книги из ГПНТБ / Петровский И.И. Механика

Силы, обусловленные взаимодействием тел, могут зависеть только от расстояния между взаимодействующими телами или их частицами (силы тяготения и упругие силы) и от относительной их скорости (силы трения). Изменятся ли силы взаимодействия при переходе от одной системы координат к другой, движущейся отно­ сительно первой?

Так, пусть положения двух взаимодействующих тел в условно

Относительная скорость этих тел в неподвижной системе координат равна A°v = v 2 — V i , в движущейся

= (v2 - v0 ) - (vx - v0 ) = v 2 - V l = A V (4.10)

Следовательно, и величина относительной скорости тел оказывается одинаковой в обеих системах координат.

Поскольку ни расстояние между взаимодействующими телами, ни их относительная скорость не изменяются при переходе от одной из взаимно движущихся систем координат ко второй, то и силы взаимодействия между этими телами, зависящие только от расстоя­

Наконец, в классической механике полагается (и это практиче­ ски правомерно при скоростях, малых по сравнению со скоростью света), что масса тела одна и та же в обеих системах коорди­ нат, т. е.

Пусть в системе координат XOY, считающейся неподвижной, выполняется второй закон Ньютона, т. е. ускорение данного тела w,

относительно указанной с постоянной скоростью v0 , ускорение того

поскольку при v0 =const F' = F, w' = w и т' = т.

Итак, если в некоторой системе координат ускорения тел вызы­ ваются только силами их взаимодействия с другими телами, то и во всякой другой системе координат, движущейся относительно данной равномерно и прямолинейно, будут действовать те же силы взаимо­

ние этого тела w' также будет равным нулю, так как действующая на него сила взаимодействия F' = F = 0 и при этом F' = m'w'. Иными словами, если первая система координат инерциальна, то и всякая другая система координат, движущаяся относительно нее равно­ мерно и прямолинейно, также будет инерциальной.

Отсюда следует, что основные законы механики во всех инерциальных системах координат имеют одинаковый вид. В частности, во всех инерциальных системах координат связь сил взаимодействия с ускорениями тел одна и та же: результирующая сила взаимодей­ ствия, действующая на тело, равна произведению массы данного тела на его ускорение. Во всех таких системах координат для сообщения телам одинаковых" ускорений необходимы одинаковые силы взаимодейстзия. Все механические процессы во всех инерци­ альных системах координат описываются одинаковыми законами. Все одинаковые опыты, проведенные в различных инерциальных системах координат, дадут одинаковые результаты.

На основании этих выводов Галилей сформулировал так назы­ ваемый механический принцип относительности, который гласит: никакими механическими опытами, проводимыми внутри инерци­ альной системы координат, невозможно установить, находится ли эта система координат в покое, или же движется равномерно и прямолинейно.

Опытами, проводимыми в какой-нибудь системе координат, мож­ но установить, является ли она инерциальной. Так, если в данной системе координат ускорение тела и сумма сил взаимодействия, прилагаемых к телу, равны нулю, то система инерциальна. Но опытным путем невозможно установить, движется ли она с некото­ рой постоянной скоростью, или покоится. Поэтому все инерциаль-

ные системы координат совершенно равноправны, любая из них может быть условно принята за неподвижную. Во всех таких слу­ чаях основные законы механики будут иметь одинаковый вид, хотя скорости тел в различных инерциальных системах координат, во­ обще говоря, будут различными..

Так, груз, упавший с полки вагона, движущегося по железнодо­ рожному пути равномерно и прямолинейно, и в системе координат, связанной с вагоном, и в системе, связанной с полотном железной дороги, будет двигаться с одинаковым ускорением свободного паде­ ния g, которое в обоих случаях вызывается одной и той же силой

с ускорением, то силы взаимодействия, будучи в них одинаковыми как функции координат и относительных скоростей взаимодейству­ ющих тел, сообщают телам различные ускорения относительно данных систем координат.

Действительно, из закона сложения скоростей Галилея v = v' -f- v0 (напомним, что v—скорость тела в условно неподвижной системе коор­ динат, v' — скорость этого же тела в другой системе координат, дви­

со стороны других тел, равна нулю, ускорение этого тела w также будет равным нулю, поскольку f = mw, то в другой системе коорди­ нат, движущейся относительно первой с ускорением w0 , ускорение данного тела по величине будет равно ускорению второй системы координат относительно первой и противоположно ему направлено, хотя сумма тех же сил взаимодействия равна нулю.

