книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

Начнем с плоских решеток, или сеток, показанных на фиг. 1.15. Для построения пространственной решетки укладываем эти сетки друг на друга таким образом, чтобы получился бесконеч­ ный набор параллельных слоев, отстоящих друг от друга на рас­ стояние Z. Все эти слои одинаково ориентированы относительно оси вращения, перпендикулярной их плоскости, так что соответ­ ствующие векторы решетки tj и t 2 во всех плоских сетках остаются

параллельными. Получающаяся конфигурация показана на фиг. 1.18. Вектор t 3, соединяющий точки решетки, лежащие в сосед­ них сетках, не изменяется при переходе от сетки к сетке. Тройка

довательных сетках не лежали вертикально друг над другом, тогда мы уничтожим двойные оси симметрии, перпендикулярные сеткам. Получится решетка, в которой нет осей симметрии. Элемен­ тарная ячейка этой решетки — параллелепипед с ребрами а, Ъ и с, которые могут быть равны, а могут быть и не равны друг ДРУГУ> а углы а, ß и у между этими ребрами могут принимать любые значения (фиг. 1.19, а). Надлежащим выбором а, Ь и с мы всегда можем добиться того, чтобы ячейка была примитивной. Хотя в этой решетке нет осей симметрии, такая система точек обязательно является центросимметричной.

Чтобы сохранить оси симметрии второго порядка, мы можем пойти двумя различными путями. Можно располагать сетки парал­

или чтобы получилось ступенчатое (шахматное) расположение, показанное в плане на фиг. 1.20, б. В первой из этих конфигура­ ций двойные оси расположены в вершинах элементарных парал­ лелограммов сетки и совпадают во всех сетках, так что мы полу-

Ф и г. 1.19. Элементарные ячейки четырнадцати пространственных решеток Бравэ.

а — примитивная триклинная; б — примитивная моноклинная; в — базоцентрированная моноклинная. Обычно за ось у принимается ось второго порядка, а центрируется грань (001) (С-центрированная решетка); г — примитивная ромбическая; 9 — базоцентриро­ ванная ромбическая. Обычно центрирована грань (001), т. е. это С-решетка; е — объем­ ноцентрированная ромбическая; ж — гранецентрированная ромбическая; з — прими­ тивная тетрагональная; и — объемноцентрированная тетрагональная; к — примитивная гексагональная; л — примитивная ромбоэдрическая (тригональная); м — примитивная кубическая; н — гранецентрированная кубическая; о — объемноцентрированная куби­

ческая (здесь в центре куба должен располагаться атом, который по ошибке опущен).

на фиг. 1.19, б. Две стороны этой примитивной ячейки не обяза­ тельно равны, но два осевых угла равны 90°. Часто применяется установка, в которой а = у = 90°, так что ось у перпендикулярна а: и 2 . В этом случае угол ß между осями х и z принимается тупым.

б

Ф и г . 1.20. Построение пространственных решеток, обладающих осью симметрии второго порядка.

на tj/2 (план); узлы, расположенные на нулевой высоте, обозначены чер­ ными точками, узлы на высоте г — кружками.

Во второй конфигурации (фиг. 1.20, б) двойные оси по углам параллелограммов второй сетки совпадают с двойными осями, проходящими через середины сторон элементарных параллело­ граммов первой сетки (на нулевом уровне). Возможная элемен­ тарная ячейка получающейся решетки показана на фиг. 1 .2 1 .

%

Ф и г. 1.21. Фрагмент пространствен­ ной решетки, получаемой при сту­ пенчатой укладке плоских сеток

(ср. с фиг. 1 .20,6).

Эта элементарная ячейка — непримитивная, она содержит два узла решетки, и вектор t 4 перпендикулярен Ч и t 2. Такая ячейка

сузлами в центрах противоположных граней, параллельных оси второго порядка, также совместима с наличием этих осей. Ячейка

сцентрированной парой боковых граней, показанная на фиг. 1 .2 1 , выбрана для того, чтобы четче показать особенности решетки, получающейся при ступенчатой укладке плоских сеток, потому

•что она более естественно отражает двойную симметрию, чем при­ митивная ячейка, которую можно было бы выбрать в данном случае.

