книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

исходного полюса (hkl) и между индексами h, к и I нет каких-либо особых соотношений, тогда действие всех элементов симметрии данной точечной группы на данный исходный полюс дает допол­

нительно полюса (hid), (hkl) и (hkl) (фиг. 2.25). Совокупность граней кристалла, получаемых при повторении исходной грани кристалла с индексами (hkl) под действием операций симметрии, называется простой формой и обозначается индексами в фигур­ ных скобках {hkl} х). Если эта совокупность граней замыкает

WO

Ф и г . 2.25. Стереографическая проекция ромбического кристал­ ла точечной группы 222.

Оси симметрии 2 располагаются параллельно осям х, у и z.

пространство, простая форма называется закрытой, если не замы­

формы hkl, в случае точечной группы 222 это (hkl), (hkl), (hkl)

и (hkl). В данном случае о форме {hkl) говорят, что она имеет

кратность 4. Форму {hkl} можно назвать общей формой, т. е.

формой, которая не связана никаким особенным соотношением

сэлементами симметрии данной точечной группы. Особыми, или

1)Все индивидуальные грани простой формы {hkl} кристаллографически эквивалентны. Аналогичным образом, если дано направление, скажем [uvw], то все направления, получаемые действием операций симметрии данной точеч­ ной группы на это исходное направление, в совокупности называются семей­ ством направлений типа uvw и обозначаются индексами в угловых скобках

(uvw).

so Г л а в а 2

частными, формами в кристаллах этого класса будут {100}, {010} и {001}; у каждой из них по две грани: например, {100} включает

грани (100) и (100) (фиг. 2.25). Все эти формы являются открытыми. То, что это формы частные, легко выявляется, так как их кратность меньше, чем кратность общей формы.

Такие формы, как {МО}, {hOl} и {0Ы}, у которых один индекс равен нулю, а менаду двумя другими индексами нет особого соот­ ношения, также считаются частными, несмотря на то, что, как показывает фиг. 2.25, кратность каждой из них равна 4. Их относят к частным формам потому, что полюса этих плоскостей лежат на перпендикулярах к осям симметрии второго порядка. Это поло­ жение особое по отношению к данной оси; если бы при росте кри­ сталла образовывались только грани, параллельные плоскостям с индексами {МО}, {ШІ} или {0Ы), у него обнаруживалась бы симметрия, отвечающая не только наличию трех двойных осей, но еще и плоскости симметрии. К частным формам обычно относят­ ся такие формы, грани которых лежат перпендикулярно или параллельно какой-либо оси симметрии или перпендикулярно или параллельно плоскости симметрии, а также иногда равно­ наклонно по отношению к двум каким-либо одинаковым элемен­ там симметрии. Однако наилучшим определением частной формы можно считать следующее. Простая форма является частной, если развитие полного комплекса граней этой формы обнаруживает симметрию, более высокую, чем та, которой кристалл обладает в действительности. Частные формы всех классов кристаллов приведены в табл. 2.3 (стр. 108).

В ромбическую систему входят еще два класса: 2тт и ттт

(фиг. 2.24). В первом из них имеются две зеркальные плоскости, пересекающиеся под прямым углом. Наличие двух взаимно пер­ пендикулярных плоскостей симметрии автоматически приводит к возникновению двойной оси симметрии вдоль линии их пересе­

чения (фиг. 2.24). Поскольку т = 2, эта группа может обозна­

чаться также 222; именно поэтому она относится к ромбической системе, определяющей особенностью которой является наличие трех двойных осей. Этот класс кристаллов можно было бы обозна­ чить просто тт, так как на пересечении двух взаимно перпенди­ кулярных осей симметрии второго порядка третья такая же ось появляется автоматически. Однако обычно используется обозна­ чение mm2 как удобное для дальнейшего вывода пространственных групп (разд. 2.11).

Кристалл, у которого есть три двойные оси симметрии, может также обладать зеркальными плоскостями, перпендикулярными к имеющимся осям, при отсутствии осей симметрии более высокого порядка. Такая точечная группа обозначается ттт, или 2/тт. Как показывает фиг. 2.24, кратность общей формы в этом классе

равна 8. Частные формы {МО}, {hOl} и {0&Z} в этом классе харак­ теризуются меньшей кратностью, чем общая форма. Точечная группа, обладающая в данной кристаллографической системе наивысшей симметрией, называется голосимметричным, или голо­ эдрическим, классом или просто голоэдрией.

