книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

а треугольники А ІВ ІВ 2, A ±B 2B t и А 1В 1В І станут равносторонни­ ми. Плоскости типа А ^ В ^ ХВ 2, А ІВ 2С2В І, А ІВ ІС3В І представляют собой правильные треугольные сетки. Плоскости, параллельные каждой из этих трех плоскостей, тоже содержат правильные треугольные сетки; кроме того, они и укладываются друг на друга тоже так, что сохраняется тройная симметрия вдоль линий, пер­ пендикулярных этим плоскостям. Следовательно, когда а = 60°, первоначально тригональная решетка становится совместима с наличием четырех тройных осей симметрии. Обычная элементар­ ная ячейка этой решетки приведена на фиг. 1.19, н; это куб, центрированный по всем граням. Соотношение между этой ячей­ кой и примитивной ячейкой, имеющей форму ромбоэдра с а = 60°, показано на фиг. 1.31.

Большая непримитивная элементарная ячейка на фиг. 1.19, н и фиг. 1.31 является гранецентрированной кубической, обозна­ ченной нами выше символом F. Она содержит четыре узла, которые располагаются в вершинах и в центрах каждой грани ячейки.

Когда высота h на фиг. 1.28 становится равной s /]/6 , угол а принимает значение 90° и примитивная ячейка і?-решетки стано­ вится кубом. Это кубическая примитивная решетка Р , приведен­

четырьмя тройными осями симметрии. Обычная элементарная ячейка этой решетки показана на фиг. 1.19, о. Это куб с узлами, расположенными в вершинах и в центре куба. Такая решетка может быть обозначена буквой I : это объемноцентрированная кубическая решетка. Соотношение между дважды примитивной элементарной ячейкой на фиг. 1.19, о и примитивной элементарной ячейкой, которая представляет собой ромбоэдр с осевыми углами 109°28', показано на фиг. 1.32.

Итак, мы описали три решетки, совместимые с наличием четы­ рех тройных осей поворотной симметрии. Они представлены на фиг. 1.19, м — о. В качестве элементарной ячейки для каждой из них может быть выбран куб (с параметрами а = Ъ = с, а = ß = = у = 90°). Примитивная ячейка содержит один узел решетки, гранецентрированная — четыре, а объемноцентрированная — два.

Элементарные ячейки всех четырнадцати пространственных решеток Бравэ показаны на фиг. 1.19. Все кристаллы обладают решеткой одного из этих четырнадцати типов, но с каждым узлом такой решетки может быть связан свой атомный мотив, одинако­ вый для всех точек решетки данного кристалла, но разный в случае

разных кристаллов. В некоторых кристаллах с каждым узлом решетки ассоциируется единственный сферически симметричный атом. В этом случае решетка сама обладает непосредственной физической значимостью, потому что такая решетка и кристал­ лическая структура идентичны. В других случаях решетка являет­ ся лишь каркасом, очень удобным для описания трансляционной

Ф і г . 1.32. Соотношение между примитивным элементарным ромбоэдром и обычной ячейкой в объемноцентрированной куби­ ческой решетке,

симметрии кристалла. Если известна решетка и расположение атомов (атомный мотив) вокруг единственного узла решетки, то тем самым полностью описана кристаллическая структура. Решетка является наиболее важным элементом симметрии для описания свойств несовершенств в кристаллах.

За дачи

При выполнении некоторых упражнений может оказаться полезным мате­ риал приложения 1 , разд. А1 .1 .

1.1. а) Выберите любую удобную точку на плоском узоре, приведенном на фиг. 1.33, и отметьте все эквивалентные ей точки, т. е. укажите решетку.

б) Выберите элементарную ячейку этой решетки несколькими различ­ ными способами, в каждом случае обозначьте оси х п у и определите парамет­ ры ячейки а, Ъи у.

в) Проведите линию, параллельную MN, через любую точку решетки и затем проведите все линии этого семейства. Определите индексы этого семей­ ства линий для каждого из различных случаев выбора элементарной ячейки.

г) Повторите операцию, описанную в и. в), для случая семейства линий, параллельных PQ.

1.2. Рутил (одна из модификаций ТЮ2) имеет структуру, параметры кото­

рой равны а = Ъ= 4,58 А, с = 2,95 А, а = ß = у = 90°. Координаты ато­ мов в элементарной ячейке таковы:

Ті: 0, 0, 0; Ѵ2, Ѵ2, Ѵ2; О: и, и, 0; и, —и, 0; Ѵ2 + и, Ѵ2 — и, Ѵ2;

Ѵ 2 — И , 1/,2 + и 1 У 2,

где и = 0,31.

4*

1.5. Шпинель MgAl20 4 имеет структуру с параметрами а — b — с =

=_8,11 А и а = р = у = 90°. На кристаллах наблюдаются грани (111), (111), (111) и (111) и грани, параллельные названным, т. е. (ill), (1І 1), (ГіГ)и (111).

