книги из ГПНТБ / Морозовский В.Т. Системы электроснабжения летательных аппаратов

Решение этого уравнения дает

Таким образом, в новой системе координат матрица N* равна

0 0 0 . . 0

Матрица синхронизирующих перекрестных связей в новой систе­ ме координат принимает вид

S* = C -1SC = C - 1(E — N )C = E - N * =

0 0 0 . . . о

0 1 0 . . . о

(9.31)

0 0 0 . . . 1

Скалярные матрицы после операции преобразования подобия не меняются. Таким образом, в новой системе координат МОСАР оказывается расцепленной на п независимых каналов регулирования.

Матрица канонического базиса С для симметричных матриц подчиняется соотношению ортонормированности

Так например, при симметричных перекрестных связях, кото­ рые описываются матрицей,

М М М . . . о

Характеристические числа будут равны

Р і = (п — 1)ЛГ; р 2= Р з = • • ■= Р п = — М .

210

Характеристическому числу Рі= (п— \)М соответствует соб ственный вектор

1

У п

1

Остальные (п — 1) собственных векторов ортогональны ему. Один из вариантов ортогональной матрицы канонического базиса

У п У л ( л — 1)

условиям, облегчающим переход к эквивалентной системе или обратный пересчет результатов исследования эквивалентной си­ стемы на исходную.

Так, например, можно потребовать, чтобы матрица перехода состояла только из нулей и единиц с тем, чтобы переход к коор­ динатам эквивалентной системы мог быть осуществлен сумми­ рованием компонент каждого из векторов системы с единичными весами.

Наибольший интерес представляют такие матрицы преобра­ зования координат, которые позволяют иметь в качестве новых переменных простейшие линейные комбинации оригинальных, например, матрица

211

В новой системе координат вектор-столбец переменных х преоб­ разуется в вектор X

а матрица N подвергается той же трансформации, что и при ка­ ноническом базисе

212

Векторы переменных подвергаются трансформации

т. е. первая эквивалентная сепаратная система представляет усредненное движени, а остальные (п — 1) независимые относи­ тельные движения.

Матрица N подвергается той же трансформации

Таким образом, для рассматриваемого класса МОСАР суще­ ствуют такие векторы преобразования координат, при помощи которых система расцепляется на независимые друг от друга усредненное и относительные движения, исследования которых существенно проще исследования оригинальной системы.

Аналогичным образом осуществляется переход к эквивалент­ ной системе и для блочных МОСАР, однако, здесь матрица пре­ образования имеет блочно-диагональный вид, причем размер­ ность блоков, находящихся на диагонали, соответствует размер­ ности преобразуемых групп.

Например, для рассмотренной выше блочной передаточной матрицы

213

Блочные матрицы эквивалентной системы легко найти, ів ы - €рав соответствующие матрицы преобразования, о которых гово­ рилось выше. В результате диагональные блоки матрицы экви­ валентной системы получаются диагональными, и недиагональ­ ные блоки будут содержать лишь по одному элементу в верхней строке слева.

Например, если принять

ОН и — м п . . . о

0 0 . . . 0

214

9. 4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ МОСАР

Так как переход от МОСАР к эквивалентной системе осуще­ ствляется преобразованием подобия (см. разд. 9. 3), то левые ча­ сти (а следовательно, и корни) их характеристических уравнений совпадают [8]

det [Д + (Ң0+ a N )R] = det {С" 1[E + (H 0+ a N !*) /?] С) =

= det С - 1det С det [ £ + ( Я 0+ aN*) Я] = П [1 + (Я„ + pfl) Rtl}.

(9.45)

вследствие диагональности матрицы (Н0+ aN*) R.

Ко характеристическое уравнение эквивалентной системы распадается на п характеристических уравнений эквивалент­

были устойчивыми все п эквивалентные сепаратные системы.

В общем случае при исследовании устойчивости МОСАР не­ обходимо «-кратное применение какого-нибудь кратерия, разра­ ботанного для систем с одной регулируемой переменной. Так как при этом порядок эквивалентных сепаратных систем в п ра» ниже, чем МОСАР, то исследоівание существенно упрощается.

Границами областей D-разбиения в плоскости параметров-, сепаратных систем МОСАР являются совокупность границ, по­ строенных для каждой из эквивалентных сепаратных систем.. Внутри каждой области число левых (и соответственно правых) корней характеристического уравнения МОСАР равно сумме ле­ вых (правых) корней характеристических уравнений эквивалент­ ных сепаратных САР. Область устойчивости является пересече­ нием (общей частью) областей устойчивости всех эквивалентных сепаратных систем.

Особенно сильно упрощаются исследование устойчивостиМОСАР с синхронизирующими и усредняющими перекрестными, связями, так как корни для (п — 1) относительных движений оказываются кратными и достаточно проанализировать устойчи­ вость лишь двух движений — усредненного и относительного.

В самом деле, характеристическое уравнение такой МОСАР можно представить в виде

21S

где W — передаточная функция прямого канала разомкнутой МОСАР; М — приведенная передаточная функция перекрестной связи.

Элементарными преобразованиями строки столбцов это урав­ нение приводится к виду

Последнее характеристическое уравнение распадается на (п—1) одинаковых характеристических уравнений относительных движений

исследование которых может быть проведено обычными мето­ дами.

