книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

На фиг. 1.15, а — д представлены пять различных видов двумерных решеток, или плоских сеток. На фиг. 1.15, а слева показана плоская система точек, совместимых с наличием оси симметрии второго порядка, перпендикулярной плоскости сетки,

Ф и г. 1.14. Две конфигурации узлов прямоугольной сетки, совместимые с наличием плоскостей симметрии.

при отсутствии осей симметрии более высокого порядка. Эта сетка соответствует решениям, приведенным в табл. 1.1, с N = —1 или 3, а = 0 или 180°; основой ее служит параллелограмм. Длины двух соприкасающихся сторон параллелограмма (а и Ъ на фигу­ ре 1.15, а) и величина заключенного между ними угла у могут выбираться произвольно; на совместимость с осью симметрии второго порядка это не влияет. Если бы с каждым узлом был свя­ зан мотив, характеризующийся осью симметрии второго порядка, перпендикулярной сетке, тогда такие же оси имелись бы во всех точках, показанных на фиг. '1.15, а справа.

Все правильные плоские сетки совместимы с осью симметрии второго порядка, перпендикулярной сетке, потому что такая система точек обязательно центросимметрична, а в двух измерениях нет различия между центром симметрии и двойной осью х).

В Различие между осью симметрии второго порядка и плоскостью симмет­ рии существует и в плоской сетке, но, чтобы его увидеть, надо изображать узлы не сферически симметричными точками, а несимметричными фигурками. Тогда видно, что ось симметрии второго порядка, перпендикулярная плоско­ сти сетки, поворачивает фигурку на 180° в плоскости сетки, а отражение в плоскости симметрии не только поворачивает ее в плоскости сетки, но еще и переворачивает «с лица наизнанку». — Прим. ред.

в

Ф и г. 1.15. Пять типов симметрия

Оси симметрии проходят перпендикулярно плоскости чертежа, о — простая параллелограмматическая сетка; б — квадратная сетка; в — правильная

треугольная сетка; г — прямоугольная сетка; д — центрированная прямоугольная, или

простая ромбическая, сетка.

32 Г л а в а 1

числом элементов симметрии, чем показано на правой диаграмме фиг. 1.15, б х).

Сетка, совместимая с углом а, равным как 60, так и 120°, и соответствующая наличию шестерной или тройной оси симмет­ рии, представляет собой систему точек, расположенных в верши­ нах равносторонних треугольников, как на фиг. 1.15, в слева. Примитивная элементарная ячейка этой сетки имеет равные стороны, угол между которыми обязательно равен 120°. Необхо­ димо ясно себе представлять, что такая сетка, рассматриваемая как система точек, всегда совместима с шестерной симметрией. Если атомный мотив, связанный с каждым узлом решетки, также совместим с шестерной симметрией, тогда автоматически должны возникать оси симметрии второго и третьего порядков, как пока­ зано в средней части фиг. 1.15, в. Двумерный кристалл будет обладать тройной симметрией, если атомный мотив, соответствую­ щий каждому узлу сетки, показанной на фиг. 1.15, в, обладает тройной симметрией. Единственными элементами симметрии, кото­ рые обязательно имеются у такого кристалла, будут тогда оси симметрии третьего порядка, расположенные, как показано на фиг. 1.15, в справа.

С зеркальной симметрией совместимы сетки двух различных типов. Они показаны на фиг. 1.14. Левая — это простая прямо­ угольная сетка; такая же сетка приведена на фиг. 1.15, г. Стороны а и b простейшей примитивной ячейки такой сетки не обязательно равны, но угол между ними всегда равен 90°. Эта сетка совместима с наличием осей симметрии второго порядка в точках пересечения зеркальных плоскостей симметрии (фиг. 1.15, г, справа), так же как и сетка, показанная на фиг. 1.14 справа (повторенная на фигу­ ре 1.15, д). Простейшая элементарная ячейка сетки, приведенной на фиг. 1.15, д слева,— ромб, выделенный штриховыми линиями. Стороны этой элементарной ячейки равны, а угол у между ними может принимать любое значение.

Однако в случае такой решетки часто бывает удобнее вместо примитивной ячейки в виде ромба пользоваться прямоугольной

х) В зависимости от того, как расположен мотив, характеризующийся четверной симметрией, относительно двух осей координат кристалла (кото­ рыми на фиг. 1.15, б являются стороны квадрата), могут возникать различные дополнительные элементы симметрии. Полное обсуждение этого вопроса для любого взаимного расположения элементов симметрии на фиг. 1.15, т. е. обсуждение совместимых вариантов расположения элементов симметрии в пространстве, привело бы нас непосредственно к проблеме пространствен­ ных групп. Мы отложим временно этот вопрос (см. разд. 2.14), но любознатель­ ный читатель, возможно, пожелает заглянуть в разд. 2.14, прежде чем продол­ жать дальнейшее чтение данной главы, как для того, чтобы удостовериться, что он понимает рассматриваемый материал, так ц для того, чтобы по достоин­ ству оценить, какой массы деталей можно избежать, не продолжая сейчас рассмотрение этого вопроса. Как могут возникать дополнительные элементы симметрии, легко понять, рассмотрев задачу 1.14 (в конце главы).