Ступенчатая конфигурация сеток, показанная на фиг. 1.20, б и 1 .2 1 , тоже могла бы обладать двойной симметрией, если бы мы укладывали сетки так, чтобы углы параллелограммов на высоте z располагались не над серединами ребер, соответствующих векто­ рам С нижележащей сетки (фиг. 1 .2 0 , б), а над центрами элемен­ тарных параллелограммов первой сетки или над серединами

Ф и г. 1.22. Ступенчатая укладка сеток по вертикали со сдвигом по горизонтали на t2/2 (соответствующая ячейка выделена круж­ ками) или на ti/2 + t2/2 (ячейка, выделенная крестиками).

Узлы на нулевой высоте обозначены черными точками. Штриховые линии соответствуют элементарной ячейке, которую можно выбрать при сту­ пенчатой укладке со сдвигом на ti/2 4- t2/2. Видно, что при этом снова получаем пространственную ячейку с одной парой центрированных граней.

они стали совершенно эквивалентны, нужно лишь по-иному выбрать оси координат в плоскости сетки.

Таким образом, имеются две решетки, совместимые с моноклин­ ной симметрией, одна — примитивная с элементарной ячейкой, показанной на фиг. 1.19, б, и вторая — составленная из ступенча­ то уложенных сеток, элементарная ячейка которой обычно выби­ рается в виде параллелепипеда с двумя центрированными проти­ воположными боковыми гранями. Обычно в качестве центриро­ ванных граней выбирают грани, параллельные осям х и у, т. е. грани (0 0 1 ), причем оси симметрии второго порядка параллельны у (фиг. 1.19, в). Эта решетка называется моноклинной С-решеткой. Вторая решетка, возможная в моноклинной системе, обычно обо­ значается буквой Р.

Теперь мы легко можем построить две тетрагональные решетки. Квадратная сетка, показанная на фиг. 1.15, б, имеет оси симмет­

в позицию (0 , 0 , z) относительно первой сетки (вектор t3 перпен­ дикулярен ttj и t2), или чтобы вершина квадрата попадала в пози­ цию (1/2, Ѵг, z) относительно первой сетки. Элементарные ячейки решеток, получающихся в результате укладки сеток этими двумя

с дополнительным узлом в центре элементарной ячейки (от немец­ кого innenzentrierte — объемноцентрированная). В тетрагональ­ ной системе ось симметрии четвертого порядка обычно выбирается параллельной оси с, так что а и Ъобязательно равны между собой и все осевые углы равны 90°.

Каждая из сеток на фиг. 1.15, г и д совместима с симметрией, в которой двойная ось лежит на пересечении двух перпендикуляр­ ных зеркальных плоскостей симметрии. В разд. 2.4 показано, что зеркальная плоскость симметрии полностью эквивалентна еще одному элементу симметрии, так называемой инверсионной оси симметрии второго порядка. Симметричное преобразование этой осью включает в себя поворот на 180° и инверсию в центре симметрии, лежащем на этой оси. Эта инверсионная двойная ось, обозначаемая символом 2 , располагается перпендикулярно зеркальной плоскости. Симметрия, отвечающая оси симметрии второго порядка, лежащей на пересечении двух взаимно перпен­ дикулярных зеркальных плоскостей, может быть, следовательно, описана символом 2 2 2 , указывающим на наличие трех ортогональ­ ных осей: одной поворотной оси второго порядка и двух инвер­ сионных осей второго порядка. Решетка, совместимая с этим набором элементов симметрии, будет также совместима с симмет­ рией 222 в ромбической системе (табл. 1.3) *). Чтобы получить решетки, совместимые с ромбической симметрией, можно, следо­ вательно, в качестве исходных сеток взять прямоугольную сетку (фиг. 1.15, г) и ромбическую сетку (фиг. 1.15, д). Позиции двой­ ных осей симметрии показаны на фиг. 1.15, г и д справа. Ромби­ ческая сетка может быть также описана как центрированная прямоугольная сетка.

