книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

Ф л г. 2.15. Нахождение следа плоскости, соответствующей заданному полюсу Р'ѵ с помощью сетки Вульфа [1].

ся вне основного круга. Истинная проекция С2, как видно из место­ положения полюса, противоположного ему, доляша лежать на том же малом круге, что и Ct.

Ф и г. 2.16. Поворот полюсов вокруг осп, лежащей в пло­ скости проекции [1].

Если В не лежит на основном круге, можно использовать метод, иллюстрируемый на фиг. 2.17. Сетка поворачивается до тех пор, пока N S не займет положение, перпендикулярное радиусу основ­ ного круга, проходящего через В. После этого В жА поворачивают

и получаем точку А". Это легко сделать, как показано па фиг. 2.17.

Ф и г . 2.17. Поворот полюсов вокруг наклонной оси [1].

Затем возвращаем В' обратно в В вращением вокруг N S, при этом А" также вращается вокруг N S на тот же угол в том же напра­ влении, и получаем точку А"’, которая и отвечает положению А после требуемого поворота.

2.3.1. Анализ по двум проекциям '

При исследовании плоских несовершенств в кристаллах часто бывает необходимо идентифицировать кристаллографическую пло­ скость, в которой лежит дефект, на основании линейных следов, которые он дает в двух (или нескольких) других непараллельных плоскостях. Используемое для этого построение рассматривается на фиг. 2.18.

Предположим, что плоскости А и В (которые соответствуют плоским поверхностям кристалла) пересекаются вдоль линии PQ. Начертим стереографическую проекцию, плоскость которой парал­ лельна В , так, чтобы полюс В лежал в центре основного круга.

Угол между А и В (угол между внешними нормалями к плоско­ стям) равен cp, так что полюс плоскости А лежит на стереографи­ ческой проекции, как показано на фиг. 2.18, б. Плоскости А и В пересекаются вдоль PQ, и, следовательно, пересечение можно

Фи г. 2.18. Анализ по двум проекциям.

а— схематическое изображение кристалла и следов искомой плоскости на

его гранях; б — стереографическая проекция.

по часовой стрелке от Р, как показано на фиг. 2.18, а. Мы можем, следовательно, провести направление ТТ' на проекции на фиг. 2.18, б под углом Ѳв к PQ.

Плоскость M N T должна проектироваться в виде большого круга, который проходит через точки Т и Т’. Через эти же точки проходит бесконечное число больших кругов, соответствующих всем возможным плоскостям, которые пересекают плоскость В в направлении, параллельном Т Т '. Чтобы зафиксировать на сте­ реографической проекции другую точку, через которую должна проходить проекция плоскости M N T, рассмотрим след М М ’ плоскости M N T на грани А. След М М ' образует с PQ на грани А плоский угол Ѳа - М ы уже провели на проекции направление PQ, так что угол Ѳа надо отсчитывать в надлежащем направлении от PQ и в плоскости А. Направление следа М М ' на грани А (фиг. 2.18, а) задается точкой М '. Угол ѲА между М ’ и Q отсчи­ тывается против часовой стрелки по дуге большого круга, соот­

72 Г л а в а 2

ветствующего плоскости А на фиг. 2.18, б. Угол Ѳл можно изме­ рить на стереографической проекции или с помощью метода построения, рассмотренного в разд. 2.2.5 (стр. 65), или, что проще,

измеряется числом широтных линий вдоль большого круга, совпа­ дающего со следом плоскости А. Итак, мы определили положение точек Т, М ' и Т' — полюсов на стереографической проекции, через которые должна проходить проекция плоскости M NT. Мы можем, следовательно, провести M N T как большой круг, про­ ходящий через эти полюса, и использовать сетку Вульфа или метод построения, чтобы найти полюс M N T и тем самым индексы M N T, если известны индексы плоскостей А и В.

2.4. Элементы макроскопической симметрии

Некоторые экспериментально измеряемые (макроскопические) физические свойства кристаллов, например электросопротивление, тепловое расширение, магнитная восприимчивость, упругие кон­ станты, имеют симметрию, которую можно определить и понять вне связи с элементами трансляционной симметрии решетки. Если трансляционная симметрия кристалла не принимается во внима­ ние, то остальные элементы симметрии, т. е. оси симметрии, зер­ кальные плоскости и центр инверсии (которые сами совместимы с трансляционной симметрией решетки), разделяются на 32 груп­ пы. Это 32 кристаллографические точечные группы. Они называют­ ся так потому, что все элементы симметрии группы проходят через единую точку и операции симметрии, определяемые этими элемен­ тами, оставляют неподвижной именно эту единственную точку.