Хотя качество регулирования в эквивалентных системах для •относительного и усредненного движений может быть исследова­ но довольно просто, однако последующий пересчет отклонений в МОСАР часто — громоздкая и трудоемкая вычислительная опе­ рация. Поэтому естественно поставить вопрос, нельзя ли полу­ чить достаточно полное представление о качестве регулирования в МОСАР по переходным процессам ів эквивалентных сепарат­ ных системах?

Такая возможность существует благодаря взаимно однознач­ ному соответствию между процессами в МОСАР и эквивалентной системе, вследствие чего большим отклонениям в эквивалент­ ной системе обычно соответствуют большие отклонения в иссле­ дуемой’системе. Исчезающе малые отклонения в обеих системах наступают одновременно.

Рассмотрим реакцию системы на возмущение q по ошибке е, хотя все соотношения действительны для любой пары векторов «вход — выход».

Пусть переходные функции эквивалентных сепаратных систем

■<7= 0, действует единичное скачкообразное возмущение, вектор которого подчиняется соотношению

A - l

где Eh(t) — значение ошибки в k-и эквивалентной системе.

216

Знак равенства при каждом t имеет место при некотором воз­ мущении q= Ci, где Сі — собственный вектор матрицы N, соответ­ ствующий эквивалентной сепаратной системе с наибольшим от­ клонением в момент t. Таким образом, модуль вектора ошибки МОСАР в переходном процессе в каждый момент времени огра­ ничен сверху наибольшим из модулей ошибок в переходных про­ цессах эквивалентных сепаратных систем.

Приняв в качестве меры отклонений в МОСАР модуль век­ тора ошибки, назовем его максимальное значение в переходном процессе перерегулированием, временем регулирования — мо­ мент времени Т, начиная с которого модуль вектора ошибки ста­ новится меньше заданного допуска А. Тогда из соотношения (9. 51) следует:

1)перерегулирование в МОСАР ограничено сверху наиболь­ шим из перерегулирований в эквивалентных сепаратных си­ стемах;

2)время регулирования Т в МОСАР по допуску А не пре­ вышает наибольшего значения времени регулирования в экви­ валентных сепаратных системах 7\э (/= 1, 2,..., п) по допуску А:

Т< т а хТіэ.

Эти соотношения позволяют оценки качества переходных про­ цессов переносить с эквивалентной системы на МОСАР. При синтезе требования к качеству, сформулированные для МОСАР, необходимо применять к эквивалентным сепаратным САР.

Рассмотрим вопрос о декомпозиции интегрального квадратич­ ного критерия [26]

В выражении (9.52) коэффициенты веса приняты единич­ ными, потому что обычно в МОСАР требования к регулируемым величинам в различных сепаратных каналах одинаковы.

Для эквивалентной системы интегральной квадратичный кри­ терий принимает вид

Е * ( 0 С * С Е ( / ) Л = 2 f I ( Л - ) э к в .

1=1 0 1=1

(9. 53)

т. е. интегральные квадратичные оценки качества регулирования сепаратных САР эквивалентной системы (частные квадратичные критерии) вычисляются независимо. Их сумма составляет инте­ гральную квадратичную оценку для МОСАР.

П р и м е ч а н и е . Здесь * — символ сопряжения по Эрмиту.

217

Проведя аналогичные выкладки в формулах для вычисления средней квадратичной ошибки МОСАР, работающей в условиях действия стационарных случайных сигналов, получим

где М — символ математического ожидания.

Анализ МОСАР целесообразно начинать с усредненного дви­ жения. Для широкого класса МОСАР, к которому относится си­ стема работающих параллельно идентичных генераторов элек­ трической энергии, усредненное движение совпадает с движени­ ем одиночного, автономного канала. Поэтому, если процессы регулирования в одиночном канале достаточно хорошо изучены, то необходимость в исследованиях усредненного движения от­ падает.

Если в постановке задачи возмущения заданы, то необходим пересчет возмущений для эквивалентной системы. При этом в относительных системах действуют разные возмущения и анали­ зу подлежит реакция системы относительных координат на каж­ дое из возмущений. Иногда в целях упрощения исследования допустимо ограничиться рассмотрением реакции системы относи­ тельных координат на наиболее неблагоприятное из (п — 1) воз­ мущений. Эта рекомендация может быть использована и при анализе точности работы системы в условиях стационарных слу­ чайных возмущений: при этом из (п — 1) характеристик случай­ ных возмущений (корреляционных функций, функций спектраль­ ной плоскости) допустимо взять только самую неблагоприятную.

Если в процессе анализа требуется установить наиболее бла­ гоприятные с той или иной точки зрения параметры, то решение этой задачи должно осуществляться с учетом как усредненного, так и относительного движений. В ряде случаев приходится идти на компромисс с тем, чтобы наиболее полно удовлетворить тре­ бования как для относительного, так и для усредненного движе­ ний. Необходимость достижения такого компромисса вытекает из того, что усредненное и относительное движения могут сущест­ вовать независимо друг от друга. Например, если на идентичные входы всех каналов подавать одинаковые возмущения, то в си­ стеме возникает лишь усредненное движение; если же эти воз­ мущения разные, но их сумма в любой момент времени равна нулю, то в системе возникают лишь относительные движения.

В ряде случаев, например, при параллельной работе синхрон­ ных генераторов, усредненное движение совпадает с движением одиночного генератора, т. е. может существовать самостоятельно при ресинхронизации генераторов.

Интегральный квадратичный критерий в симметричной МОСАР (при условии перехода к эквивалентной системе при

218