проек-

dx .

„

\ dt

ция же вектора

1, параллельного

оси Л,

на

эту

ось равна

длине

данного вектора

, так как

величина

вектора

і равна единице. Ана

логичные

результаты

получаются

для

проекций

вектора

на оси

и Z.

Таким

образом, проекции

вектора

скорости

на оси

координат

Y я Z

будут соответственно

равны?

iA\

Тогда величина вектора v как диагонали параллелепипеда, построен ного на трех его компонентах vx, vy и vz, параллельных осям коор динат, будет равна

0 = K W + - V ^ / ( f ) V ( f ) % ( f f . (....>

Направление же его в пространстве определяется косинусами углов, образуемых им с осями координат X, Y и Z, равными соответственно:

cos(v, X) =•• —

2 . I dz_\2 dt

		dy
cos(v, Y)	vv _	dt
cos(v, Y)

2 Г

cos(v,

Z) = ——

~dt

(1.12)

Величину скорости (без учета направления)

можно

определить

иначе. Выше указывалось,

что при Ы-*-

0 длина

Аг

вектора

переме-

Д Г

щения в пределе совпадает

элементом

пути

As,

так

что

»- I .

С учетом этого величина скорости может быть

представлена

виде

Аг

ArAs

Аг ..

v = hm - —

lim —

lim

—

At^o At

A< - O AsAt

A ^ O

As A ' ^ o

lim

—

~d7

ы-о

Рис. 5

т. е. величина

скорости v

есть

производная

пути

по времени.

Если дана

графическая

зависимость проходимого

телом

пути

от времени t, то величина скорости в данный момент времени будет равна тангенсу угла наклона а касательной, проведенной в точке

кривой	s=f(t),	соответствующей этому моменту времени,			к оси
времени	(рис. 5).
Согласно		определению, размерность скорости равна		отношению
размерности		длины	(пути) к размерности времени: [v]	— [s]	: [t] =
= LT^X.	За единицу		скорости принимается скорость такого		движе

ния, когда движущееся тело за единицу времени проходит единицу

длины пути.	В системах единиц СИ и СГС единицами			скорости
будут соответственно I м/с		и I	см/с.
	§	6.	Ускорение
Скорость неравномерного движения является величиной пере
менной. Для	количественной		характеристики такого	движения

важно знать, как быстро изменяется его скорость с течением вре

мени. Величиной,			характеризующей быстроту изменения Скорости
с течением времени, является ускорение.											_ f
Пусть		в момент	времени	t	скорость			движущегося		точечного	тела
•есть v,	а	в момент	времени	tt	=	t +	А^	она	становится равной		v 1 =
= v +	Av (рис. 6). За отрезок				времени			tx — t = At скорость изменя
ется на Vj — v = Av. В среднем						за	единицу		времени	изменение	ско
рости	будет равно				Av		-
					Av	=	-
						=	w.

Величина w называется средним ускорением движущегося тела. Но при конечных изменениях величины отрезка времени At, примы

кающего к данному моменту t, отношение Av/A^ будет	изменяться
как по величине, так и'по направлению. Значит, среднее	ускорение

w, равное этому отношению, будучи неодинаковым для различных по длительности отрезков времени А^, не может служить однознач ной характеристикой быстроты изменения вектора скорости в дан ный момент времени.


Однако		вследствие			непрерывности характера механического
движения	как величина,				так и направление скорости с течением
времени	могут изменяться					только		непре
рывно,	постепенно.			Их		зависимость
от времени		графически				изображается
сплошными		гладкими			кривыми.			Доста
точно малые участки				этих		кривых			при
близительно		можно		считать			отрезками
прямых линий. Это значит, что изменения
как величины, так и направления								скоро
сти, а следовательно, и полное ее измене
ние за достаточно малые отрезки време
ни можно считать практически							пропорції- У/
ональными данным			отрезкам времени.							Рис. 6
Таким	образом,		отношение				Av/At		при

достаточно малой величине отрезка вре мени А^ с дальнейшим его уменьшением практически изменяться не

будет. Иными словами, для каждого заданного момента времени і указанное отношение при At -> 0 будет стремиться к определен ному пределу.