Если мы будем укладывать прямоугольные сетки друг на друга так, чтобы вершины параллелограммов второй сетки лежали по вертикали над аналогичными узлами сетки, расположенной на нулевом уровне (вектор t3 перпендикулярен tj и t2), то получим примитивную ромбическую решетку Р. Ее элементарная ячейка показана на фиг. 1.19, г. Это прямоугольный параллелепипед.

J) Правильность этого утверждения в данный момент не очевидна. Его истинность станет ясна, если мы примем во внимание, что инверсионная двой­ ная ось плюс центр симметрии равноценны простой двойной оси, перпендику­ лярной плоскости симметрии (см. разд. 2.4), и что узлы решетки всегда явля­ ются центрами симметрии своей решетки.

Если мы таким же образом станем укладывать друг па друга ромбические сетки (центрированные прямоугольники), то полу­ чим решетку, приведенную на фиг. 1.23. Это ромбическая решетка с одной парой центрированных (противоположных) граней.

Можно также сохранить симметрию, совместимую с двойной осью, расположенной на пересечении двух зеркальных плоскостей, если уложить прямоугольные сетки друг на друга так, что каждая последующая сетка оказывается сдвинутой по горизонтали отно­ сительно сетки, лежащей под ней. Возможны три типа подобных

Ф II г. 1.23. Элементарная ячейка

ромбической базоцентрированной ре­ шетки.

как бы ступенчатых последовательностей; они показаны на фиг. 1.24, а — в. Между решетками, обозначаемыми «А-центриро­ ванная» и «/^-центрированная», нет принципиального различия, поскольку они могут быть превращены одна в другую путем простой перестановки осей г). Ступенчатая последовательность, показанная на фиг. 1.24, е, описывается элементарной ячейкой, приведенной на фиг. 1.19, е. Это ромбическая объемноцентриро­ ванная решетка (символ I).

В случае ромбических сеток имеется лишь одна конфигурация, отвечающая ступенчатой укладке. Внимательное изучение правого рисунка на фиг. 1.15, д показывает, что единственные места в ре­ шетке, где двойные оси лежат на пересечении двух взаимно пер­ пендикулярных зеркальных плоскостей,— это точки с коорди­ натами (0, 0) и (1/2, Ѵ2) ромбической примитивной ячейки. Мы уже имели дело с вертикальной укладкой ромбических сеток. Если мы возьмем единственно возможную ступенчатую укладку, в кото­ рой каждая следующая сетка укладывается на предыдущую так, что вершины ромбических ячеек верхней сетки лежат над центра­ ми ячеек нижней сетки (так что конец вектора t 3 имеет координаты V2, 1/2, z в ромбической ячейке), то получим конфигурацию, пока­ занную на фиг. 1.25. Удобнее всего описывать эту решетку на осно­ ве элементарной ячейки, приведенной на фиг. 1.19, ж, которая представляет собой прямоугольный параллелепипед с узлами

ввершинах и в центрах всех граней параллелепипеда. Это ромби-

ЭА означает наличие центрирующего узла решетки на грани (100), В — на грани (010) и С — на грани (001) во всех кристаллографических системах.

46 Г л а в cl 1

ческая ячейка, обозначаемая буквой F. Символ F означает гране­ центрированный (по-немецки flächenzentriert), указывая на нали­ чие дополнительных точек решетки в центрах всех граней элемен­ тарной ячейки.

