книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

Причина, по которой обычно пользуются индексами Миллера, а не прямыми отрезками, состоит в том, что эти индексы очень сильно упрощают некоторые расчеты при вычислениях кристал­ лов. Уравнение плоскости (фиг. 1.6), которая отсекает на осях отрезки А , В и С, имеет вид

(см. приложение 1). Введем величины h ', к' и V, определяемые равенствами А = a lti, В = Ык' и С = с/Г, и подставим их в уравнение (1.2):

Замечаем, что уравнение плоскости, параллельной нашей, но про­ ходящей через начало координат, имеет вид

это следует непосредственно из вывода уравнения (1.2) в прило­ жении 1. Если мы теперь освободимся от дробей в h ', к' и I' в урав­ нении (1.4), то получим

где h, к и I — миллеровские индексы.семейства плоскостей решет­ ки, к которому принадлежит рассматриваемая нами плоскость. Совокупность всех плоскостей решетки дается уравнением

где h, к я I — миллеровские индексы, а т пробегает все целые значения, как положительные, так и отрицательные. Когда пло­ скость отсекает отрезок на отрицательном конце оси, в обозначе­ ниях Миллера это выражается в том, что над соответствующим индексом ставится черточка (см., например, фиг. 1.7). При правиль­ ном выборе элементарной ячейки малые значения индексов (hkl) соответствуют далеко отстоящим друг от друга плоскостям с высо­ кой плотностью узлов решетки. Такими плоскостями обычно быва­ ют огранены хорошо образованные кристаллы; по этой же причи­ не, как показывает и эксперимент, все хорошо развитые грани кристалла имеют осевые отрезки, которые, будучи выражены

в целых величинах периодов а, Ъ и с, относятся друг к другу как небольшие рациональные числа х).

Перейдем к определению направлений. Для того чтобы выде­ лить направление (т. е. прямую линию) в кристалле, поступаем следующим образом. Возьмем любые две точки на этой прямой, например Р и Р' (фиг. 1.8). Выберем одну из этих точек, скажем Р,

Ф н г. 1.8. К выводу обозна­ чений направлений в решетке.

в качестве начала координат. Выразим вектор г, соединяющий эти две точки, через трансляции вдоль осей х, у и z:

где а, b и с — векторы, лежащие вдоль осей х, у и z соответ­ ственно и имеющие величины, равные периодам решетки по этим направлениям (фиг. 1.8). Тогда выбранное нами направление будет обозначаться [uvw] (всегда в целых числах, не содержащих общего множителя). Тройка чисел, обозначающих направление, всегда заключается в квадратные скобки. Некоторые направления пока­ заны на фиг. 1.9. Уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно направлению [uvw], имеет вид

В Формально закон рациональных индексов (закон кратных отношений, закон Гаюи) гласит, что все плоскости, параллельные возможным граням кристалла, отсекают на осях кристалла отрезки, которые, будучи выражены в целых величинах некоторых единиц длины, отложенных по осям (и пропор­ циональных а, Ъи с), относятся друг к другу как небольшие рациональные числа. Рациональное число всегда может быть записано в виде p/q, где р и q —. целые числа.

z

Ф и г . 1.9. Индексы некоторых направлений в решетке.

а линия РР' представляет собой ряд узлов решетки. Такая прямая называется рациональной прямой, а плоскость, проходящая через узлы решетки, называется рациональной плоскостью.

1.3. Зоны и правило зон

Любые две плоскости решетки пересекаются вдоль прямой линии. Эта линия, которая лежит в обеих плоскостях, называется осью зоны, в которой расположены пересекающиеся плоскости. Часто множество важных плоскостей кристалла лежит в одной и той же зоне, т. е. они пересекаются друг с другом по параллель­ ным линиям. Например, на фиг. 1.7 плоскости (100), (010) и (110) все параллельны направлению [001]. Про них можно сказать, что они принадлежат зоне [001], так как [001] — это общее напра­

Если даны индексы каких-либо двух плоскостей, скажем (hikili) и (h2k212), то индексы зоны, в которой они лежат, даются

w = hlk2 — kih2.