Такие кристаллы имеют вид правильных или искаженных октаэдров.

а) Найдите символ (индексы) оси зоны, содержащей грани (111) и (ІИ ). Какие еще из перечисленных выше граней тоже принадлежат этой зоне?

б) Покажите, что зона, содержащая грани (111) и (ill), содержит также и грани (001) и (110).

в) Изобразите проекцию решетки шпинели на плоскость (001). Проведите след плоскости (НО) и нормаль к этой плоскости, проходящую через начало координат. Найдите расстояние по нормали от начала координат до первой плоскости этого семейства, выра?кенное в величинах стороны элементарной ячейки.

г) Начертите сечение решетки, проходящее через начало координат, кото­ рое содержит нормали к плоскостям (110) и (001). Отметьте на этом сечении

следы плоскостей (111), (111), (111) и (111). Измерьте углы между соседними плоскостями.

1.6. Найдите угол между направлением [111] и плоскостью (111): а) в кубическом кристалле;

символ (индексы) этой зоны и вычислите угол между осью этой зоны и осью зоны [100] в кубической системе.

1.8. В тетрагональном кристалле CuFeS2 угол между плоскостями (111)

и (111) равен 108°40'. Вычислите а) отношение осей da и б) угол между осями зон [236] и [001].

1.9.Следуя методу, рассмотренному в разд. 1.6, определите углы между осями симметрии в сочетаниях: а) две тройные оси и одна двойная; б) четвер­ ная, тройная и двойная оси. Начертите схему, показывающую взаимное рас­ положение элементов симметрии в каждом случае.

1.10.Рассмотрите, могут ли существовать в кристаллах: а) две четверные оси и одна тройная; б) двойная, тройная и шестерная оси.

1.11. Элементарная ячейка двумерной решетки имеет параметры а = 6,

у = 120°. Расположите вокруг каждого узла этой решетки три атома различ­ ными способами так, чтобы получившийся двумерный кристалл имел следую­ щую симметрию: а) шестерная ось симметрии и проходящие параллельно ей зеркальные плоскости симметрии; б) одна тройная ось; в) двойная ось на пере­ сечении двух зеркальных плоскостей симметрии; г) одна двойная ось; д) ось симметрии первого порядка.

1.12. Кристаллы Cdl2 и CdCl2 принадлежат к тригональной системе.

Первый из них имеет примитивную гексагональную решетку, второй — ром­ боэдрическую. Координаты атомов, связанных с каждым узлом решетки, даны ниже (в обоих случаях использована гексагональная элементарная ячей­ ка).

Начертите проекции обеих структур на плоскость (0001) и проведите на диа­ грамме, полученной для CdCl2, проекции ребер истинно ромбоэдрической примитивной элементарной ячейки.

1.13. Воспользовавшись методикой, описанной в разд. 1.8, покажите, что имеется всего три вида кубических решеток, отыскав условия того, что на фиг. 1.28 тройные оси лежат перпендикулярно граням (010), (100) и (001)

ромбоэдрической примитивной элементарной ячейки. [Указание. Найдите

54 Г л а в а 1

условие того, что последовательные плоскости проецируются вдоль нормали к ним таким образом, что узлы одной из них лежат над центрами треуголь­ ников, которые образуют узлы плоскости, лежащей ниже.]

1.14. Двумерный кристалл обладает осью симметрии четвертого порядка. Начертите его сетку. Расположите четыре атома какого-либо элемента в узлах сетки таким образом, чтобы полученная конфигурация была совместима:

а) с наличием только оси четвертого порядка; б) с наличием оси четвертого порядка и зеркальных плоскостей симметрии, проходящих вдоль этой оси. Можно ли в последнем случае получить две различные конфигурации, отли­ чающиеся расположением плоскостей симметрии?

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ1)

1.Buerger М. J., Elementary Crystallography, Wiley, New York, 1963.

2.Hilton H., Mathematical Crystallography, Dover Publ., 1963; Clarendon Press, 1903.

3.Jaswon M. A., An Introduction to Mathematical Crystallography, American

т) Здесь и далее звездочкой отмечены работы, добавленные редакто­ ром.— Прим. ред.

Г л а в а 2

Стереографическая проекция и точечные группы

2.1. Основные понятия

При кристаллографических исследованиях часто полезно уметь представлять кристаллографические плоскости и направления на двумерной схеме так, чтобы можно было на плоском листе бумаги измерять и обсуждать угловые соотношения между граня­ ми кристалла и взаимное расположение элементов симметрии.

N

Очевидно, самыми подходящими будут такие схемы, на которых угловые соотношения между элементами кристалла в трех изме­ рениях без искажений воспроизводятся на плоскости.

