книги из ГПНТБ / Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики

Hu целевая функция, ни функции ф; заранее не известны, но ' значения А н Bj можно найти для ряда точек экспериментально.

Каждый эксперимент позволяет определить, находимся ли мы внутри области работоспособности, либо вне ее. По поверхности отклика, оставаясь в пределах области работоспособности, сле­ дует подняться как можно выше, используя накапливаемую ин­

NoNiNaNsNt.

Геометрический смысл задачи оптимизации по минимуму

требуемой точности изготовления таков: внутри области работо­ способности необходимо найти точку М, наиболее удаленную

от границ области работоспособности. Если изготовить струйный элемент, размеры которого будут равны координатам упомяну­ той точки, то он будет допускать наибольшие отклонения разме­ ров от номинала, оставаясь работоспособным.

4. Стратегия поиска оптимума

Геометрический смысл задачи поиска оптимума заключается в том, чтобы после небольшого числа экспериментов найти точ­ ку в факторном пространстве, в которой значение критерия ка­ чества близко к оптимуму.

Каждый эксперимент позволяет определить значения (от­ клик) зависимой переменной для определенного сочетания фак­ торов. Каждая группа экспериментов строится таким образом, чтобы получить информацию о форме поверхности отклика и направлении «движения» в факторном пространстве, обеспечи­ вающем наиболее быстрое достижение цели. При этом де­ лается два типа «шагов»: пробные, имеющие целью получить представление о поверхности отклика, и рабочие, ведущие к оп­ тимуму.

В процессе поиска необходимо сочетать в нужной пропорции пробные и рабочие шаги. Если поставить целью изучение по­ верхности отклика, то следует реализовать большой объем экс­ периментов. При этом будет получено подробное описание неко­ торой области поверхности отклика, но вблизи оптимума харак­ тер поверхности будет не изучен. С другой стороны, попытки достичь оптимума без предварительного исследования, как пра­ вило, не приводят к цели.

Характер стратегии поиска, т. е. соотношение рабочих и пробных шагов, меняется по мере приближения к оптимуму. Вначале, вдали от оптимума, где наклон поверхности велик, сле­ дует восходить по поверхности отклика как можно быстрее, про­ водя пробные исследования только тогда, когда определяется новое направление рабочих шагов. Вблизи оптимума, где наклон поверхности отклика мал, необходимы подробные исследования, чтобы получить хоть какое-то движение к оптимуму.

330

При оптимизации элементов струйной автоматики следует иметь в виду, что как значения факторов, так и значения пара­ метров и критерия качества измеряются с ошибками, поэтому методы аппроксимации должны обеспечивать достижение опти­ муму II при наличии ошибок.

Известно несколько методов поиска оптимума: метод сечений пли метод Гаусса-Зайделя [56], метод градиента, релаксационные методы [33] и др. Однако для задач оптимизации при наличии ошибок измерений наиболее рационален метод Бокса-Уилсона.

В этом методе в качестве пробных шагов, служащих для бо­ лее пли менее полного описания поверхности отклика, исполь­ зуется факторный эксперимент [38].

На основании специально поставленной серии экспериментов получают приближенное выражение для функции отклика в ви­

уравнение называют уравнением регрессии, а коэффициенты щ,

а,-; — коэффициентами регрессии.

Различают теоретические коэффициенты регрессии сц, кото­

рые могли бы быть получены при бесконечно большом числе опы­ тов, и выборочные коэффициенты регрессии а,-, которые опреде­ ляются на основе ограниченного числа опытов (выборки).

чается в том, что он позволяет существенно снизить ошибку в оп­ ределении коэффициентов регрессии в уравнении связи по срав­ нению с классическим экспериментом.

Стратегия поиска по Боксу-Уплсоиу такова: вдали от опти­

Далее совершаются рабочие шаги в направлении градиента этого линейного приближения до достижения локального экстре­ мума, т. е. до тех пор, пока критерий А не начнет убывать.

В точке с наилучшим результатом ставится новая серия опытов, находится новое линейное приближение и совершаются рабочие шаги в направлении градиента нового линейного приближения. Такое движение продолжается до тех пор, пока не будет достиг­

331

нута область, близкая к экстремуму; здесь ставится большая серия опытов, позволяющая описать поверхность отклика поли­ номом второй (а иногда и третьей) степени.

