книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

вешивает силу тяготения. Таким образом, должно выполняться равен­

Если тело движется относительно вращающейся системы коор­ динат, то на него, помимо центробежной силы инерции, действует еще одна сила инерции, зависящая от относительной скорости те­ ла v' и от угловой скорости вращения системы координат со и назы­ ваемая силой Кориолиса.

О существовании сил Кориолиса свидетельствует тот факт, что движение, являющееся прямолинейным в инерциальной системе координат, во вращающейся системе координат оказывается криво­ линейным (в свою очередь, движение, прямолинейное во вращаю­ щейся системе координат, будет криволинейным в инерциальной системе координат). Но при криволинейном движении тела его относительная скорость v' изменяется по направлению. Это значит, что на данное тело должна действовать сила, направленная пер­ пендикулярно к его относительной скорости v', которая и изменяет ее направление. Она также является силой инерции, поскольку обычно силы взаимодействия, направленные указанным образом, на тело не действуют. Однако это уже не центробежная сила инер­ ции, которая, будучи направленной по радиусу от центра вращения, не сможет вызвать наблюдающееся на опыте изменение направле­ ния относительной скорости тела, движущегося вдоль радиуса.

Чтобы найти, чему равна сила Кориолиса, действующая на те­ ло, движущееся во вращающейся системе координат, сопоставим одно и то же движение тела в инерциальной и во вращающейся системах координат. Определив ускорения тела w и w' в обеих системах, а также все силы взаимодействия f, приложенные к телу, применим к его движению формулу f + fa = mv/', где ти — результи­ рующая сила инерции, действующая на данное тело, представляю­ щая СобОЙ Геометрическую Сумму ЦеНТробеЖНОЙ СИЛЫ ИНерЦИИ Тци

скорости, существует как при относительном покое, так и при дви­ жении тела во вращающейся системе координат. Сила же Корио­ лиса действует на тело лишь при его движении, когда его относи­ тельная скорость v' отлична от нуля. Если же v' = 0, то и сила Ко­ риолиса обращается в нуль.

Итак, пусть система координат равномерно вращается с угловой

таким телом может быть небольшая трубка, насаженная на спицу

дем ускорение этого тела в инерциальной, условно неподвижной системе координат.

Пусть в момент времени і тело т проходит через точку А, нахо­ дящуюся на расстоянии г от оси вращения (рис. 43, б). Кроме отно­ сительной скорости v', направленной вдоль радиуса, тело, вращаясь вместе с подвижной системой координат, одновременно обладает и

Ряс. 43

линейной скоростью вращения v0 = coXr, направленной перпендику­ лярно как к радиусу г, так и к угловой скорости со в соответствии с правилом винта. Результирующая скорость тела m в инерциальной

положение В. За отрезок времени dt вектор относительной скорости тела v', оставаясь параллельным радиусу, а также перпендику­ лярный к радиусу вектор линейной скорости его вращения v 0 тоже повернутся вместе с радиусом на такой же угол da. В момент вре­ мени t-\-dt, когда тело т достигнет положения В, векторы его относительной скорости и линейной скорости вращения станут соот­

Определим изменения векторов относительной й линейной скорости вращения тела, происходящие за отрезок времени dt. Для этого пе­

Изменение относительной скорости тела по направлению, происхо­ дящее за время dt вследствие вращения системы координат, будет

равно fvj — v'| -= dv' = v'da = v'adt. Вектор dv0 — dv0 1 - f dv0 2 , опреде­ ляющий полное изменение за время dt вектора линейной скорости вра­

скорости v„ за время dt только по направлению, происходящее вслед­

ной системе координат за отрезок времени dt представляет собой гео­

При этом в пределе, когда d/-> 0 и, следовательно, da->0, слагае­ мые dv' и dvoi окажутся параллельными друг другу и перпендику­ лярными радиусу вращения г, а вектор dv0 2 будет направлен па­ раллельно радиусу г к оси вращения. Разделив изменения скорости тела dv02 и dv'-\-dvoi на отрезок времени dt и перейдя к пределу, когда dt-^О, найдем соответствующие составляющие ускорения тела в инерциальной системе координат.