Все решетки, совместимые с набором элементов симметрии 222, т. е. с ромбической симметрией, показаны на фиг. 1.19, г — ж. Их элементарные ячейки представляют собой прямоугольные параллелепипеды, так что оси координат во всех случаях можно

разными. Тогда примитивную решетку Р можно описать с помощью элементарной ячейки с узлами только в вершинах, объемноцен­ трированную решетку I — на основе ячейки с дополнительным узлом в центре и гранецентрированную решетку F — на основе ячейки, центрированной по всем граням. При описании решеток, центрированных по граням типа А , В или С (фиг. 1.24, а и б и фиг. 1.23 соответственно), обычно оси выбирают так, чтобы центри­ рованными оказались грани (0 0 1 ), т. е. С-центрированную ячейку.

Мы разобрали уже девять пространственных решеток Бравэ. Все остальные решетки основываются на укладке правильных треугольных сеток. Такая сетка показана на фиг. 1.15, в. В ней имеются оси симметрии шестого порядка, проходящие через узлы сетки. Для того чтобы сохранить шестерную поворотную симмет­ рию в трехмерной решетке, подобные сетки необходимо уклады­

элементарную ячейку, приведенную на фиг. 1.19, к. Единственная гексагональная ось (ось шестого порядка) проходит вдоль оси z, так что а == b Ф с, у = 120°, углы а и ß равны 90° каждый. Это единственная решетка (рассматриваемая как упорядоченная систе­ ма точек), обладающая шестерной поворотной симметрией. Однако она совместима также с тройной поворотной симметрией, причем оси третьего порядка тоже параллельны оси z. Кристалл, в кото­ ром каждому узлу такой решетки отвечает атомный мотив, обла­ дающий тройной поворотной симметрией, принадлежал бы тригональной кристаллографической системе.

При укладке треугольных сеток в ступенчатой последователь­ ности получается решетка, в которой имеется только тройная поворотная ось. Элементарная ячейка правильной треугольной сетки выделена на фиг. 1.26 векторами П и t 2, параллельными осям X ж у. Оси тройной симметрии проходят перпендикулярно плоской сетке в точках, соответствующих началу координат ячейки (0, 0), т. е. в точках А , а также внутри ячейки в двух

дывая сетки так, чтобы концы векторов имели координаты или (2/3, У3, z), или (ѴЗІ 2/3, z). Позиции типа В п С на фиг. 1.26 экви­ валентны друг другу в том смысле, что независимо от того, в каком

Ф и г. 1.27. Проекция одного из типов пространственных реше­ ток, получаемых при укладке друг на друга правильных тре­ угольных сеток.

Узлы на нулевом уровне (первая сетка) обозначены черными точками; на высоте z (вторая сетка) — кружками и на высоте 2z (третья сетка) — крестиками. Показаны также проекции векторов t3 на плоскость сеток.

в проекции на плоскость, перпендикулярную тройной оси, а на фиг. 1.28 схематически показано соотношение между треугольными сетками и примитивными ячейками этой решетки.

Па фиг. 1.27 и 1.28 последовательность укладки сеток имеет вид АВС АВС АВС . Точно такая же решетка, но в иной ориента­ ции (повернутая на 60° по часовой стрелке, если смотреть снизу вверх на фиг. 1.27) получилась бы, если бы последовательность укладки сеток была АСВАСВАСВ. Примитивная ячейка тригональной решетки, показанной на фиг. 1.28, уже приводилась на фиг. 1.19, л. Ее можно обозначить символом В. Это ромбоэдр, т. е. параллелепипед, ребра которого имеют одинаковую длину

Гексагональная

ячейка

Ф и г . 1.28. Соотношение между примитивной элементарной ячейкой тригональной решетки и трижды примитивной гекса­ гональной ячейкой.

и все наклонены под одинаковыми углами к единственной трой­

с решеткой, в которой осевой угол а может принимать любые зна­ чения между 0 и 120°. Эта другая ячейка показана на фиг. 1.28 и 1.29 (в плане, в проекции вдоль тройной оси). Это трижды примитивная ячейка высотой в три слоя сеток с внутренними узлами на высотах Ѵ3 и 2/ 3 периода повторяемости вдоль тройной оси. Форма этой ячейки такая же, как у обычной элементарной ячейки гексагональной решетки Бравэ; для ее характеристики