Метод Бокса-Уилсона весьма эффективен при решении задач без ограничений, однако при решении задач на условный экстре­ мум он может привести к выходу за границы области работо­ способности. Известные методы оптимизации [33], приспособлен­ ные к решению задач на аналоговых вычислительных машинах, предусматривают либо движение вдоль границы области работо­ способности, либо зигзагообразное движение вдоль границы, когда после нарушения ограничения осуществляется изменение направления движения н возврат в область работоспособности. Оба эти метода требуют большого объема факторного экспери­ мента. Ниже будет описан алгоритм поиска, пригодный для ре­ шения задач оптимизации струйного элемента при наличии ог­ раничений.

5. Ф акторный эксперимент

Факторный эксперимент [38] служит для описания поверхно­ сти отклика полиномам (433).

Факторным экспериментом называют такое построение экс­ перимента, когда при переходе от одного опыта к другому одно­ временно варьируют все факторы (в классическом методе при переходе от одного опыта к другому меняется только один фак­ тор). Благодаря этому в определении каждого коэффициента регрессии при факторном планировании эксперимента участвуют все N опытов, тогда как при обычном построении эксперимента

в определении каждого коэффициента участвуют только те опы­ ты, в которых варьировался соответствующий фактор. Следстви­ ем этого является то, что при факторном планировании экспери­ мента дисперсия в определении коэффициентов регрессии в п

раз меньше, чем дисперсия в определении значения величины функции отклика А.

При факторном эксперименте значения факторов варьируют на двух, иногда на трех уровнях. В факторном эксперименте, осуществляемом с целью получения полиномов первой степени (они будут использоваться в дальнейшем), варьирование произ­ водится на двух уровнях: верхнем и нижнем относительно выб­

где Хоі — значение рассматриваемого фактора в центре экспери­ мента; Хі — текущее значение фактора.

332

Факторы варьируют таким образом, чтобы на верхнем уров­ не имело место lU'dl = + 1 , а на нижнем ІІХііі = — 1 *.

В табл. 11 в качестве примера приведена матрица планиро­

Здесь X], х2, х3— нормализованные значения факторов. К аж ­

дая строка матрицы планирования соответствует одному опыту. В и В 2, ..., В т— значения параметров, полученные в соответству­

ющем опыте.

Матрица планирования ПФЭ для большего числа факторов составляется аналогично, при этом частота изменения уровня каждого последующего фактора в 2 раза меньше предыдущего.

Матрица планирования на двух уровнях обладает свойством ортогональности [38], поэтому для нее все коэффициенты регрес­ сии определяются независимо один от другого и могут быть вычислены по следующим формулам:

применяют дробные реплики от полного факторного экспери­

мента, смысл которых может быть объяснен следующим об­ разом.

333

Предположим, что парное взаимодействие Х\Х2 (табл. 11),

заменено новым фактором х4 и варьируется в соответствии со столбцом Х\Х2, тогда коэффициент ß4 будет совместной оценкой

эффициенты регрессии, которые, как указывалось, можно было бы получить для гипотетической генеральной совокупности, со­ стоящей из всех мыслимых опытов. Дробные реплики целесооб­ разно применять тогда, когда вклад, вносимый соответствующим произведением, существенно меньше вклада линейного эффекта.

В тех случаях, когда необходимо выделить линейные эффек­ ты, реализуется вторая дробная реплика по матрице, знаки ко­

истинное значение коэффициента при линейном члене Хц.

После того, как вычислены коэффициенты регрессии по фор­ мулам (435), необходимо проверить их значимость. Для этого обычно пользуются критерием Стьюдента, в соответствии с кото­

здесь s{bi} — средняя квадратичная ошибка определения коэффициента; t — табличное значение критерия Стыодента для выбранного уровня значимости q (обычно выбирают q = 5%) и числа степеней свободы т, с которым определялась ошибка

опыта.