последовательных поворота вокруг каждой из них на углы а и ß соответственно. Соединим точки А и В. Возьмем на поверхности сферы линию AM , которая располагается под углом а/2 к AB. После поворота на угол а вокруг оси А точка М окажется по дру­ гую сторону AB также под углом а/2 к AB в положении A M ', симметричном относительно исходного положения. Теперь рас­ смотрим линию B N , которая перемещается при повороте на угол

Ф и г . 1.16. Сложение вращений на сфере.

А, В , С — выходы поворотных осей сим­

метрии.

ß вокруг оси В из положения B N (под углом ß/2 с одной стороны от AB) в положение BN ' (под углом ß/2 с другой стороны от AB). Замечаем, что точка С, расположенная на пересечении линий AM и B N ’, остается несдвинутой после обоих поворотов, поскольку первый поворот перемещает ее из С в С', а второй возвращает обратно в С. В процессе каждого вращения неподвижной остается только одна точка, а именно точка пересечения оси вращения со сферой. Поскольку в результате двух последовательных вра­ щений ось С остается несдвинутой, это означает, что такие два последовательных поворота — сначала на угол а вокруг оси А , затем на ß вокруг оси В — должны быть эквивалентны вращению на угол у (который нам необходимо определить) вокруг оси ОС. Значение у находим следующим образом. Замечаем, что точка А остается неподвижной при вращении вокруг оси А; пусть А ' отвечает положению, в которое точка А перемещается при повороте на угол ß вокруг оси В. Соединим точки А ' и С. Тогда угол у будет равен углу между АС и А ’С. Сферические треугольники (треугольники на поверхности сферы) АВС и А'ВС конгруэнтны,

потому что AB = А 'В , углы АВС и А'ВС равны (оба имеют величину ß/2), а сторона ВС — общая для обоих треугольников.

Следовательно, углы АСВ и А'СВ оба равны у/2.

36 Г л а в а 1

(порожденные) оси второго порядка, показанные на фиг. 1.17, а, возникают автоматически, потому что ось А является осью чет­

Ф и г . 1.17. Некоторые возможные комбинации осей симметрии.

симметрии.

оси. Снова отмечаем, что наличие оси четвертого порядка А автоматически требует наличия дополнительных тройных осей (а также, конечно, и двойных, которые, однако, на фигуре не пока­ заны), чтобы удовлетворялась четверная симметрия относитель­ но А. Тройные оси расположены под углом 70°32' друг к другу.

3) Предположим, что С — ось шестого порядка; тогда у = 60° и у/2 — 30°. В этом случае уравнения (1.15а) и (1.15в) не имеют решений. Если хотя бы одно из них не имеет решения, предпола­ гаемое сочетание вращений невозможно. Таким образом, мы показали, что четверная и шестерная оси не могут одновременно существовать в кристалле.

С помощью уравнений (1.14) можно отыскать все возможные сочетания поворотных осей в кристаллах. Полученные допустимые сочетания и углы между осями, соответствующие этим сочета­ ниям, приведены в табл. 1.2 (по М. Дж. Бургеру).

1.8. Пространственные решетки (решетки Бравэ)

Все элементы симметрии в кристаллах должны быть взаимно совместимы. Так, пятерные оси поворотной симметрии не могут существовать в кристаллах, так как они несовместимы с трансля­ ционной симметрией решетки. В разд. 1.6 были выведены возмож­ ные сочетания осей симметрии, которые могут проходить через данную точку. Эти сочетания соответствуют различным кристал­ лографическим системам. Теперь мы рассмотрим типы простран­ ственных решеток (т. е. правильного расположения точек в трех­ мерном пространстве согласно определению, данному в разд. 1 .1 ), которые совместимы с различными сочетаниями поворотных осей симметрии. Покажем, что, как и в случае двумерной решетки (или сетки), совместимой с зеркальной симметрией (разд. 1.5), с данным сочетанием осей симметрии совместимы в общем случае не один, а несколько способов расположения точек в пространстве. Однако число принципиально различных способов расположения точек ограничено: имеется всего четырнадцать пространственных решеток, или решеток Бравэ. Наш вывод возможных типов про­ странственных решеток будет не строгим, так как мы не доказы­ ваем, что наши решения единственны. Этот вывод решеток Бравэ делается для того, чтобы обеспечить фундамент, необходимый для ясного понимания свойств структурных несовершенств, рассма­ триваемых в части 2 настоящей книги. Решетка — это наиболее важный элемент симметрии, который приходится принимать во внимание при обсуждении дислокаций и мартенситных пре­ вращений.