Предел отношения изменения вектора скорости Av к соответ

ствующему отрезку			времени			А^ при Д ^ О , называемый					производ
ной от скорости		по времени,				и будет		ускорением		тела	в данный
момент времени, которое является однозначной										характеристикой
быстроты изменения скорости в этот момент времени.
Итак, ускорение w в данный момент времени есть производная от
вектора	скорости	v по		времени:
						..	Av	dv			(1.13>
				w = am				=

						At-o At		dt
Если	учесть,	что вектор			скорости			есть	производная		от радиуса-
вектора	движущейся		точки		по времени,			то	ускорение
			~	dt	~~ dt		[ dt	) ~	dt2 '		( U 3 ' >
		W

т. е. равно так называемой второй производной от радиуса-вектора по времени.

Отношение вектора Av к скаляру А^ есть вектор, параллельный изменению скорости Av. Поэтому ускорение как предел этого отно шения при А^->-0 является вектором, направленным параллельно

2-і-

элементарно малому изменению вектора скорости Av, происходяще

му за столь малый отрезок времени А^,		что при	дальнейшем его
уменьшении вектор	Av практически уже	не будет	изменять	своего
направления. Но вектор скорости в любой		момент времени		направ
лен по касательной	к траектории. Отсюда	следует, что вектор уско

рения, параллельный элементарно малому вектору Av, всегда на правлен туда, куда с течением времени поворачивается вектор скорости или касательная к траектории, т. е. в сторону вогнутости траектории.

Таким образом, в общем случае криволинейного движения век тор ускорения не параллелен вектору скорости. Только в случае прямолинейного движения ускорение направлено параллельно скорости, если она с течением времени возрастает, или антипараллельно, если она уменьшается.

В случае равномерного прямолинейного движения вектор ско

рости с течением времени остаётся		неизменным. Тогда	ускорение
w = —	будет равно нулю. Таким	образом, равномерное	прямоли-
dt

нейное движение не обладает ускорением, причем это единствен ный вид движения без ускорения.

Если скорость с течением времени изменяется, то ускорение отлично от нуля. Д а ж е если величина скорости все время остается неизменной, но движение криволинейно, т. е. скорость изменяет свое направление, то ускорение не будет равным нулю, так как вектор Av оказывается отличным от нуля при любом конечном зна чении At. Так, равномерное движение точки по окружности есть движение с ускорением, поскольку ее скорость, все время направ ленная по касательной к данной окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Если ускорение с течением времени не изменяется ни по вели чине, ни по направлению и при этом начальная скорость тела па раллельна ускорению или равна нулю, то в таком случае скорость данного тела, оставаясь все время параллельной ускорению, за

.любые равные отрезки времени будет изменяться на одинаковую величину. Такое движение называется равномерно ускоренным прямолинейным.

Из определения следует, что ускорение показывает, чему было бы равно изменение скорости за единицу времени, если бы, начиная

-с данного момента				времени, движение оказалось бы равноускорен
ным и прямолинейным.
Как и всякий вектор, ускорение имеет проекции на оси координат,
равные	wx,	wy	и wz,	и может быть выражено через эти проекции	сле
дующим	образом:
				w == wj + Wy] + wzk,	(1.13)
где і, j	и	k — единичные векторы, параллельные соответственно			осям
координат		X,	Y и Z.
Покажем, что проекция ускорения на какую-либо ось координат
равна производной				по времени от проекции вектора скорости на

эту ось или второй производной

по

времени от соответствующей

координаты движущейся точки.

Как

известно,

вектор

скорости

через

свои

проекции

на оси коор-

- . - ї ї

динат выражается так: v = vxi +

vyj

vzk, причем vx

, vy

„

это значение

вектора

в выражение

= —— , vr =

. I юдставляя

ускорения как производной от скорости

по

времени

и учитывая,

что

векторы i , j

и к с течением времени не изменяются,

получим

d , . .

. .

dvx .

dvv

dvz .

w =

~777 (ty +

V«J + v*k)

~17~1

+ ~77ГJ

+ ~17~k'

dvY . dvu .

где векторы — - 1 , —z- j dt dt

dv,.

и — - к соответственно параллельны осям dt

Возьмем теперь проекцию

вектора

ускорения,

например, на ось X:

cfox .

<toy.

dvzk

„

dvv

dvz

и их проекции на

Векторы — - j

и — - k перпендикулярны

оси X,

эту

dtгт

dvx.

парал-

ось равны нулю. Проекция

же на эту ось вектора — - і ,

поскольку і =

1. Таким образом,

лельного ей, равна — - ,

dvx

или,

учитывая,

что vx

= dx

dvv

d2x

)

dt2

dx \

d2x

,, .

