книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

ортогональности осей оси ж и у лежат в плоскости проекции под углом 90° друг к другу. Полюс плоскостей (001) совпадает с точ­ кой N и проектируется в центре основного круга (фиг. 2.46). Полюса (100), (010), (100) и (010) лежат на основном круге на рав­ ных расстояниях друг от друга под углами 90°. Полюс (001) лежал бы в бесконечности, если бы проектирование велось из точки S, поэтому мы проектируем этот полюс из N и обозначаем его круж­ ком как проекцию точки из нижней полусферы. Плоскостям (011)

Ф и г . 2.46. Стереографическая проекция кубического кри­ сталла.

соответствует полюс Р. Полюс (011) лежит в зоне, осью которой является ось х. Полюса всех плоскостей зоны с осью Ох лежат на большом круге, который представляет собой геометрическое место точек, отстоящих на 90° от полюса (100). Этот большой круг проектируется на рассматриваемой стереографической проекции в виде линии, соединяющей полюса (010), (001) и (010). Следова­ тельно, точка Р проектируется где-то между (001) и (010). Угол ср на фиг. 2.4а — это угол между (001) и (011); для кубических кристаллов ф = 45°. Из фиг. 2.4а можно видеть, что расстояние ОР' равно

ОР' = R ig ф/2,

где 'R — радиус сферы проекции. Это получается потому, что точки S, О, N, Р и Р' лежат в одной и той же плоскости, а угол OSP равен ф/2, так как OSP — угол с вершиной на окружности,

опирающийся на такую же дугу N P, что и угол NOP с вершиной в центре окружности. Мы можем, следовательно, расположить полюс (011) на проекции на расстоянии R tg ср/2 (в данном случае на расстоянии R tg 22,“5) от полюса (001) вдоль радиуса основного круга, соединяющего (001) и (010).

Вместо полюса (011) на стереографическую проекцию можно нанести непосредственно саму плоскость (011); для этого надо вычертить проекцию большого круга, который является геомет­ рическим местом точек, отстоящих на 90° от полюса (011). Положе­ ние этого большого круга показано на фиг. 2.46. Проведение большого круга, соответствующего данному полюсу, может быть выполнено или путем геометрического построения, или с исполь­ зованием вспомогательных графических средств. Мы сначала рас­ смотрим некоторые построения на стереографических проекциях, а затем перейдем к использованию вспомогательных графических средств, в частности так называемой сетки Вульфа.

2.2. Построение проекций

Чтобы как следует разобраться в стереограммах, для начинаю­ щего имеет смысл провести ряд точных построений, не прибегая к помощи графических средств. Сейчас мы опишем некоторые из них. Однако, поскольку все эти построения могут быть выпол­ нены и с помощью вспомогательных графических средств, этот раздел может быть опущен без ущерба для понимания остальной части книги.

2.2.1. Построение малого круга

а. Вокруг центра основного круга (фиг. 2.5). По обе стороны от N на стереографическую проекцию наносятся точки X ' и Y '

на расстоянии, соответствующем угловому радиусу ф искомого малого круга: N Y ' = N X ' = R tg ф/2, где R — радиус основного круга. Затем из точки N как из центра описывается круг радиусом N X ' (= N Y '). Это единственный случай, когда центр малого круга на проекции совпадает со стереографической проекцией центра малого круга. Другой путь получения точек X ' и Y ' на проекции путем построения состоит в следующем. Проводим диаметр основного круга, на который мы желаем поместить X ’ и У ', затем диаметр основного круга, перпендикулярный первому, N rN S r (фиг. 2.5). Находим точку X на основном круге, такую, чтобы дуга X N r замыкала угол ф с вершиной в центре основного круга. Если мы соединим X с S r , тогда X ' окажется в точке пере­ сечения X S r с первым диаметром основного круга. Правильность этого построения подтверждается фиг. 2.6, из которой видно, что

если мы оставим плоскость проекции неподвижной, а сферу про­ екции повернем на 90° вокруг К К ' (прямая линия, лежащая в пло­ скости проекции), то полюс проекции S ляжет на основной круг

Ф и г . 2.5.

круга из

в точке S r . Аналогично N совпадет с N r , что подтверждает спра­ ведливость построения. Этот полезный прием — когда мы пред-

Ф и г. 2.6. Чертеж, иллюстрирующий правильность построе­ ния, использованного на фиг. 2.5.

ставляем, что вся сфера проекции поворачивается на 90°, — часто используется для проверки построений на стереографической проекции.

б. Вокруг полюса, расположенного внутри основного круга (скажем, вокруг точки Р ', фиг. 2.7). Проводим диаметр, прохо­ дящий через Р ' , и диаметр, перпендикулярный к нему, чтобы получить точки В и А. Проектируем Р' из точки А на основной круг и получаем, скажем, точку Р. Отмеряем угол ф (соответ­ ствующий требуемому радиусу малого круга) на основном круге

Ф и г. 2.7. Построение малого круга с центром в точке, нахо­ дящейся внутри основного круга.

