книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

совпадают с опытными фактами. У других же тел (например, у ша­ ров, изготовленных из слоновой кости, закаленной стали, некоторых пластмасс и т. д.) упругие свойства выражены настолько сильно, что играют решающую роль в ходе удара. В таких случаях приме­ нима теория абсолютно упругого удара.

Прямая, совпадающая с нормалью к поверхностям соударяю­ щихся тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Если линия удара проходит через центры тяжести тел, удар назы­ вается центральным. Очевидно, что удар двух шаров всегда будет центральным. Если оба соударяющихся тела до удара двигались по линии удара, то удар называется прямым, в противном случае удар будет косым.

§ 11. Абсолютно неупругий удар

Прямой центральный удар является абсолютно неупругим, если скорости соударяющихся тел после удара оказываются одинаковы­ ми, так что оба тела движутся далее вместе, оставаясь в соприкос­ новении друг с другом. После удара оба тела остаются деформиро­ ванными.

Удар будет неупругим, когда силы взаимодействия между со­ ударяющимися телами, возникающие при их соприкосновении, за­ висят не от величины деформаций, а лишь от быстроты их измене­ ния. Силы эти будут велики, если деформации, даже небольшие по величине, быстро изменяются. Когда же деформации будут изме­ няться достаточно медленно, то независимо от их величины силы взаимодействия будут малыми. Если же деформации не изменяются с течением времени, хотя они и велики, то силы взаимодействия будут равны нулю. Существование таких сил подтверждается опыт­ ными фактами, свидетельствующими о том, что пластические тела очень трудно деформировать кратковременными силами (ударом), даже весьма большими по величине. Но они легко деформируются при длительном действии даже небольших сил.

достаточно быстро. При этом возникнут значительные силы вза­ имодействия между телами, препятствующие деформациям, под действием которых скорости тел будут изменяться до тех пор, пока не окажутся одинаковыми. К этому моменту времени деформации обоих тел достигают максимальной величины, но их изменение прекращается. Одновременно обращаются в нуль и силы взаимо­ действия между телами, так что дальнейшее изменение их скоро­ стей прекращается. Начиная с данного момента времени, оба тела, оставаясь максимально деформированными, будут продолжать движение вместе, с одинаковой скоростью.

Рассмотрим теперь явление прямого центрального абсолютно неупругого удара с количественной стороны.

Пусть два шара, массы которых равны тх и т2, до удара дви­ гались со скоростями, равными v, и v2 . После удара они будут дви-

нить общего их количества движения. Значит, общее количество

(Вообще говоря, в данном равенстве суммы должны быть геомет­ рическими, но поскольку рассматриваемый удар прямой и централь­ ный, то скорости - v b v 2 и и направлены по одной прямой — линии центров шаров, так что эти суммы можно считать алгебраическими, причем противоположным направлениям скоростей будут соответ­ ствовать противоположные знаки соответствующих слагаемых.) Отсюда общая скорость шаров после удара

шим количеством движения. В частности, если шары до удара

удара неподвижным. Например, масса молотка, забивающего в стенку гвоздь, должна быть больше массы гвоздя.

Если между двумя телами осуществляется абсолютно неупру­ гий косой удар, при котором скорости соударяющихся тел до удара

взаимодействия, определяемыми быстротой изменения деформаций тел.

этого необходимо задать еще одно уравнение, которое связывало бы данные искомые величины с другими известными величинами (на­ пример, с силами трения как функциями времени).

§ 12. Абсолютно упругий удар

Удар будет абсолютно упругим, если кинетическая энергия со­ ударяющихся тел после удара оказывается такой же, как до удара. После упругого удара скорости соударяющихся тел будут различ­ ными, а сами тела — недеформированным-и.