Ф и г. 2.26. Построение стереографической проекции ромбиче­ ского кристалла с заданными значениями параметров а, Ъи с.

Чтобы построить стереографическую проекцию ромбического кристалла, если даны его периоды решетки а, Ъ и с, поступим, как показано на фиг. 2.26. Положение полюсов граней (001),

(010)и (100) получаем сразу: это центр основного круга и точки,

вкоторых оси у и X пересекают основной круг. Полюс (МО) можно

С-01221

получить на основном круге, отложив угол 0 от полюса (100), как показано на фиг. 2.26, а. Это следует из фиг. 2.26, б, где представлено пересечение плоскости {МО} с осями координат кристалла на плоскости (001). Действительно, полюс (100) лежит на ОМ, грань (МО) отсекает на осях кристалла х и у отрезки дли­ ной alh и Ык соответственно, а угол Ѳ — это угол между норма­ лями к (МО) и (100). Угол Ѳпоказан на фиг. 2.26, а и б. Из фигу­ ры 2.26, б имеем

tg Ѳ = ctg (90° — 0) = (a/h)/(b/k) = (alb) (klh),

T . e.

Зная периоды решетки, мы можем также определить местоположе­

и т. д. Эти соотношения сразу же становятся очевидными, если сделать построения, аналогичные приведенным на фиг. 2.26, б, но выбрав плоскость чертежа перпендикулярно осям х или у соответственно. Определив местоположения полюсов (hOl), (0kl) (МО), можно затем найти полюса типа (hkl), используя правило зон (разд. 1.3). Согласно уравнению (1.11), если какие-либо два полюса (^і&Ді) и (h2k2l2) принадлежат одной и той же зоне с индек­ сами [uvw], то

индексы которой являются линейными комбинациями индексов каких-либо двух плоскостей данной зоны, принадлежит той же самой зоне. В общем случае т и п могут быть и положительными, и отрицательными.

Чтобы нанести на стереографическую проекцию, скажем, полюс (hkl) после того, как мы уже нанесли (001), (010), (100) и (МО), (hOl) и (ОМ), воспользуемся тем, что полюс (hkl) должен лежать в зоне, содержащей грани (001) и (МО), поскольку если умножить (001) на число I и сложить индексы (00Z) и (МО), то полу-

в кристаллах этого класса обязательно должны существовать еще

иоси второго порядка, перпендикулярные зеркальным плоскостям,

ичто, кроме того, автоматически возникает еще вторая пара таких же осей, тоже перпендикулярных зеркальным плоскостям. Одну из этих пар взаимно перпендикулярных двойных осей выбирают как направления осей х и у. Общая форма {hkl} имеет

кратность 16. Частные формы: {001}, {100}, {110}, {МО}, {№1}

и {hhl} (табл. 2.3). Последняя из них соответствует граням, которые отсекают на осях х и у равные отрезки.

Точечную группу 422 можно обозначать просто как 42, посколь­ ку, если присутствуют взаимно перпендикулярные оси 4 и 2, обязательно возникает вторая пара двойных осей; одна из этих пар выбирается в качестве направлений, определяющих оси х

и у. Класс 42т можно рассматривать как 4 т, поскольку легко показать, что под углом 45° к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии автоматически возникают две оси симметрии второго порядка. Эту пару двойных осей принимают за оси х и у. В остальных точечных группах тетрагональной системы двой­ ные оси не возникают.

Углы между полюсами на стереографической проекции и отно­ шение периодов решетки (т. е. отношение аіс в этой системе) легко связываются с помощью уравнений, подобных (2.1), если принять а = Ъ.

2.7. Кубическая система

Кубические кристаллы обладают четырьмя осями симметрии третьего порядка, расположенными, как показано на фиг. 1.30: оси всегда проходят вдоль направлений (111 >элементарной ячей­ ки, представляющей собой куб (а = Ъ = с). Это единственная

осей второго порядка в результате действия четырех осей симметрии третьего порядка, расположенных вдоль объемных диагоналей куба.