Одна из составляющих ускорения, равная по величине

представляет собой центростремительное ускорение тела. Вызыва­ ется оно действием на тело центростремительной силы f = mco2r как силы взаимодействия его с некоторым другим телом. (Такая сила может быть вызвана натяжением равномерно удлиняющейся нити, прикрепленной одним своим концом к телу и проходящей через ось вращения.)

dt

Она носит название кориолисова ускорения и также вызывается действием на тело сил взаимодействия (например, силы бокового давления со стороны вращающейся спицы, по которой скользит те-

ло). Кориолисово ускорение, учитывая его ориентацию по отноше­

которым определяется и его величина и направление в простран­ стве.

Итак, полное ускорение тела w в инерциальной системе коорди­ нат равно векторной сумме центростремительного и кориолисова ускорений, определяемых приложенными к нему силами взаимо­ действия.

В системе координат, вращающейся вместе с радиусом г, вдоль которого движется рассматриваемое тело, его движение, по усло­ вию, является прямолинейным и равномерным, совершающимся со скоростью v'. Следовательно, геометрическая сумма всех действую­ щих на него сил должна быть равной нулю. Однако силы взаимо­

и во вращающейся системе координат, поскольку их величина не зависит от выбора системы координат. Следовательно, эти силы взаимодействия должны уравновешиваться силами инерции. Силы взаимодействия, вызывающие центростремительное ускорение те­ ла, будут уравновешиваться центробежной силой инерции, по вели­ чине равной 1ца = ты2г. А те силы взаимодействия, которыми обус­ ловливается наличие у тела кориолисова ускорения, уравновешива­ ются силой инерции Кориолиса, направленной противоположно кориолисову ускорению и по величине равной /к = —2ma)v'. В век­ торном виде сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся во

Направление ее определяется правилом винта: если головку винта вращать по кратчайшему пути от вектора v' к вектору о, то ось винта будет при этом двигаться в направлении действия силы Ко­ риолиса.

Мы получили выражение силы Кориолиса лишь для случая рав­ номерного движения тела вдоль зращающегося радиуса. Опреде­ лим ее выражение при всевозможных других направлениях относи­ тельной скорости тела v', движущегося во вращающейся системе координат.

Так, пусть в системе координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью со относительно инерциальной системы, тело массы т движется с постоянной по величине относительной ско­ ростью v' по окружности радиуса г с центром на оси вращения си­ стемы координат. В инерциальной системе оно равномерно враща­ ется по той же окружности, но его линейная скорость равна гео­ метрической сумме относительной скорости v' и линейной скорости

силы f, действующей на тело, должно, как и оба других слагаемых, иметь направление к центру окружности вращения. Действительно, равномерно вращающееся тело т не обладает касательной состав­ ляющей ускорения и, следовательно, не должно испытывать дей­ ствия сил, параллельных его скорости.

Во вращающейся системе координат тело вращается с относи­ тельной линейной скоростью v'. Значит, результирующая сила, дей­

— •— —— и силой Кориолиса !к = —2mcot/, которая в данном слу­

чае также направлена по радиусу от оси вращения.

Учитывая направление силы Кориолиса и направления векторов

v'r = v'cos a; v'n =o'sin а. Обе эти составляющие скорости тела удов­ летворяют условиям, рассмотренным выше, поэтому к ним примени­ мы и полученные результаты. Составляющей относительной скоро­

Второй составляющей относительной скорости тела vn ' соответству­ ет составляющая силы Кориолиса Ткп = 2туп 'Хо>, величина которой

v^, а поэтому перпендикулярными друг к другу. Отношение их ве­ личин

т. е. равно отношению величин соответствующих составляющих относительной скорости v'. Поэтому треугольник, образованный векторами скоростей v', \'г и v„, будет подобен треугольнику, со­ ставленному силами htr, їкп и ТкОтсюда результирующая сила Кориолиса Тк, действующая на данное тело, по величине будет равна

/к = V fir + f\n = /(2my'ft))2 (cosa a + sin2 ^) 2mv'<o.