- - 1 г Ы - ^ - '

( 1 1 4 )

что

и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что

dvu

d2y

dvz

d2z

Лл,^

w„ = -—y- = — — ;

w, = —z - =

(1.14')

dt2

Величина вектора ускорения

через

его проекции

на оси координат

выразится так: iar\.

Направление его в пространстве определяется косинусами углов, образуемых им с осями координат х, у и г, соответственно равными

d2x

cos (да, л.)

І/ U2 J

U2 J ' U 2

d2y

cos

dt2

, / f d 2 x у

, / d 2 # \ 2 ,

d 2 2

\dt2)

[dt*

{

dt2

d 2 Z

cos(w,Z)=^-

= —

ld2y \ 2 .

(d2z

- .

(1.16)

, / " / d 2 x \ 2

Из определения видно, что размерность ускорения равна

раз

мерности скорости, деленной

на размерность времени, или, так как

скорость есть отношение пути ко времени, равна

размерности

дли

ны, деленной

на

квадрат

размерности

времени:

[ ^ ] =

[ у ] / [ ^ ] =

[s]/[t]-l/[t]=LT-*.

За единицу ускорения принимается ускорение такого движения,

когда за

единицу

времени

скорость

его изменяется

на

единицу.

В системах единиц СИ и СГС единицами ускорения

соответственно

будут 1 м/с2

(один метр в секунду за секунду) и 1 см/с2 .

Итак,

всякое конкретное

движение

точечного

тела

полностью

определяется его законом, т. е. заданием

координат

тела

как

функций

времени.

Зная

их, можно

определить

положение

тела

в пространстве в любой момент времени и его траекторию. Первые производные от координат по времени определяют соответствующие проекции скорости тела на оси координат. Вторые производные координат по времени дадут проекции ускорения на соответствую щие оси координат. Величина и направление скорости и ускорения определяются по известным их проекциям из формул (1.11), (1.12), (1.15), (1.16).

Так, пусть закон движения тела имеет следующий вид: х = kt; у == h gf \ z = О, причем k = const; h = const; g = const.

Поскольку координата тела z все время равна нулю, то его траектория, а также векторы скорости и ускорения все время будут находиться в плоскости, определяемой осями координат X и Y.

Найдем уравнение траектории тела. Из первого равенства вы ражаем время t через координату х: t = x/k. Подставляя это выра жение t во второе равенство, получим

Данное выражение, связывающее координаты движущегося тела										х и у,
и будет уравнением его траектории, которая,							очевидно,		является		па
раболой, пересекающей ось Y в точке						у0 = h (при		х — О, у = h).			Но
при х = О / = x/k = 0.		Таким образом,				координаты тела х = 0,				у — h
определяют его положение в начальный момент времени t = 0.
Для определения проекций скорости тела на оси координат X и У
записываем	его координаты			х, у, xlt	ух	в моменты		времени t		и tt	=
= t + At:
x = kt;	y = h	l—gf;			+	У і	= h - - L		g (t +	Atf.
Изменения координат			за	время	At будут		равны:
хг — х = Ах — kAt;			ух	— у =	Ay	~ — gtAt		~	g (Atf,
Отсюда
	Ах		,	Ay		1
	Д^			Д^		2

Переходя к пределу при Д/ - >0, получим искомые проекции ско рости:

..	Дх	dx
лг-»о	Д^	dt

	Ay	dy
v	A * - O At	dt

В частности,	при t — 0 u 0 x = A,	i>0y = 0, т. е.	начальная скорость
тела направлена параллельно оси X		и равна v0 =	у 0 х = ft.
Величина	скорости оказывается	равной

Направление ее определяется тангенсом угла р\ образуемого вектором

скорости	с осью X, причем
Определим теперь ускорение		тела. Проекции его				скорости	на оси
X и Y в	моменты времени t и ^	=	/ +	At	соответственно будут		равны:
	vx = A; fy = — g; »i		•= k;	vLy	= — g(t4-	At),

а их изменения за время Д^ оказываются равными:

vix — vx = Avx = 0; p l y — Vy = Avy = — gAt.

Отсюда

Пределы этих отношений при Д^ - » - 0 являются проекциями wx и хюу ускорения на оси координат X и У". Таким образом,

.. Avx	dvx	„	,.	Av„
wv — lim — - =	—— — 0;		wv = hm	— -
A ^ O At	dt		A ^ O	Д *

Величина вектора ускорения будет равна

dvv

•—y~ = — д.

w-=Y wl-\-w2y = ] / 0 - r g 2 = g.

