книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

ному числу частиц данной системы. (В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись методом математической индукции.)

Взяв проекции на оси координат X, Y и Z от левой и правой час­ тей равенства (7.5), получим выражения, определяющие коорди­ наты центра масс тела хс, уе и zc:

Для определения координат центра масс сплошного тела, масса которого непрерывно распределена по всему его объему, это тело необходимо разбить на бесконечно большое число бесконечно ма­ лых элементов, массы которых равны произведению плотности ве­ щества р на элемент объема тела dxdydz, т. е. равны dm — pdxdydz. Тогда при определении координат центра масс тела нужно будет брать интегралы по всему объему тела:

Центры масс однородных симметричных тел находятся в центре или на оси их симметрии. Так, центры масс сплошного однородно­ го шара, цилиндра, диска, параллелепипеда и т. п. совпадают с их геометрическими центрами. Для определения положения центра масс тела, обладающего сложной формой, его разбивают на части такой формы, для которой центр масс может быть определен без затруднений. Затем указанным методом находится и центр масс всего тела как совокупности его частей.

§ 3. Закон движения центра масс

Одним из законов, определяющих характер движения твердого тела под действием приложенных сил, является закон движения центра масс.

Чтобы определить характер движения твердого тела под дейст­ вием заданных сил, его следует разбить на точечные элементы. На каждый из элементов тела действуют, вообще говоря, и внешние, и внутренние силы. Обозначим результирующую внешнюю силу, дей­ ствующую на і-ю частицу тела, через F,-, а действующую на нее внутреннюю силу со стороны k-и частицы.этого же тела — через ft/). Тогда, применяя второй закон Ньютона для каждой из п час­ тиц, из которых состоит тело, получим п равенств:

Из закона движения центра масс следует, что ускорение центру масс тела могут сообщать только внешние силы. Если внешние си­ лы на тело не действуют или если их геометрическая сумма равна

внутренних сил центр масс тела ускорения не приобретает. Внут­ ренние силы взаимодействия между частицами тела не могут изме­ нить состояния движения его центра масс, в частности вывести его

ния проекций ускорения центра масс на соответствующие оси координат:

к телу на данные оси координат, т — масса тела. Из этих уравне­ ний по известным проекциям внешних сил 2Fix, 2Fiy и 2>Fiz, зная массу тела т, можно определить ускорение его центра масс. Если,

движутся одинаково. Участки траекторий, проходимые различными частицами тела за один и тот же отрезок времени, при наложении совпадают. Векторы скоростей и ускорений всех частиц тела в один и тот же моме-нт времени также одинаковы. Поэтому для полного определения характера поступательного движения тела достаточно знать движение лишь одной его точки, в частности центра масс.

Движение центра масс тела полностью определяется законом движения центра масс. Значит, для определения характера посту­

так же, как и его центр масс.

Движение тела будет поступательным, если направление дей­ ствия результирующей приложенных к нему внешних сил проходит через его центр масс. Действительно, в системе координат, связан­ ной с телом, движущимся поступательно относительно инерциальной системы координат с ускорением w, тело это будет покоиться. Поэтому результирующая внешняя сила взаимодействия, прило­ женная к нему, будет уравновешиваться силой инерции. Но силы инерции, действующие на частицы тела массы drrii, по величине рав­ ны —drriiW, т. е. пропорциональны массам частиц, направлены па­ раллельно друг другу и противоположно ускорению тела w, одина­ ковому для всех его частиц. Иными словами, силы инерции, дей­ ствующие на частицы тела в системе координат, движущейся вместе с ним, будут параллельными массовыми силами, а поэтому их равнодействующая будет приложена в центре масс тела. Эта результирующая сила инерции может быть уравновешена только такой внешней силой взаимодействия, направление которой прохо­ дит через центр масс тела. Таким образом, если тело движется поступательно в инерциальной системе координат с ускорением w, то направление приложенной к нему результирующей силы взаимо­ действия, которая сообщает ему ускорение w, должно проходить через центр масс тела.