При абсолютно упругом ударе силы взаимодействия между со­ ударяющимися телами являются упругими силами, зависящими только от величины их деформаций, тем большими по величине, чем больше деформации, и исчезающими с исчезновением деформаций. При сближении соударяющихся тел, начиная с момента первона­ чального их соприкосновения, когда деформации возрастают, возрастают и упругие силы взаимодействия, препятствующие де­ формациям. Скорости тел при этом изменяются, приближаясь друг к другу по величине. Когда скорости тел становятся одинаковыми, деформации их оказываются максимальными. Максимальными по величине будут и упругие силы взаимодействия, по-прежнему на­ правленные противоположно деформациям. Благодаря действию этих сил скорости соударяющихся тел продолжают изменяться в прежних направлениях, в результате чего тела расходятся в раз­ ные стороны с различными скоростями. Деформации тел, возник­ шие в течение первой стадии удара, затем полностью ликвидиру­ ются действием упругих сил. Таким образом, та часть кинетической энергии тел, которая была затрачена на их деформирование, пол­ ностью восстанавливается за счет работы упругих сил взаимодей­ ствия.

Рассмотрим теперь прямой центральный абсолютно упругий удар двух шаров с количественной стороны.

Пусть массы шаров равны тх и т2, а их скорости до удара — V\ и v2. На основании закона сохранения количества движения, при­

Если же равенство (6.47) умножить на т2 и затем вычесть из него равенство (6.45'), то получим выражение скорости первого шара после удара

т1 + т2

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.

Если массы соударяющихся тел одинаковы (т\ — т2 = т), то из формул (6.48) и (6.48') получаем, что v'2 =i>i и v\ =v2, т. е. тела

обмениваются скоростями. В частности, если одно из тел до удара покоилось, например, если и2 = 0, то v^ = vx и v[ = 0, т. е. ударяющее тело в результате удара остановится, а тело, бывшее до удара непо­ движным, после удара начнет двигаться со скоростью, равной ско­ рости ударяющего.

Когда же массы соударяющихся тел различны, но одно из них, например второе, до удара находилось Б покое (^2 = 0), то тогда скорости тел после удара будут равны:

Соотношение же, выражающее равенство кинетической энергии обоих шаров как до, так и после удара, может быть представлено в виде

поскольку длина вектора v и его взаимно перпендикулярные про­

циональных массам частиц, на которые они действуют (так назы­ ваемые массовые силы). В частности, массовыми и параллельными друг другу будут силы тяжести, действующие на частицы твер­ дого тела, если его размеры не слишком велики, так что ускорения свободного падения всех его частиц одинаковы по величине и на­ правлению. Равнодействующая этих элементарных сил тяжести будет приложена в центре масс тела, являющемся и его центром тяжести.

Если к центру масс тела или вдоль вертикали, проходящей че­ рез него, приложить силу, по величине равную сумме всех сил тяжести, действу­ ющих на его частицы, и противоположно ей направленную, то тело при этом оста­ нется в покое; так как указанные силы уравновесят друг друга. На этом основан один из экспериментальных методов опре­ деления положения центра масс тела.

Исследуемое тело подвешивается в не­ которой точке А. Когда тело установится в положении равновесия, действующая на

него результирующая сила тяжести mg, приложенная к центру масс, должна уравновешиваться силой реакции подвеса R, направленной в противоположную сторону по той же вертикали, что и сила тяже­ сти. Значит, центр масс тела должен находиться на вертикали, про­ ходящей через точку его подвеса А. Затем данное тело подвешива­ ется в другой его точке В. После того как тело снова придет в со­ стояние равновесия, его центр масс должен находиться на другой вертикали, проходящей через новую точку подвеса В. Таким обра­ зом, центр масс тела будет находиться в точке пересечения указан­ ных вертикалей.

Для определения положения центра масс тела аналитическим путем тело разбивают на точечные элементы. Затем находят центр масс двух таких элементов, трех, четырех и т. д., пока не будут исчерпаны все элементы тела.

Определим положение центра масс некоторого твердого тела в системе координат XYZ (рис. 76, па котором с целью его упроще­ ния ось Z не показана). Для этого достаточно найти выражение,

щая двух параллельных массовых сил по величине равна их сум­ ме и приложена в точке, разделяющей отрезок, соединяющий точ­ ки приложения слагаемых сил, на части, обратно пропорциональ­ ные массам тел, т. е. в данном случае