Направлено же оно антипараллельно оси Y, так как

/ \	701	/ \	70]	= —	а
cos (w, X) =	-=35- = 0;	cos (w, Y)	=	= —	= — 1,
	w		w		g

что будет иметь место, если угол между ускорением и осью Y равен я .

§ 7. Касательное и центростремительное ускорение

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его про екции на оси координат удобнее представлять его в виде геомет рической суммы только двух составляющих, направленных по касательной и по нормали к траектории. При этом составляющая, направленная по касательной к траектории и называемая каса тельным (или тангенциальным) ускорением, будет характеризовать быстроту изменения только величины скорости. Составляющая же, направленная по нормали к-траектории и называемая центростре мительным, или нормальным, ускорением, будет характеризовать быстроту изменения скорости только по направлению. Найдем эти составляющие ускорения.

Пусть в

момент времени t движущееся точечное

тело находилось

положении

М и

имело

скорость v

(рис.

7).

моменту

времени

= t +

Д ^

тело переместилось

положение

N и

приобрело

скорость

v v

отличную от v как по

величине, так и по направлению. Для того

чтобы найти изменение

вектора

скорости за отрезок

времени

At =tx —

— t, перенесем

вектор

параллельно самому себе в точку М, так что

вектор

МА

также

будет

равен

v2 .

Очевидно,

что

вектор

СА = Av

представляет собой изменение вектора скорости за время At. Если от^

резок

времени

достаточно

мал

(что

мы

и будем

предполагать), то

скорости

v 1 ;

следовательно,

их

разность

Av будут

лежать

в той же плоскости, в которой находится и соответствующий

данному

отрезку

времени

элемент MN

траектории тела. Это

следует

из непре

рывности характера

механического

движения.

Разложим

вектор

Av на

две составляющие,

также

расположенные

в указанной плоскости. Для этого из точки М

по

направлению

ско

рости

отложим

вектор MB,

по

величине

равный

v1.

Очевидно,

что

вектор

СВ =

представляет

собой

изменение величины

скорости

(без

учета ее

направления)

за

время

At: Avx =

&j — v.

Теперь,

зная

одну

из

составляющих

Avx

вектора Av

сам

вектор

Av,

можно по

правилу параллелограмма найти вторую его составляющую Avn , кото рая, очевидно, будет характеризовать изменение вектора скорости за время Д^ только по направлению (так как изменение скорости по величине полностью характеризуется вектором Avr). Итак, вектор Av изменения скорости за время Д^ представляется в виде суммы двух слагаемых Ду =

= AvT	+ Д у п ,	из которых первое	характеризует изменение скорости
только	по величине, а второе — только по			направлению.
		Av	At-+0
Отношение		— в пределе при	At-+0	определяет быстроту измене-

ния величины скорости в данный момент времени /. Этот предел, яв ляющийся производной от величины скорости по времени, и называется каса

тельным ускорением wx:

urn			=	,.	Д у
urn		At	=	lim	—
At^O		At	д/-*о		Д^
		dv					(1.17)
							(1.17)
Очевидно, что касательное						ускоре
ние направлено		по	касательной			к тра
ектории тела.
Определим		вторую		составляющую
ускорения. Для этого возведем из то
чек М и N перпендикуляры к каса
тельным МО	и	N0,	которые			пересе
кутся в некоторой			точке	О. Если			отрезок	времени	Д^ достаточно
мал (а это	и	предполагается),					то участок траектории MN = As
вследствие	непрерывности				характера			механического		движе
ния приблизительно совпадает с дугой								некоторой	окружности,
называемой	кругом		кривизны.			Тогда перпендикуляры МО				и N0

будут радиусами этой 'окружности, равными друг другу по вели

чине. А так как касательная к окружности	и радиус,	проведенный
в точку касания, взаимно перпендикулярны,	то углы	MON я АМВ

также будут равными. Отсюда следует, что равнобедренные тре

угольники MON и АМВ		подобны. Из их подобия следует				пропорци
ональность соответственных сторон, в частности ВА : MN = MA : МО
или, так как	BA=Avn;	MN = As = vAt; MA—vu			MO = r (г — радиус
кривизны траектории),
		Ауга
Отсюда		уД^
Отсюда
		ЛУп	vv.
		At
В пределе	при Д^->0 v1-*-v;		vv1-^v2.	При этом,		поскольку
у-*-ух , угол	АМВ стремится к нулю. А так			как	треугольник АМВ

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