книги из ГПНТБ / Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики

Полученные неравенства необходимо пронормировать. Для этого умножим каждое неравенство на соответствующий норми­ рующий множитель

После приведения к нормальному виду получаем

Легко показать, что после такого преобразования фу пред­

ставляет^ собой «расстояние» в /z-мерном пространстве от точки М(х^, х 2, X п) до плоскости г|);- = 0, т. е. до соответствующей

границы области работоспособности. Будем считать, что точка М принадлежит поверхности фу, если

где б достаточно малое положительное число *, превышающее погрешность опыта.

Возможны два случая расположения исходной точки относи­ тельно области работоспособности.

1. Центр эксперимента (точка W, (рис. 156, б) с координата­ ми .Ѵ| = х2 — ... = хп = 0) лежит внутри области работоспособ­ ности В, т. е. все свободные члены системы (443) не отрицатель­ ны (boj ^ 0). Шаговое движение в этом случае совершается из

центра эксперимента в направлении градиента линейного при­ ближения функции А до точки встречи с границей многогранни­

ка, ограничивающего область работоспособности. Градиент

линейного приближения функции А представляет собой л-мер-

ный вектор:

ной минимальному допустимому отклонению размеров элемента.

341

Для отыскания координат точки встречи вектора grad А с границей многогранника В необходимо во все неравенства си­

в глубь области В необходимо, чтобы величина rj была наиболь­ шей, а величины y jv удовлетворяли условиям у { > Â., где К —

произвольное, достаточно малое положительное число, характе­ ризующее скорость удаления от границ области. Область, опре­ деленная этими линейными неравенствами, неограничена, так что

правления крутого восхождения при наличии ограничений сво­ дится к решению следующей задачи линейного программирова­ ния. Максимизировать линейную форму

І & К 1 -

Решив эту задачу одним из известных методов [19], получим значения компонент вектора £, т. е. шаговое движение осуще­ ствляется в направлении вектора

342

В направлении этого вектора ставится ряд опытов (совер­ шается шаговое движение) для различных значений к. Д виж е­

ние продолжается до тех пор, пока: а) не будет нарушено одно из ограничений или б) не прекратится возрастание функции А.

В случае а) необходимо проверить, справедливо ли линейное приближение, полученное в центре эксперимента. Для этого ре­ зультаты замеров параметров сравнивают с результатами рас­ четов по уравнениям связи. Если это приближение справедливо, то рассчитывается новое направление шагового движения. Если представление не справедливо или прекратилось возрастание критерия качества, то необходимо реализовать новую серию опытов факторного эксперимента, приняв за центр эксперимен­ та точку с наилучшим результатом из полученных при шаговом движении, и вновь произвести крутое восхождение описанным способом.

Крутое восхождение продолжается до тех пор, пока не будет достигнут условный экстремум, т. е. пока максимальное значе­ ние ц, полученное из решения задачи линейного программиро­

В этом случае крутому восхождению описанным выше мето­ дом должно предшествовать отыскание опорного решения, удов­

чивающее наискорейшее попадание внутрь области работоспо­

Шаговое движение в найденном направлении £(°> продол­ жается до тех пор, пока не будет достигнута точка М^\ удовле­

творяющая условиям работоспособности,, либо не будет наруше­ но хотя бы одно из ограничений. В последнем случае необходи­ мо вновь провести факторный эксперимент с центром в точке с нанлучшим выходом и рассчитать новое направление шагового движения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не бу­

343

дет найдена точка, удовлетворяющая условиям работоспособно­ сти. После этого осуществляется крутое восхождение в соответ­ ствии с п. 5, гл. IX.

При оптимизации струйных элементов можно ограничиться крутым восхождением, не переходя к исследованию области, лежащей вблизи экстремума. Это объясняется следующим. Вопервых, задачи оптимизации элементов струйной автоматики являются задачами на условный экстремум, и безусловный экстремум целевой функции лежит, как правило, за пределами области работоспособности.

Во-вторых, специфика таких критериев качества, как нагру­ зочная способность, время переключения и др., такова, что инте­ рес представляет только существенное повышение последних, а изменение на несколько процентов, имеющее место в указан­ ной области, лежащей вблизи явного экстремума целевой функ­ ции, не представляет практического интереса.

мощью разработанного метода. Линейные приближения функции отклика для

нарушаю тся. Поэтом у прежде, чем начинать крутое восхождение необходимо сделать предварительный ш аг в направлении £<°>.

344

дФі

1 ,7 4 - 0 . 5 *

—3 —k

—3 — k

Результаты контрольных опытов приведены в табл. 14.

ления на выходе является следствием неправильной организации потоков на выходе (п. 4, гл. V). В соответствии с этим в качестве варьируемых факторов были выбраны смещения пластины с (рис. 157, б) в направлении осей коор­ динат и поворот относительно вертикальной оси, проходящ ей через точку А.

смещение в направлении, перпендикулярном оси сопла х 2 и поворот пластины относительно точки F в направлении разделителя х3.

М атрица планирования и результаты экспериментов приведены в табл. 15.

346

Т а б л и ц а 15

рср

10. Метод оптимизации по минимуму требуемой точности изготовления

Высокая требуемая точность изготовления является сущест­ венным ограничением, сдерживающим развитие миниатюрных элементов струйной автоматики. Поэтому весьма актуальным является отыскание такой конфигурации, которая оставалась бы работоспособной при наибольших допустимых отклонениях гео­ метрических размеров. Отметим, что в литературе отсутствуют объективные данные о требуемой точности изготовления струй­ ных элементов.

Как указывалось выше, условия работоспособности (430) вы­ деляют в факторном пространстве некоторую область работо­ способности. Если принять, что допуски для всех факторов оди-

348

маковы, а поле допуска симметрично относительно номинала, то допустимые значения координат ограничиваются неравенствами:

где Хоі — номинальное значение координаты хг, ö x — допустимое отклонение координат.

Соотношения (456) определяют в факторном пространстве д-мерный гиперкуб с центром в точке (хоь хо2 , .... Х о ..., х0„) и

ребром, равным 2бх. Элемент работоспособен, если этот гипер­

чем больше А, тем большие отклонения от номинала допускает

конструкция элемента, оставаясь работоспособной.

При решении задачи оптимизации по грубости отклонения размеров малы по сравнению с номинальными значениями. Учи­ тывая это, а также то, что функции отклика для параметров струйных элементов являются гладкими и непрерывными, эти функции с достаточной точностью могут быть аппроксимированы линейными выражениями вида

П

В,- = Ъщ + 'yj)ijxi.

1 = 1

Задача отыскания наиболее грубой конфигурации сводится к отысканию в /г-мерном факторном пространстве точки, наибо­ лее удаленной от границ многогранной области работоспособно­ сти, и формулируется следующим образом.

торой

L = max min фДх,-).

X 1 <i-.m

Система (457), очевидно, совместна тогда и только тогда, когда L > 0. L представляет собой расстояние до ближайшей

плоскости от точки (х ', х 2', ..., х^), максимально удаленной от системы плоскостей

ф; = 0 (/ = 1, 2, . . ., т),

и лежащей внутри области работоспособности.

349