Определим кинетическую энергию твердого тела, движущегося по­ ступательно. Как известно, кинетическая энергия движущегося тела

§ 5. Динамика вращения твердого тела

вокруг неподвижной оси

Для твердого тела как неизменяемой системы точек применима теорема о моменте количества движения: производная по времени от момента количества движения тела N равна моменту М дейст­ вующих на него внешних сил. Но в случае вращения твердого те­ ла вокруг неподвижной оси уравнение моментов для него можно представить в более конкретном виде, если моменты сил и количест­ ва движения тела брать относительно оси вращения, т. е. если не­ подвижная ось вращения тела принимается за ось моментов.

Так, при вращении тела вокруг неподвижной оси траектории всех его частиц являются окружностями с центрами на оси вра­ щения, лежащими в плоскостях, перпендикулярных к оси. Линей­

величина, поскольку тело абсолютно твердое и взаимное располо­

Это выражение и представляет собой уравнение моментов для вра­

твердого тела относительно оси его вращения утверждает, что мо­ мент внешних сил, действующих на тело, равен произведению его момента инерции относительно данной оси на угловое ускорение

d<o

т. е. угловое ускорение тела при его вращении около неподвижной оси прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил М и обратно пропорционально моменту инерции тела / относи­ тельно оси вращения. Выражение (7.13) показывает, что момент инерции тела / характеризует его инертность по отношению к вра­ щательному движению. Чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием задан­ ного момента сил. Иными словами, чем больше момент инерции тела, тем большим должен быть момент внешних сил для сообще­ ния этому телу заданного углового ускорения.

Если, в частности, внешние силы таковы, что их момент относи­ тельно оси вращения равен нулю, то равным нулю будет и угловое ускорение тела, т. е. тело будет или оставаться в .покое, или ж е

могут изменять угловую скорость вращения тела и, в частности, привести его в состояние вращения из состояния покоя. При этом, угловое ускорение тела параллельно направлению момента дей­ ствующих на него внешних сил.

При изучении вращательного движения твердого тела всегда

•сил пары одинаковы: в соответствии с правилом винта оба они направ­ лены за чертеж. Поэтому результирующий момент пары сил М будет направлен в ту же сторону (за чертеж) и по величине равен арифме­ тической сумме величин обоих слагаемых моментов: М = Мх + М2 =

т. е. момент пары сил в данном случае по величине равен произве­ дению величины силы на плечо пары.

\

Рис. 79

Характерным для пары сил является то, что ее момент относи­ тельно любой оси, перпендикулярной к плоскости, определяемой силами пары, не зависит от положения оси и будет таким же по ве­ личине и направлению, как и в рассмотренном случае, т. е. равным произведению силы на плечо пары.

Так, пусть ось моментов проходит через любую точку О плоско­

линии действия силы f. Согласно правилу винта, момент этот на­

Работа силы f на конечном пути, когда тело поворачивается на угол ср, равна

В частности, сила, момент которой относительно оси вращения тела равен нулю, хотя сама она и отлична от нуля, работы не-со­

скорость вращения тела и его кинетическая энергия, так как угловое ускорение тела отлично от нуля.

Определим, как связано изменение кинетической энергии враща­ ющегося тела с работой приложенной к нему силы. Работа силы f на

Полная работа А силы f в течение конечного отрезка времени, за который угловая скорость вращения тела изменяется от значения tOj до значения со2, окажется равной

т.е. равна изменению кинетической энергии вращающегося тела.

Вчастности, если сох = 0, т. е. тело под действием силы f начало вращаться из состояния покоя, то

(7.20)

т. е. работа целиком пойдет на сообщение телу кинетической энергии. Выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела и ее связь с работой приложенной к телу силы удобно приме­

нять для решения многих задач механики.