Для ортогонального планирования первого порядка диспер­ сии ошибок коэффициентов равны между собой и рассчитывают­ ся по формуле:

!,Л } =

£ І М

N

где N — число опытов факторного эксперимента; s{y} — диспер­ сия определения функции у, найденная по результатам М по­ вторных опытов. Число степеней свободы в данном случае т = = М — 1. Таким образом, коэффициент Ь,- значим, если

(438)

При оптимизации элементов струйной автоматики описывае­ мым методом требуются только линейные приближения функ­ ции связи. Поэтому для определения коэффициентов при п ли­

нейных членах необходимо реализовать дробный факторный экс­ перимент такого порядка, чтобы выполнялось следующее усло­ вие:

334

где с — наиболее целое число, при котором выполняется нера­

Для того чтобы выделить коэффициенты при линейных чле­ нах, необходимо реализовать вторую дробную реплику 2п~с,

матрица планирования которой получается из матрицы пла­ нирования первой в результате перемены всех знаков на об­ ратные.

Для составления матрицы планирования дробной реплики 2п~с поступают следующим образом. Составляют матрицу пла­ нирования полного факторного эксперимента для (п — с) фак­

торов, а затем заменяют все коэффициенты выше первого поряд­ ка, начиная с порядка (п — с), новыми переменными. Например,

6. Организация ф акторного эксперимента

Установка для реализации факторного эксперимента. Опти­ мизация элементов струйной автоматики представляет собой процесс поиска такого сочетания геометрических размеров, ко­ торое обеспечит максимум критерия качества. Следовательно, независимыми переменными (факторами) при оптимизации эле­ мента являются геометрические размеры элемента. Ясно, что для осуществления факторного эксперимента необходимо иметь возможность менять геометрические размеры по заданному пла­ ну. Изготовление нового элемента для каждого опыта является весьма трудоемкой работой, поэтому целесообразно иметь уст­ ройство, позволяющее варьировать геометрические размеры.

Для оптимизации плоских элементов удобно использовать установку, позволяющую испытывать составной элемент. Как отмечалось выше, необходимо разделить рабочую камеру эле­ мента на несколько функционально важных частей. Каждую из таких частей изготовляют в виде отдельной пластины, толщина которой равна глубине элемента. Пластины устанавливают на прозрачном основании и крепят винтами. Для установки плас­ тин в заданное положение используют проекционное приспособ­ ление (например, часовой проектор), проектирующее конфигура­ цию, образованную пластинами, на экран с увеличением, напри­ мер, в 50 раз. На экране помещают чертеж конфигурации, выполненный в таком ж е масштабе. Перемещая пластины, сов­ мещают их проекции с линиями чертежа. Причем, пользуясь микрометрическими винтами, можно смещать пластины в на­ правлении осей координат относительно чертежа. Таким образом, если уровни значений факторов отождествляются с перемещени-

335

Рис.157.Схемаустановкидляорганизациифакторногоэксперимента

ями пластин в направлениях осей координат от исходного поло­ жения, то упомянутые смещения пластин относительно чертежа и соответствуют верхнему или нижнему уровню значений фак­ торов.

На рис. 157 приведена конфигурация струйного элемента, основанного на взаимодействии струи со стенкой, образованная восьмью пластинами. Факторами являются перемещения плас­ тин в направлении осей координат.

К недостаткам этой установки, предназначенной для оптими­ зации элементов струйной автоматики, следует отнести извест­ ные ограничения, накладываемые на выбор варьируемых факто­ ров. Действительно, при таком выборе факторов форма пласти­ ны, т. е. взаимное положение элементов одной пластины, остается неизменной. Однако, если есть основания ожидать, что изменение взаимного положения элементов одной пластины мо­

тельные пластины с измененным взаимным положением линий профиля.

Таким образом, указанный недостаток не является значитель­ ным. В целом ж е такая установка позволяет осуществлять фак­ торный эксперимент по оптимизации плоских элементов.

При оптимизации объемных струйных элементов, например турбулентных усилителей [54], установка представляет собой камеру с подвижными соплами. Перемещая сопла, можно изме­ нять расстояние между соплами, а устанавливая сменные сопла, можно изменять их диаметры и форму.

Особенности организации факторного эксперимента. Прежде чем приступить к факторному эксперименту, необходимо проде­ лать определенную предварительную работу: выбрать исходную конфигурацию элемента; наметить варьируемые факторы и со­ ставить матрицу планирования; выбрать интервалы варьиро­ вания.

