книги из ГПНТБ / Морозовский В.Т. Системы электроснабжения летательных аппаратов

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ОДНОТИПНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

9. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Электроэнергетические системы многих летательных аппара­ тов имеют несколько генераторов электрической энергии, рабо­ тающих параллельно. Все генераторы и аппаратура управления ими являются идентичными. Поэтому система параллельно ра­ ботающих авиационных генераторов может быть представлена в виде нескольких однотипных взаимосвязанных каналов гене­ рирования электрической энергии. Иными словами авиационные электроэнергетические системы относятся к классу многомерных однотипных систем автоматического регулирования (МОСАР) и изучение рабочих процессов, протекающих в них, может быть осуществлено методами, разработанными для исследований МОСАР.

МОСАР называются такие системы, в которых имеется не­ сколько идентичных каналов регулирования, взаимосвязанных друг с другом симметричными перекрестными связями [27, 35]. Симметричность перекрестных связей между однотипными кана­ лами передачи сигналов позволяет существенно упростить проб­ лему анализа и синтеза таких систем.

Оказывается, что при идентичности каналов и симметрично­ сти перекрестных связей удается выделить два швершенно неза­ висимых движения одноименных координат МОСАР, причем дей­ ствительное движение является суммой этих двух независимых движений.

Одно из этих движений характеризует изменение одноимен­ ных координат в среднем и в дальнейшем оно будет называться усредненным движением. Другое движение характеризует взаим­ ное изменение одноименных координат смежных каналов или, что то же самое, — изменение координаты любого канала относи­ тельно среднего (мгновенного) значения координаты этих кана­ лов. Это движение будем называть относительным. Например, среднее напряжение на зажимах одноименных генераторов

201

л

относительным движением, причем действительное движение яв­ ляется суммой

В n-канальной МОСАР в общем случае имеется п—1 независи­ мых относительных движений, причем отличаются они друг от друга лишь неодинаковыми начальными условиями, так как характеристическое уравнение (а с ним и собственное движение) для всех относительных движений одно и то же. Весьма суще­ ственным является то обстоятельство, что как усредненное, так и относительное движения описываются дифференциальными уравнениями значительно более низкого порядка, чем порядок дифференциального уравнения системы в целом. Иными словами, в данном случае появляется возможность декомпозиции системы, т. е. расчленения сложной системы на ряд значительно более простых систем.

Рассмотрим пример.

Допустим, что мы имеем несколько однотипных вращающихся машин, и представим себе наблюдателя, находящегося на роторе одной из них.

Очевидно,- что если роторы машин вращаются синхронно, то наблюдателю будет казаться, что роторы смежных с ним машин неподвижны. В то же время относительно своих статоров роторы всех машин движутся. Такое синхронное движение всех роторов является усредненным движением, которое в данном случае про­ является в чистом виде. В более общем случае несинхронного движения роторов машин усредненное движение является сред­ ним движением всех роторов, координата среднего движения равна сумме всех одноименных координат разделенной на число машин.

Допустим теперь, что роторы всех машин вращаются так, что в любой момент времени средняя скорость вращения ротора равна нулю (усредненное движение отсутствует). Наблюдатель, находящийся на роторе машины, обнаружит движение (переме­ щение) роторов смежных с ним машин (если исключить, ко­ нечно, тривиальный случай, когда роторы всех машин непо­ движны) .

Такое взаимное перемещение роторов и представляет собой относительное движение. Общее число таких относительных дви­

жений -^-п(п—1), причем независимых движений будет п—!

(п — число машин).

202

Разумеется, что все сказанное в равной мере может быть применено как к скоростям роторов машин, так и к любым иным одноименным координатам системы (токам, напряжениям и т. п.).

Все вышеизложенное имеет прямое отношение к электроэнер­ гетическим системам летательных аппаратов, имеющих несколь­ ко однотипных, работающих параллельно генераторов [21].

Перейдем теперь к математическому описанию однотипных систем автоматического регулирования, включающему в себя авиационные электроэнергетические системы.

•9. 2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

МОСАР является частным случаем многомерных САР (МСАР). Наличие нескольких каналов регулирования в таких системах затрудняет составление уравнений и структурных схем. Аналогично тому, как обычные системы автоматического регу­ лирования представляют в виде некоторой комбинации последо­ вательно и параллельно включенных звеньев (двухполюсников), МСАР представляют в виде некоторой комбинации последова­ тельно и параллельно включенных матричных звеньев (много­ полюсников).