Отсюда вытекают только два взаимно исключающие друг друга предположения: или ускорения тел в неинерциальных системах координат, движущихся с ускорением относительно инерциальных,

§ 5. Неинерциальные системы координат, движущиеся поступательно

Приведем вначале конкретный пример, когда система координат движется относительно инерциальной системы прямолинейно, но с ускорением, и определим силы инерции, действующие в ней на тела.

Пусть на тележке укреплен штатив, к которому на нити подве­ шен шарик массы т (рис. 40). Если тележка покоится или дви­ жется без ускорения, то нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение. В данном слу­ чае действующая на шарик сила тяжести mg уравновешивается силой натяжения нити Т, направленной вертикально вверх, вследствие чего шарик и не приобретает ускорения. Но если тележка будет дви­ гаться по прямолинейному горизонталь­ ному пути с ускорением w0 , то нить откло­ нится от вертикали назад на угол а. тем больший, чем больше ускорение тележки.

Рассмотрим данное явление в системе координат, связанной с Землей. Тележка и связанный с нею подвес приобретают ускорение под действием определенной

внешней силы взаимодействия. Шарик не испытывает действия этой силы и остается в покое. В результате нить отклоняется от вертика­ ли, сила натяжения Т, направленная вдоль ее длины, уже не будет уравновешивать силу тяжести mg, действующую вертикально вниз.

тележки w0 . Вследствие этого шарик также начнет ускоренно дви­ гаться вслед за тележкой. Но вначале, пока угол отклонения нити от вертикали а еще недостаточно велик, результирующая сила fr действуя на шарик, будет сообщать ему меньшее ускорение, чем ускорение тележки w0 . Шарик будет отставать от тележки, а угол отклонения нити от вертикали увеличиваться. При этом будет воз­ растать величина силы f, равная mg tg а, и, следовательно, ускоре­ ние шарика. Когда угол отклонения нити от вертикали достигнет та­

шарик, прежде висевший неподвижно на вертикальной нити, начи­ нает двигаться назад с ускорением — w 0 (равным по величине

Учитывая, что время в обеих системах координат течет одинако­ во, т. е. что t = t', и взяв производные по времени от этих равенств, получим:

т. е. вектор ускорения w точки М в инерциальной системе коорди­ нат равен геометрической сумме ее ускорения w' в движущейся системе координат и ускорения w 0 движущейся системы относи­ тельно инерциальной.

Пусть далее результирующая сила взаимодействия, приложен­ ная к точке М, равна f. Тогда в инерциальной системе координат, согласно второму закону Ньютона, f = mw, В неинерциальной, дви­ жущейся системе координат на точку М, кроме сил взаимодействия, действует и сила инерции fH- Здесь второй закон Ньютона следует записать так: f-f-fH =mw' = m(w — w 0 ), поскольку w' = w—w0 . Отсю­ да искомая сила инерции будет равна

fи 1 -.- т (w — w0 ) — f = /? w — /?.w0 — n.vj — — mw0 . (4.21)

Итак, сила инерции, действующая на какое-либо тело в системе координат, движущейся поступательно относительно инерциальной системы с ускорением w0 , равна произведению массы этого тела т на данное ускорение w0 , взятое с обратным знаком.

В любой момент времени все точки пространства, связанного» с неинерциальной системой координат, движущейся поступательно,, будут иметь одинаковые ускорения w0 . Поэтому сила инерции, дей­ ствующая на то или иное тело в данной системе координат, ни ш> величине, ни по направлению не будет зависеть ни от положения тела, ни от его скорости относительно этой системы, поскольку она полностью определяется ускорением поступательного движения системы координат.

§ 6. Вращающиеся системы координат

Пусть система координат вращается относительно инерциальной системы вокруг оси, проходящей через совпадающие начала коор­ динат обеих систем. Вращающаяся система координат движется с ускорением относительно инерциальной системы и поэтому будет

Когда шарики будут вращаться вместе с диском, то удерживающиеих нити окажутся отклоненными от вертикали наружу на некоторый угол а тем больший, чем больше расстояние от точки прикрепления; нити к диску до оси вращения и чем больше угловая скорость вра­ щения со.