с обеих сторон от Р, чтобы получить точки X и У на основном круге (фиг. 2.7), учитывая, что ф есть угол с вершиной в центре основного круга, опирающийся на дугу ХР. Соединяем X и Y с А , чтобы получить точки X ' и У ', которые соответствуют проти­ воположным концам диаметра искомого малого круга. Необходимо

Ф и г . 2.8. Построение малого круга с центром в точке, нахо­ дящейся на окружности основ­ ного круга.

отметить, что ф есть угол с вершиной в центре основного круга и что Р' располагается не на полпути между X ' и У '. Чтобы удо­ стовериться в правильности этого построения, полезно начертить проекцию, подобную приведенной на фиг. 2.6.

в. Вокруг полюса, расположенного на основном круге (ска­ жем, вокруг точки Р, фиг. 2.8). Проводим радиус NP и от точки Р

отмеряем угол <р (соответствующий угловому радиусу искомого круга) с вершиной в центре основного круга, чтобы получить местоположение точки М. В точке М строим касательную к основ­ ному кругу и проводим ее до пересечения с продолжением линии NP (в точке S). S есть центр требуемого малого круга, а SM — его радиус. Это построение несколько легче, чем описанное в слу­ чае „б” (малый круг вокруг полюса, расположенного внутри основ­ ного круга).

2.2.2. Нахождение полюса, противоположного данному

Противоположный данному полюс — это полюс, отстоящий на 180° от данного полюса, т..е. расположенный на другом конце диаметра сферы проекции, проходящего через данный полюс.

Предположим, что мы хотим найти стереографическую проек­ цию полюса, противоположного полюсу V (фиг. 2.9). Проводим

Ф и г. 2.9. Нахождение полю­ са, противоположного задан­ ному.

диаметр основного круга через точку V. Тогда противоположный полюсу V полюс, скажем V", очевидно, лежит на этом диаметре и отстоит от V на 180°. Проводим диаметр основного круга пер­ пендикулярно диаметру, проходящему через V, и отмечаем его противоположные концы S r и N r . Проектируем V из точки S R на основной круг, чтобы найти точку X. Проводим через X диаметр основного круга и отмечаем другой конец этого диаметра в точ­ ке X ' . Точка X' проектируется из точки S r на продолжение диаметра, проходящего через V, при этом получаем точку V", которая и является полюсом, противоположным V (фиг. 2.9).

Если данный полюс V лежит на проекции внутри основного круга, тогда истинный полюс V", противоположный V, будет вне основного круга. В некоторых случаях поэтому вместо V" берут

N

Ф и г . 2.10. Чертеж, иллю­ стрирующий правильность по­ строения, использованного на фиг. 2.9.

полюс V ', проводя линии проекций не из S, а из N (фиг. 2.3а). Совершенно очевидно, что V' всегда располагается на диаметре основного круга, проходящем через V, по другую сторону от цент­ ра на таком же расстоянии, что и V (фиг. 2.9).

2.2.3. Проведение большого круга через два полюса

Чтобы провести большой круг через два полюса, находим истин­ ную проекцию полюса, противоположного одному из них, исполь­ зуя предыдущие построения, и затем строим круг, проходящий через две данные точки и этот противоположный полюс. Это и будет искомый большой круг.

2.2.4. Нахождение полюса большого круга

Чтобы найти полюс большого круга, проходящего, скажем, через АСВ на фиг. 2.11, проводим диаметр AB основного круга, который является хордой дуги этого большого круга, и затем диаметр основного круга, перпендикулярный AB. Пусть этот диаметр пересекает большой круг в точке Т. Проектируем Т из точки В на основной круг, получаем точку X и отмеряем 90° от X через полюс А — получаем полюс Y. Проектируем Y из точ­ ки В на диаметр основного круга, проходящий через Т,— находим

Ф и г . 2.14. Определение угла между заданными полюсами [1].

а — стереографическая проекция двух полюсов Р \ и ГѴ, б — проекция по­

вернута вокруг своего центра таким образом,что оба полюса теперь лежат на одном и том же большом круге сетки Вульфа.

Угол между полюсами равен 30°.

например A t (фиг. 2.16), вокруг полюса В, лежащего на основном круге, сетка поворачивается до тех пор, пока ось N S сетки не сов­ падет с диаметром основного круга, проходящим через полюс В. Тогда А і поворачивается на требуемое число градусов вокруг В перемещением A t в А 2 по малому кругу (фиг. 2.16). На фиг. 2.16 представлен также случай, когда полюс при вращении оказывает-