Рассмотрим простейшее звено МСАР, развернутая структур­ ная схема которого изображена на рис. 9. 1 (для п = 3).

Уравнения, связывающие выходные координаты Уі с вход­ ными Хі, в операторной форме имеют вид:

ft-i

кфі

і = \,2...п

где Уі — изображение выходной величины в t-ом канале; Хі — изображение входной величины в t-ом канале;

Wi(p) — передаточная функция звена г'-го канала; Мш{р) — передаточная функция перекрестных связей;

р — оператор преобразования Лапласа.

Совокупность входных сигналов звена можно представить вектором входа х, выходных — вектором выхода у. Тогда в мат­ ричной форме система уравнений (9.4) запишется как

Матрицы-столбцы у и х являются многомерными векторами

У = \Уѵ Уъ' •••> Уп\т>x = [xlt х2, . . . , Xf\ ,

компонентами которых служат элементы этих матриц (т — знак транспонирования)

203

Матрица W (p) называется передаточной матрицей системы одноименных звеньев. Элементы Wu главной диагонали матрицы являются передаточными функциями звеньев сепаратных кана-

лов. Они называются собственными передаточными функциями. Недиагональные элементы Mik матрицы являются передаточ­ ными функциями перекрестных связей и определяют долю уча­ стия несобственных входных сигналов в формировании выходной величины того или иного канала. Они называются несобствен­ ными передаточными функциями. Таким образом, матричное звено характеризует передачу воздействий в линейном много­ мерном динамическом звене и отражает зависимость каждого выхода системы одноименных звеньев (например регуляторов) от каждого из ее входов.

Одноименные звенья могут быть охвачены не прямыми, а обратными перекрестными связями, как это приведено, напри­ мер, на рис. 9.2.

В этом случае входные сигналы связаны с выходными сле­ дующими уравнениями

204

ft-1

ЬФІ

/ = 1, 2, . . . , n

где Lik — передаточные функции обратных перекрестных связей. Последняя система уравнений в матричной форме имеет вид

одноименных звеньев W принимает вид W -~Z~X.

Довольно часто в группах одноименных звеньев имеются как прямые, так и обратные перекрестные связи. В этом случае все перекрестные связи целесообразно приводить либо только к пря­ мым, либо только к обратным или матричное звено представить в виде параллельного соединения двух матричных звеньев, одно из которых охвачено только прямыми, а другое только обрат­ ными перекрестными связями.

В общем случае матричная структурная схема МСАР пред­ ставляет собой замкнутую систему, состоящую из многомерного объекта регулирования и многомерного регулятора (рис. 9.3).

На этой структурной схеме Н — передаточная матрица мно­ гомерного объекта регулирования, R — передаточная матрица

многомерного регулятора, <p, р, q, к — векторы регулируемых и регулирующих величин, а также возмущающих и управляющих воздействий, соответственно.

Для этой матричной структурной схемы справедливы уравне­

205

Разрешая эти уравнения относительно вектора ф, получим

где £ — единичная матрица.

Если'матрица £ + Я/?, которая называется характеристической матрицей замкнутой МСАР, неособенная, то

С? = (E + H R ) - i ( H R \ - \ - H q ) = G qq + G xK

гдеG q= (Е + Н R ) - ' H — передаточная матрица по возмущениям замкнутой МСАР;

G \ — (Е + H R ) ~ XH R — передаточная матрица по задающим воздействиям замкнутой МСАР.

Характеристическое уравнение замкнутой МСАР может быть получено, если приравнять нулю определитель характеристи­

Примечание. Следуетиметьввиду,чтохарактеристическоеуравне­ ние (9.14)справедливо лишь для такназываемой полностью управляемой инаблюдаемойчастейсистемы.В некоторых-частныхслучаяхсистемаможет содержатьтакназываемые неуправляемые иненаблюдаемые части, харак­ теристические уравнения длякоторыхотличаютсяотуравнения (9.14)[26].

Матричная структурная схема, приведенная на рис. 9.3, справедлива для любой МСАР, в частности и для МОСАР.