Рассмотрим это явление в инерциальной системе координат, свя­ занной с помещением, где установлен вращающийся диск. Здесь шарик т равномерно вращается по окружности радиуса г, равногоего расстоянию от оси вращения. Поэтому на него должна действо­ вать центростремительная сила, направленная горизонтально к оси

к шарику со стороны других тел. Но на шарик действуют только две силы взаимодействия: сила тяжести mg со стороны Земли и си­ ла натяжения нити Т. Если бы нить была направлена по вертикали, то они уравновесили бы друг друга и в сумме не дали бы отличной от нуля горизонтально направленной равнодействующей. Но если нить отклонена от вертикали на надлежащий угол а, то сумма двух указанных сил m g + T = f, будучи отличной от нуля и направленной по горизонтали к оси вращения, проявится как центростремитель­ ная. С другой стороны, эта результирующая сила по величине рав-

на f — mgtg а. Таким образом, при установившемся движении шари­

т. е. чем больше расстояние г от шарика до оси вращения и угловая

покоится, но нить оказывается отклоненной на угол а. Это возмож­ но лишь при условии, когда геометрическая сумма сил тяжести и натяжения нити, по величине равная f — tngtg a —mco2r и направлен­ ная горизонтально к оси вращения, будет уравновешена равной ей по величине и противоположно направленной третьей силой. По­ скольку же никакие другие силы взаимодействия на шарик не действуют, то уравновешивающей силой может быть только сила инерции, по величине равная —mco2r и направленная по горизонта­ ли от оси вращения наружу, которая называется центробежной си­ лой инерции. Следовательно, на шарик в системе координат, вра­

В таком случае сумма сил взаимодействия и центробежной си­ лы инерции, действующих на шарик, равна нулю, вследствие чего шарик и остается в покое. Если учесть, что суммарная сила взаимо­ действия по величине равна f = mgtg а, то условие равновесия ша­ рика примет вид /+/цИ =mgtga—mco2 /' = 0, откуда

Величина центробежной силы инерции / и = —тт2 г, действующей на тела во вращающихся системах координат в направлении ра­ диуса от оси вращения, зависит только от угловой скорости враще­ ния системы координат со и от радиуса г, но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем координат. Иными словами, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах координат на все без исключения материальные тела, удаленные от оси вращения системы на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этих системах координат, или же движутся с какой-либо относительной скоростью.

При изучении вращательного движения какого-либо тела в инер­ циальной системе координат решается динамическая задача о на­ хождении центростремительного ускорения этого тела, вызываемо­ го приложенными к нему силами взаимодействия. В системе же координат, вращающейся вместе с телом, решается статическая задача о равновесии данного тела при действии на него тех же сил взаимодействия и центробежной силы инерции.

Таким образом, изучая как поступательное, так и вращательное движения тела, можно рассматривать движение тела относительно инерциальной системы координат, учитывая только действующие на него силы взаимодействия, и определять ускорение w этого тела из второго закона Ньютона:

где m — масса тела; f — сумма всех приложенных к нему сил вза­ имодействия. Но можно воспользоваться и системой координат, движущейся вместе с телом. В такой системе тело будет покоиться,, но, помимо сил взаимодействия, оно будет испытывать и действие силы инерции in, равной взятому с обратным знаком произведению массы тела на ускорение связанной с ним системы координат и уравновешивающей все силы взаимодействия. Условие равновесия всех действующих на тело сил, включая и силу инерции, запи­ шется так:

указанную возможность замены динамической задачи об отыскании ускорения тела в инерциальной системе координат на статическую задачу о равновесии тела в системе координат, движущейся вместе с ним. Данный принцип часто применяется при решении ряда кон­ кретных задач механики.

Так, пусть искусственный спутник массы т равномерно обра­ щается по круговой орбите вокруг Земли на расстоянии г от ее центра. Найдем, какова его скорость v (так называемая первая космическая скорость).

В системе координат, связанной с Землей и считающейся инер­ циальной, спутник равномерно вращается по окружности ради­ уса г. Значит, единственная действующая на него сила тяготения со стороны Земли, которую будем считать равной mg (всеми другими силами можно пренебречь), проявляется как центростремительная. Поэтому

Решим эту задачу иначе, воспользовавшись системой координат, движущейся вместе со спутником, и применив принцип Даламбера, На спутник, покоящийся в данной системе, действует сила тяготения