Эти выражения легко вывести из уравнений (1.5) и (1.8). Урав­ нения плоскостей, проходящих через начало координат парал­ лельно плоскостям с миллеровскими индексами и (h2k2l2),

сти, проходящей через начало координат параллельно плоскости (hkl), дается выражением (1.5). Уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно [uvw\, дается выражени­ ем (1.8). Если эта прямая должна лежать в плоскости (hkl), мы можем исключить х, у и z из уравнений (1.5) и (1.8) и получим формулу (1.11).

1.4. Элементы симметрии

Симметричное расположение атомов в кристаллах формально описывается на основе понятий об элементах симметрии. Симмет­ рия возникает потому, что атомы или группы атомов повторяются в кристалле в правильном порядке, образуя определенный про­ странственный узор. Любая операция повторения может быть описана с помощью следующих трех различных типов элементов чистой симметрии или операторов симметрии.

1.4.1. Трансляционная симметрия

Трансляционная симметрия выражает тот факт, что одинаковые атомы в одинаковом окружении повторяются в различных точках кристалла и любую из этих точек можно перевести в положение,

Ф и г . 1.10. Трансляционная симметрия кристалла.

совпадающее с другой точкой, с помощью операции трансляции. Например, на фиг. 1.1а атомы углерода, расположенные в пози­ циях 0 , Y , N и Q, занимают совершенно аналогичные позиции. Мы используем понятие решетки для описания симметрии этого типа. Решетка — это совокупность точек, причем каждая из них имеет идентичное окружение, которое можно найти, исследуя кристаллическую структуру. Мы можем определить взаимное расположение узлов решетки, сказав, что вектор г, соединя­ ющий любые два узла и соответствующий операции трансляцион­ ной симметрии, переводящей один узел в положение, совпа­ дающее с другим узлом, всегда может быть записан в виде

где и, V и w — положительные, отрицательные или равные нулю числа. Рассмотрение фиг. 1.10 показывает, что для успешного

описания мы должны выбрать а, b и с таким образом, чтобы были охвачены все узлы. Мы можем добиться этого, выбрав, напримерг в качестве а кратчайший вектор, соединяющий два узла (или один из кратчайших, если их несколько). Затем выбираем в каче­ стве Ь какой-либо кратчайший вектор, не параллельный а, и в качестве с — тоже кратчайший вектор, не копланарный а и Ь. Теперь а, Ь и с определяют примитивную элементарную ячейку пространственной решетки в том же смысле, что и в разд. 1.1. В объеме а• [b X с] х), который есть объем элементарной ячейки, содержится всего один узел, а а, b и с называются векторами трансляции решетки.

1.4.2. Поворотная симметрия

Вернемся снова к фиг. 1.1а. Если из точки, обозначенной Н, смотреть в каком-либо направлении, например в одном из<ука­ занных стрелками, тогда при повороте на угол 60° = 36076 карти­ на не изменится. В таких случаях говорят, что через точку Н перпендикулярно плоскости чертежа проходит шестерная поворот­ ная ось симметрии, или ось симметрии шестого порядка. Аналогич­ но можно показать, что через точку О' проходит ось тройной сим­ метрии (ось третьего порядка), так как картина не изменится после поворота на 36073 = 120°. Кристалл обладает п-кратной осью поворотной симметрии, если он совпадает сам с собой после поворота вокруг этой оси на угол 3607/г = 2л/п рад. В кристаллах могут существовать только оси поворотной симметрии с величи­ ной п, равной 1, 2, 3, 4 и 6. Они соответствуют повторению через каждые 360, 180, 120, 90 и 60° и называются соответственно осями первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков *2). Причины такого ограничения значений п приведенными величи­ нами объясняются в разд. 1.5.

Центр симметрии есть такая точка, операция инверсии в кото­ рой приводит к идентичному взаимному расположению точек. Операция инверсии перемещает точку с координатами (х , у, z) в позицию с координатами (—х, —у, —z). Например, если мы

разд. А2.1.