336

Исходная конфигурация элемента выбирается на основании гидродинамических исследований, расчетов, интуитивных пред­ ставлений и т. п. Единственным требованием, которому должна удовлетворять эта конфигурация, является возможность выпол­ нения элементом основных функций и возможность определения величин параметров, входящих в условия работоспособности. Так, для дискретного элемента достаточно, чтобы он переклю­ чался при подаче сигнала управления и возвращался в исходное состояние после снятия сигнала.

Понятно, что построить конфигурацию, удовлетворяющую таким общим требованиям, можно без больших затрат времени, методом проб и ошибок. Желательно, конечно, чтобы эта исход­ ная конфигурация была возможно ближе к оптимуму, так как это позволит существенно уменьшить объем экспериментов, не­ обходимых для достижения оптимума. Поэтому, чем полнее изу­ чена картина течений в элементе, тем меньше опытов необходи­

в ходе факторного эксперимента на основе анализа значимости факторов с помощью критерия Стыодента. Незначимые факторы отбрасываются. Составление матрицы планирования описано выше. Отметим, что для получения оценок только линейных чле­ нов целесообразно ставить две дробные реплики, отличающиеся одна от другой знаками.

Интервалы варьирования 7; должны быть достаточно малы­ ми, для того чтобы получить более точную линейную аппроксима­ цию. С другой стороны, они должны существенно превышать возможную ошибку установки положения пластин.

После того, как проделана эта предварительная работа, мо­ жно приступать к реализации факторного эксперимента.

Особенности статистического анализа. Особенностью фак­ торного эксперимента при оптимизации элементов струйной ав­ томатики является то, что с ошибкой измеряются не только зна­ чения функций отклика, как это обычно принимается, но с ошиб­ кой устанавливаются и значения факторов (положения пластин). Однако, как показал Бокс [75], для линейной модели можно поль­ зоваться обычными методами статистического анализа. При этом ошибка опыта, определенная из повторных измерений зна­ чения функции отклика, будет учитывать не только ошибку из­ мерения функции отклика, но и ошибки установки уровней фак­ торов.

7. П рим ер получения функций отклика

Рассмотрим пример получения функций отклика, связавающих параметры струйного элемента с внутренней обратной связью с его геометрическими размерами. Ниже эти функции

будут использованы для решения задач оптимизации струнного элемента по нагрузочной способности.

Пример. И сходную конфигурацию выбираем на основании предваритель ­

рительные эксперименты позволили установить, что на парам етры элемента

при семи линейных членах. Учитывая то, что точность установки пластин не превыш ает 0,005—0,01 мм, принимаем интервалы варьирования всех ф акто ­ ров л = 0,04 мм. Таким образом, верхнему уровню значений факторов будет

Д ив, давления отпускания рот, остаточного давления р0ст и границы коле­

нагрузочной способности вычисляем как отношение расхода на выходе к рас ­ ходу срабатывания;

опытов, определяем в центре эксперимента среднее арифметическое и среднее

338

была реализована м атрица планирования, в которой знаки изменены на об­ ратные по сравнению с матрицей табл. 12. Полученные при этом коэфф ици ­

8. Метод решения задач оптимизации по рабочим параметрам

Задача оптимизации по рабочим параметрам формулируется следующим образом: отыскать в факторном пространстве точку, принадлежащую области работоспособности и характеризую­ щуюся максимальным значением критерия качества. Как говори­ лось выше, основной особенностью этой задачи является нали­ чие ограничений (условий работоспособности), которые необхо­ димо учитывать при выборе направления крутого восхождения.

Для отыскания направления крутого восхождения наиболее удобен алгоритм выпуклого программирования [19], позволяю­ щий рассчитать направление крутого восхождения, ведущее строго в глубь области работоспособности. Допустим, выбрана исходная конфигурация струйного элемента. Выбрав варьируе­ мые факторы и интервалы варьирования, реализуем факторный эксперимент.

В результате проведения факторного эксперимента получаем линейные приближения функций отклика в виде:

Подставив функции отклика в условия работоспособности, можно записать

!» 1