Оси симметрии, зеркальные плоскости и центр инверсии назы­ ваются макроскопическими элементами симметрии, потому что их наличие или отсутствие в данном кристалле можно в принципе определить с помощью макроскопических испытаний, например на основании результатов травления, из взаимного расположения граней или симметрии физических свойств, вне всякой связи с атомной структурой кристалла. Макроскопические элементы симметрии бывают двух родов. В случае элементов первого рода, например чисто поворотной оси, операция над, скажем, право­ сторонним объектом дает правосторонний же объект, и все после­ дующие повторения этого объекта также являются правосторон­ ними. Операция симметрии второго рода дает энантиоморфный объект из первоначального объекта. Левая и правая руки челове­ ка связаны энантиоморфным соотношением. Примером операции симметрии второго рода может служить операция отражения в плоскости симметрии (фиг. 1.11), так как эта операция переводит исходный правосторонний объект в объект левосторонний. Повтор-

ное преобразование под действием того же самого элемента сим­ метрии дает снова правосторонний объект, следующее — снова левосторонний и т. д. Таким образом, операция симметрии второго рода включает в себя перемену знаков направления и вращения при каждом повторении операции. К элементам симметрии второго рода относится и центр инверсии.

Для вывода 32 кристаллографических точечных групп удобно все макроскопические элементы симметрии представить в виде соответствующих осей; чтобы сделать это, введем понятие несоб­ ственного вращения. Несобственное вращение приводит к совме­ щению фигуры с самой собой в результате одновременного действия вращения и отражения. Будем использовать так называемые инверсионно-поворотные (или просто инверсионные) оси, т. е. пово­ рот в сочетании с отражением в точке, или, иначе говоря, с инвер­ сией х). Будем говорить, что простая поворотная ось дает собствен­ ное вращение.

Операция симметричного повторения под действием простой поворотной оси показана на фиг. 2.19. Ось симметрии п-то поряд­ ка, или га-кратная ось, дает повторение объекта при последователь­ ных поворотах на угол 2л!п. Фиг. 2.19 иллюстрирует действие оси симметрии четвертого порядка. На фиг. 2.20 показано дей­ ствие на единственный исходный полюс простых поворотных осей симметрии первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Эти схемы представляют собой стереографические проекции, на которых полюс оси помещается в центре основного круга. Числа под проекциями указывают порядок простой пово­ ротной оси симметрии. Фиг. 2.21 иллюстрирует повторение объек­ та под действием зеркальной плоскости (обозначается т) и центра симметрии (центра инверсии). На фиг. 2.21, а зеркальная пло­ скость перпендикулярна плоскости основного круга. Она обозна­ чена на чертеже вертикальной жирной линией. На фиг. 2.21, б зеркальная плоскость совпадает с плоскостью основного круга. На фиг. 2.21, в центр инверсии совпадает с центром сферы про­

Э Для вывода точечных групп можно также использовать зеркально­ поворотные оси. Они дают повторение объекта при сочетании вращения с отра­ жением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Возможны одинарные, двойные, тройные, четверные и шестерные зеркально-поворотные оси; они

обозначаются обычно 1,2, 3, 4 и 6 соответственно. Ясно, что 1 эквивалентна зеркальной плоскости. [В русской литературе зеркально-поворотные оси обозначаются символами Лі, Л2, Л3, Л4, Л6 или Liu Ьі2, Li3, Lti, Lie. В меж­ дународной символике эти оси обычно не используются, потому что каждая зеркально-поворотная ось эквивалентна инверсионной оси, а именно Л4 =

= т = 2, Л2 = 1, Л3 = 6, Л4 = 4, Л8 == 3. — Прим, ред.}

второго порядка 2. При повороте на 180° (= 36072) исходный полюс дает кружок, начерченный штриховой линией, а после инверсии получается кружок, изображенный сплошной линией.

Аналогично тройная инверсионная ось 3 приводит к повторению ■объекта в результате поворота на 36073 = 120° в сочетании с ин­ версией. В общем случае инверсионная ось симметрии п-то поряд­

ка п означает поворот на угол 2піп с одновременной инверсией в центре инверсии. Каждая из этих операций — вращение и инвер­ сия — в данном случае является частью общей операции симмет­ рии, и их нельзя рассматривать как отдельные операции. Действие различных инверсионных осей симметрии, которые могут суще­ ствовать в кристаллах, на отдельный исходный полюс показано на фиг. 2.23; полюса инверсионных осей располагаются на стерео­ графических проекциях в центрах основного круга.

Для инверсионных осей симметрии используются цифры с чер­ той наверху; символы осей показаны в центрах стереографических проекций на фиг. 2.23.