Представим себе кристалл, расположенный таким образом, что его центр совпадает с центром сферы большего размера, кото­ рую мы назовем сферой проекции (фиг. 2.1а). Проведем нормали к граням кристалла так, чтобы они проходили через центр сферы и пересекали ее поверхность, например, в точке Р. Точка Р назы­ вается полюсом плоскости, для которой ОР является нормалью. Аналогично направление представляется точкой на поверхности сферы и определяется как точка, в которой поверхность сферы пересекается линией, параллельной данному направлению и про­ ходящей через центр сферы. Кристаллографическая плоскость

может быть представлена также плоскостью, проходящей через центр сферы и простирающейся до пересечения со сферой (фиг. 2.16). Поскольку такая плоскость проходит через центр сферы, это диаметральная плоскость; линия пересечения сферы с такой плоскостью называется большим кругом. Большой круг — это окружность на поверхности сферы, радиус которой равен радиусу сферы.

Представив направления в кристалле, т. е. нормали к плоско­ стям решетки, или кристаллографические направления, точками (полюсами) на поверхности сферы, мы получили сферическую

Фи г . 2.2. Разные способы проектирования полюса, располо­ женного на поверхности сферы, на плоский лист бумаги.

проекцию кристалла. Угол между двумя плоскостями, нормали к которым ОР и OQ (фиг. 2.16), равен углу между этими нормаля­ ми, а он в свою очередь есть угол с вершиной в центре сферы, замыкаемый дугой большого круга, проведенной через полюса Р и Q. Теперь для того, чтобы получить двумерный чертеж, мы спроектируем эти полюса на плоский лист бумаги.

Сферическая проекция подобна глобусу, изображающему зем­ ной шар. Определим на ней по аналогии с глобусом северный и южный полюсы. Пусть это будут точки N и S соответственно на фиг. 2.Іа. Экваториальная плоскость проходит через центр сферы перпендикулярно линии N S и пересекает сферу по большо­ му кругу, называемому экватором. Есть разные способы проек­ тирования точек со сферы на плоский лист бумаги. Они показаны на фиг. 2.2. В случае ортогональной проекции полюс Р проекти­ руется из точки, расположенной в бесконечности, на плоскость, параллельную экваториальной плоскости и касательную к сфере в точке N; при этом получается точка Рб- В случае гномонической проекции точкой проекции является центр сферы; на проекции при этом получается полюс Pq.

В случае стереографической проекции полюс Р проектируется из какой-либо точки на поверхности сферы, например S , называе­ мой полюсом проекции, на плоскость, перпендикулярную OS. Эта плоскость может проходить через любую точку на N S. Если она проходит через N , точка Р проектируется в точку P's ■Для наших целей наиболее удобна экваториальная плоскость, перпен­ дикулярная SO. Точку Р ’, полученную проектированием точки Р из точки S на эту плоскость, мы назовем стереографической про­ екцией точки Р.

В последующем изложении мы будем рассматривать только стереографические проекции и всегда в качестве плоскости про-

N

Ф и г . 2.3а. Стереографическая проекция. Ф и г . 2.36. Малый круг про­ ектируется как круг.

екции будем выбирать экваториальную плоскость. Линия пере­ сечения плоскости проекции со сферой проекции является большим кругом, который называется основным кругом проекции. Метод проектирования, которым мы будем пользоваться, показан на фиг. 2.3а. Полюс Рх в северном полушарии проектируется в точку Р\ внутри основного круга и отмечается точкой на бумаге. Все полюса северной полусферы проектируются в точки, находящиеся внутри основного круга. Полюса южной полусферы, например Р 2, дают проекцию Р ', которая оказывается за пределами основного круга. Точка Р ' есть истинная проекция Р 2. Однако работать с полюсами, проекции которых не попадают внутрь основного круга, неудобно; чтобы избежать этого, полюс Р 2, относящийся к южной полусфере, проектируют из северного полюса N (диамет­ рально противоположного S); при этом получают проекцию в точ­ ке Р". Чтобы отличить такой полюс Р" от истинной проекции Р 2

в кристаллографии, определяется тем, что на ней сохраняются угловые соотношения, т. е. углы на сфере проекции проектируют­ ся на стереографическую проекцию без искажения. Кроме того,

N

Ф и г . 2.4а. Полюса кубического кристалла на сфере проекции.

все круги (как большие, так и малые) на поверхности сферы про­ екции проектируются в виде кругов и на стереографической про­ екции. Для случая малого круга это иллюстрируется чертежом на фиг. 2.36. Доказательство всех этих свойств стереографиче­ ской проекции дается в приложении 1.

Перейдем теперь к стереографической проекции полюсов кри­ сталлографических плоскостей кубического кристалла. Оси кри­ сталла располагаются относительно полюса и плоскости проекции,

дартной проекции, показанной на фиг. 2.46, ось z кристалла прове­ дена перпендикулярно плоскости проекции, так что вследствие

В В русской литературе проекции точек из верхней полусферы изобра­ жаются кружочками, а из нижней полусферы — крестиками. В этой книге везде использованы обозначения, принятые английскими авторами__Прим.

ред.