система, в которой направления [uvwl обязательно совпадают с нормалями к граням (uvw) при всех и, ѵ и w.

Нанесем на стереографическую проекцию тройные оси, совпа­ дающие с направлениями (111), и рассмотрим результат действия этих осей на некий полюс (фиг. 2.27). Оказывается, что параллель­ но координатным осям кристалла автоматически возникают оси

симметрии второго'порядка. Присутствие этих осей следует также из табл. 1.2 (ряд, начинающийся с 233). Символ точечной группы, используемый для описания этого сочетания двойной и двух тройных осей симметрии, показанной в табл. 1.2, просто 23. Это точечная группа наинизшей в кубической системе симметрии. Кратность общей формы 12.

Обозначения точечных групп кубической системы имеют сле­ дующую особенность: символ 3 в них, несмотря на то, что он отве­ чает определяющей оси системы, никогда не ставится первым;

тройные оси всегда располагаются под углом 54°44' (= arccos 1/}/3) к кристаллографическим осям. (Во всех остальных системах

Ф и г. 2.28. Расположение плоскостей симметрии в кубических кристаллах.

а — параллельно плоскостям {100} (координатные плоскости); б — па­

раллельно плоскостям {110} (диагональные плоскости).

главная ось симметрии ставится первой в символе точечной груп­ пы; чтобы установить различие между моноклинными и ромбиче­ скими точечными группами, необходимо показать наличие во вто­ ром случае двойных или инверсионных двойных осей, параллель­ ных по крайней мере двум осям кристалла.) В символе кубических точечных групп цифра 3 всегда стоит на втором месте, и это помо­ гает отличать точечные группы кубической системы от точечных групп всех остальных систем1). В кубической системе зеркальные плоскости симметрии могут проходить либо параллельно плоско­ стям {100}, как на фиг. 2.28, а, либо параллельно плоскостям {110}, как на фиг. 2.28, б. В первом случае т стоит в символе перед 3 (т. е. m3), а во втором т ставится после 3, например, ХЗт, где X означает ось, отличную от 3.

Если мы добавим зеркальные плоскости, параллельные {100}, к классу 23, то получим 2/тЗ; обычно этот класс обозначается)*

*) В символе кристаллов кубической сингонпи на первом месте ставятся элементы симметрии, проходящие вдоль координатных направлений, на треть­ ем — так называемые «диагональные» элементы симметрии, проходящие вдоль диагоналей координатных углов. — Прим. ред.

Индексы ряда граней при таком выборе осей показаны на фиг. 2.30, б. Если плоскость с индексами (100) повторить действием

шестерной оси, получатся плоскости (010), (110), (100), (010),

различными: (010) и (110). Чтобы избежать возможной путаницы

Ф п г. 2.30. Расположение элементов симметрии (а) п индексы некоторых полюсов в обозначениях Миллера п Миллера — Бравэ (б) кристалла голоэдрического класса 6/ттт гексагональной системы.

из-за того, что грани одной и той же простой формы имеют совер­ шенно различные индексы, при описании кристаллов гексагональ­ ной системы принято использовать вместо индексов Миллера индексы Миллера — Бравэ.

В системе обозначений Миллера — Бравэ, кроме двух гори­ зонтальных осей, выбирается еще одна дополнительная кристал­ лографическая ось, которая располагается перпендикулярно гек­ сагональной оси под углом 120° к осям а и Ъ. Период решетки и вдоль этой оси, как и вдоль осей х и у, равен а (= Ь), как показано на фиг. 1.19, к (разд. 1.8). Чтобы найти индексы какой-либо плоскости в обозначениях Миллера — Бравэ, берем отрезки, отсекаемые этой плоскостью на всех трех осях х, у и и, Еыражаем их через соответствующие периоды решетки и далее продолжаем совершенно так, как в разд. 1.2. В результате плоскость всегда имеет четыре индекса (hkil). Ясно, что индекс і не является неза­ висимым: между h, к и і должно быть определенное соотношение. Его легко получить из фиг. 2.31:

і = — (h к),