Направлена же она будет перпендикулярно как к вектору относи­ тельной скорости тела v', так и к вектору угловой скорости со в со­ ответствии с правилом винта. Значит, и в данном случае силу Ко­ риолиса можно представить в виде того же векторного выражения:

/ к = 2mv' X со.

Наконец, рассмотрим случай, когда тело т движется во вращаю­ щейся системе координат с относительной скоростью v', направленной под углом р к оси вращения Z (рис. 46). И в данном случае относи­ тельная скорость тела v' представляется в виде геометрической суммы

/

О7 ,

Рис. 46

Составляющая силы Кориолиса, соответствующая проекции v'xY относительной скорости тела на плоскость XOY, выразится в виде

Кориолиса, соответствующая проекции относительной скорости на ось

= 2mv' X со.

Таким образом, при движении тела во вращающейся системе координат с отличной от нуля относительной скоростью v' на него, помимо центробежной силы инерции, действует сила инерции Ко­ риолиса

направленная перпендикулярно к вектору относительной скорости тела v' и к вектору угловой скорости вращения системы координат со в соответствии с правилом винта.

Очевидно, что сила Кориолиса обращается в нуль в трех ниже­ перечисленных случаях. Прежде всего тк = 0, если v' = 0, т. е. когда тело покоится относительно вращающейся системы координат (тогда на тело действует только центробежная сила инерции). Да­

§ 8. Система координат, связанная с Землей

Земля, как известно, вращается вокруг своей оси и вокруг Сол­ нца, т. е. движется с ускорением относительно системы координат, связанной с Солнцем и звездами. Таким образом, если система координат, связанная с Солнцем и звездами, инерциальна, то си­ стема координат, связанная с Землей, строго говоря, не будет кнерциальной. Движение Земли относительно Солнца должно опре­ деленным образом влиять на ход явлений, наблюдаемых в связан­ ной с нею системе координат. Поэтому при изучении движения тел в системе координат, связанной с Землей, нужно учитывать и дей­

Земли около своей оси также сравнительно невелика (2л радиан в сутки). Поэтому часто при грубых количественных оценках ха­ рактеристик явлений можно пренебречь и силами инерции, вызы­ ваемыми суточным вращением Земли, а систему координат, свя­ занную с Землей, считать приблизительно инерциальной.

Однако угловая скорость суточного вращения Земли примерно в 365 раз больше угловой скорости ее годового вращения. Соответ­ ственно большими будут и силы инерции, как центробежная, так и кориолисова, обусловленные ее суточным вращением. Поэтому при точных количественных расчетах необходимо учитывать их дей­ ствие.

Пользуясь системой координат, связанной с Землей, установим зависимость веса тел от географической широты местности.

Тело массы т, находящееся на поверхности Земли на географи­ ческой широте ф и покоящееся относительно нее, испытывает со стороны Земли действие силы тяжести mg, направленной вдоль ее

радиуса R к центру О, а также действие центробежной силы инер­ ции fu, направленной параллельно экваториальной плоскости от оси вращения Земли и по величине равной /и=тсо2 г, где со—угловая скорость суточного вращения Земли, a r = /?coscp— расстояние от тела т до оси вращения (рис. 47).

Поскольку тело т относительно Земли покоится, то геометриче­ ская сумма двух указанных сил, действующих на него, полностью

Отклонение же веса Р ф от направления действия силы тяжести mg определяется углом а, причем

Здесь мы считаем, что Pv^mg, поскольку, как известно, со2/? « 1.

8

§ 9. Движение по поверхности Земли

На тела, движущиеся по поверхности Земли, помимо центробеж­ ных сил инерции, действуют и силы Кориолиса. Действием сил Ко­ риолиса объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений.

Так, если тело т движется в северном полушарии Земли с отно­ сительной скоростью v' на север (рис. 48), то действующая на него сила Кориолиса, как это видно из ее выражения fK = 2mv'Xco, будет направлена на восток, т. е. направо, если стоять лицом по направ­ лению движения. Когда же тело т будет двигаться на юг, то сила Кориолиса, действующая на него, будет направлена на запад, т. е. также направо, если смотреть по направлению движения. При дви-