Изучение фиг. 2.20, 2.21 и 2.23 показывает, что ось 1 экви­ валентна центру симметрии; 2 соответствует зеркальной пло­ скости, расположенной перпендикулярно оси; 3 соответствует

комбинации тройной оси с центром симметрии, а 6 — сочетанию тройной оси и перпендикулярной ей зеркальной’плоскости (сим­ вол 3Im, где знак Im означает, что плоскость симметрии перпен­

дикулярна оси симметрии) х). Только ось 4 среди них является

особенной. Операция повторения, описываемая осью 4, не может быть воспроизведена никакой комбинацией другой простой оси симметрии и зеркальной плоскости или центра симметрии.

Различные сочетания простых осей симметрии 1, 2, 3, 4 и 6

и инверсионных осей 1,2, 3, 4 и 6 составляют 32 точечные группы, которые соответствуют 32 классам кристаллов. Эти 32 класса разбиваются на системы в соответствии с наличием определенных элементов симметрии (табл. 1.3). Стереографические проекции всех 32 точечных групп, или классов симметрии кристаллов, показаны на фиг. 2.24; приведенные на ней обозначения соответ­ ствуют принятым в Международных таблицах по рентгеновской кристаллографии [2]. Каждая точечная группа, за исключением триклинных, представлена двумя проекциями. Первая из них*)

*) Применяемые нами обозначения идентичны использованным в Между­ народных таблицах по рентгеновской кристаллографии [2], за исключением

знака для оси 2 (см. фиг. 2.23, б). [Международные (интернациональные) таб­ лицы по рентгеновской кристаллографии — основной справочник (в трех то­ мах) для определения кристаллических структур, их симметрии и всех свя­ занных с этим вопросов. Справочник выдержал несколько изданий на протя­ жении 1952—1972 гг. Первое издание его вышло в 1935 г., в одном томе. —

Прим. ред.\

иллюстрирует, как отдельный исходный полюс повторяется под действием операций симметрии данной точечной группы, на второй проекции показаны все имеющиеся элементы симметрии.

При описании классов кристаллов приняты следующие обозна­

Хт — ось симметрии и плоскость симметрии, проходящая вдоль, оси *); Х2 — ось симметрии и перпендикулярные ей двойные оси симметрии *2); Х/тт или Х/ттт — ось симметрии в сочетании с зеркальными плоскостями, перпендикулярными и параллельны­

ми ей; Хт — инверсионная ось с параллельными ей плоскостями симметрии (зеркальными плоскостями).

В следующих разделах мы дадим описание каждого из 32 клас­ сов кристаллов. Вывод этих 32 классов производится исходя из доказанных в разд. 1.5 и 1.6 положений о том, что сДрансляционной симметрией кристалла совместимы только следующие пово­ ротные оси: 1, 2, 3, 4 и 6. Эти пять осей дают соответственно пять классов кристаллов. Допустимые комбинации этих осей дают еще шесть классов (см. табл. 1.2), а именно 222, 32, 422, 622, 23 и 432, т. е. всего мы имеем уже 11 классов. Во всех этих одиннад­ цати классах имеются только операции симметрии первого рода.. Каждая решетка по существу своему центросимметрична (раз­ дел 1.4), поэтому каждая из поворотных осей может быть заменена соответствующей инверсионно-поворотной осью, что дает еще

пять классов, а именно 1,2, 3, 4 и 6. Остальные 16 классов можно получить на основе сочетаний осей собственного и несобственного' вращения.

2.5. Ромбическая (орторомбическая) система

Кристаллы этой системы имеют три оси симметрии второго порядка, которые пересекаются под прямыми углами друг с дру­ гом 3). На фиг. 2.24 они выбраны в качестве координатных осей кристалла. Как указано в табл. 1.3 и на фиг. 1.19, г — ж, периоды решетки у кристаллов этой системы должны быть различны.

Точечная группа, содержащая три взаимно перпендикулярные двойные оси симметрии (фиг. 2.24), обозначается 222. На стерео­ графической проекции полюс, находящийся в общем положении, повторяется этими осями симметрии четыре раза. Если символ

г) Число таких плоскостей равно порядку оси, т. е., например, З т озна­ чает: ось симметрии третьего порядка и три плоскости симметрии, проходя­ щие вдоль нее.’— Прим. ред.

2)Их число равно порядку оси, т. е., например, 32 означает: ось симмет­ рии третьего порядка и три оси второго порядка, ей перпендикулярные. —

Прим. ред.

3)Или одну ось симметрии второго порядка и проходящие вдоль нее двевзаимно перпендикулярные плоскости симметрии. — Прим. ред.