Авиационные электроэнергетические системы относятся к частному виду МОСАР, характеризующемуся симметрич­ ностью перекрестных связей между каналами регулирования [27]. Для этого частного случая передаточные матрицы объекта регулирования и регулятора могут быть приведены к виду:

206

— передаточная матрица синхронизирующих перекрестных свя­ зей;

М и К — скалярные передаточные функции.

Нетрудно заметить, что передаточная матрица синхронизиру­

Матричную структурную схему, изображенную на рис. 9. 4 можно привести к виду, показанному на рис. 9. 3, если объеди­ нить звенья прямых каналов объекта со звеном обратных пере­ крестных связей. В этом случае эквивалентная передаточная матрица объекта регулирования Н' будет

Общим случаем, рассмотренных выше МОСАР, являются блоч­ ные МОСАР, представляющие собой взаимосвязанные системы, состоящие из ряда (т) простых, но отличных друг от друга МОСАР.

Иногда приходится иметь дело со сложными электроэнергети­ ческими системами, представляющими собой несколько (т) од­ нотипных групп параллельно работающих генераторов электри­ ческой энергии, взаимосвязанных друг с другом симметричными

207

перекрестными связями. Такие электроэнергетические системы и относятся к блочным МОСАР [22].

Блочные МОСАР могут быть представлены той же общей матричной структурной схемой, которая приведена на рис. 9. 3, однако передаточные матрицы объекта и регулятора здесь будут

где Нц и Мц — скалярные передаточные функции; Еі — единичная матрица размерности щХщ\

N i — передаточная матрица усредняющих перекрест­ ных связей размерности щ Х п ^

Аналогичный вид имеет и передаточная матрица регуляторов.

9. 3. ДЕКОМПОЗИЦИИ МОСАР ПРИ ПОМОЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Все исследования МОСАР можно существенно упростить, если перейти к новой системе координат. Для того, чтобы урав­ нения МОСАР записать в новой системе координат, необходимо ввести матрицу преобразования координат. Тогда произведение векторов соответствующих переменных слева на обратную мат­ рицу преобразования координат дает значение векторов этих переменных в новой системе координат. Здесь имеется несколь­ ко возможностей.

Прежде всего отметим, что передаточные матрицы, рассмат­ риваемого класса МОСАР, представляют собой либо скалярные матрицы, либо произведение скалярной передаточной функции на

208

числовую матрицу (матрицу УѴ). Известно, что любая неособен­ ная числовая матрица при помощи преобразования подобия мо­ жет быть приведена к простейшей диагональной форме, что же касается скалярных матриц, то преобразования подобия не ме­ няют их вида, так как они перестановочны с матрицей преобра­ зования координат.

Допустим, что в качестве матрицы преобразования координат избрана некоторая неособенная матрица J . Для перехода к но­ вой системе координат умножим все члены уравнения МОСАР (9.12) слева на обратную матрицу преобразования координат. Тогда уравнение (9. 12) примет вид:

У- 1(E + HR) J J ^ = J - ' H R J J - 4 + J~lH J J~xq. (9.26)

Обозначим переменные ,в новой системе координат

Ф = Ä = J - lX- Q= J-iq.

Тогда уравнение МОСАР в новой системе координат будет

где Н* и R* — передаточные матрицы МОСАР в новой системе координат. Как видно, все передаточные матрицы в новой систе­ ме координат получаются из исходной при использовании опера­ ции преобразования подобия. Теперь следует выбрать такие мат­ рицы преобразования подобия, которые преобразуют все пере­ даточные матрицы к простейшей диагональной форме. Естест­ венно в качестве матрицы преобразования выбрать канонический базис числовой матрицы, при помощи которой записываются все уравнения МОСАР.

Выше было показано, что для рассматриваемого класса МОСАР все передаточные матрицы могут быть представлены при помощи комбинаций скалярных матриц с передаточной матрицей усредняющих перекрестных связей N . Поэтому за матрицу пре­ образования возьмем канонический базис матрицы N . При этом матрица N преобразуется к простейшей диагональной форме. На ее диагонали будут стоять характеристические числа (собствен­ ные значения) матрицы рц р2\ ..., рп■Матрица N симметрична, поэтому ее канонический базис С является ортогональной матри­ цей, а собственные значения вещественны. Это существенно упро­ щает все исследования МОСАР. Характеристические числа мат­ рицы N можно найти из характеристического уравнения

или

209