2) Употребляются также названия одинарная, двойная, тройная и т. д. оси симметрии, которыми мы будем пользоваться. Авторы употребляют названия моногира (monad), дигира (diad), тригира (triad), тетрагира (tetrad) и гексагира (hexad), которыми в русской литературе теперь не пользуют­ ся. — Прим. ред.

luvw], Ясно, что в решетке все узлы являются центрами симметрии решетки. Это следует из уравнения (1.12), так как и, ѵ и w могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, одна­ ко, что, поскольку начало координат решетки любой кристалличе­ ской структуры может быть выбрано произвольно, не следует считать, что в кристалле, обладающем центром симметрии, центры симметрии обязательно будут совпадать с узлами.

1.4.3.Отражение

Еще один тип симметрии — это зеркальная симметрия. Опера­ ция симметрии сводится в данном случае к отражению в зеркале. Зеркальная симметрия связывает, например, нашу левую и пра­ вую руки. Плоскость на фиг. 1.11, проходящая перпендикулярно

плоскости чертежа и показанная пунктиром т — т, «отражает» фигуру А в фигуру А ' и наоборот. Фигуру А ' нельзя совместить с А простым перемещением в плоскости чертежа. Плоскость, про­ веденная пунктиром,— это зеркальная плоскость симметрии. Необходимо заметить, что операция инверсии в центре симметрии также переводит левосторонний объект в правосторонний.

1.5. Ограничения, накладываемые на элементы симметрии

Трансляционной симметрией обладают все кристаллы. Данный кристалл может обладать или не обладать другими элементами симметрии. Оси поворотной симметрии должны быть совместимы с трансляционной симметрией решетки. Очевидно, что ось сим­ метрии первого порядка всегда совместима с ней. Докажем, что, кроме оси симметрии первого порядка, в кристалле могут суще­ ствовать только оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Для этого рассмотрим двумерную решетку,

28 Г л а в а 1

и шестого порядков. Никакие другие оси симметрии несовместимы с трансляционной симметрией решетки и, следовательно, не суще­ ствуют в кристаллах.

В соответствии с этими разрешенными значениями а, полу­ ченными из уравнения (1.13), определяются возможные виды плоских сеток, или двумерных решеток. Они показаны на фигу­ ре 1.15, а — а слева. И шестерной, и тройной осям симметрии отве­ чает одинаковая правильная треугольная сетка, элементарная ячейка которой представляет собой ромб с углом 120° (фиг. 1.15, в).

Ф и г . 1.13. К построению двумерной решетки, совместимой

сналичием зеркальных плоскостей симметрии.

а— плоскости симметрии проходят перпендикулярно ряду узлов А А ' посредине между узлами; б — плоскости симметрии проходят через узлы

решетки.

Аналогичные ограничения налагает на сетку и наличие зер­ кальных плоскостей симметрии. Имеется всего два вида сеток, совместимых с наличием зеркальной плоскости. Чтобы убедиться в этом, допустим, что А и А' — два узла сетки, а вектор t, соеди­ няющий их, есть трансляционный вектор решетки, определяющий одно ребро элементарной ячейки. Зеркальная плоскость может быть расположена перпендикулярно ряду А А ' решетки как на фиг. 1.13, а или как на фиг. 1.13, б; эта плоскость не может проходить через произвольную точку в промежутке между А и А '. Она должна или лежать посредине между А и А ', как на фигу­ ре 1.13, а, или проходить через узел, как на фиг. 1.13, б. Так как А А ' определяет ряд решетки, можно построить сетку, совместимую с зеркальной симметрией, поместив ряд, идентичный АА ', парал­ лельно А А ' , но сместив его относительно АА'. Имеется две воз­ можные конфигурации; обе они приведены на фиг. 1.14; на фигуре показаны также вектор решетки t и все зеркальные плоскости, совместимые с данным расположением узлов.