книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах
.pdf220 |
Г л а в а 6 |
ваться с изменениями форм соседних зерен и формы всего тела как целого. Если у зерна есть пять независимых систем скольже ния в том смысле, как мы только что определили, то это зерно при скольжении может претерпеть общее произвольное изменении формы. Часто считают, что этому условию должны подчиняться все зерна, чтобы поликристалл был способен к большим пласти ческим изменениям формы внутри зерен путем скольжения, но без образования внутренних полостей. Это условие называют условием Мизеса. В процессе деформации поликристалла путем скольжения индивидуальные зерна стеснены своими соседями, поэтому часто наблюдаются повороты кристаллической решетки.
Относительную роль вращения решетки можно оценить, если предположить, что каждое зерно поликристалла испытывает одинаковую малую деформацию etj, так что деформация всего тела как целого однородна *). Мы подразделяем малую деформа цию ец на чистый сдвиг и вращение:
е гІ ~ &ij ~t"
Как чистый сдвиг 8 ^, так и вращение соц в каждом зерне должны быть одинаковыми. Если действуют пять независимых систем скольжения, то в каждом зерне могут возникнуть одинаковые е^. В общем случае это не создаст одинакового вращения в каждом зерне, но из-за стесняющего действия соседних зерен всегда можно добавить вращение жесткого тела как целого, которое поворачивает решетку, так что полное вращение, определяемое как
®£j ^ ® ij. сколык "Ь |
решетки* |
одинаково для всех зерен. Поэтому каждое зерно испытывает поворот решетки, который вносит вклад в общую деформацию. В этом рассуждении предполагается, что каждое зерно может вращаться свободно. Так это или не так, можно решить, рассмо трев условия на границах между зернами.
6.4.Большие деформации
Вопытах по скольжению монокристалл исследуемого вещества часто растягивается или сжимается вдоль заданного направления (фиг. 6.11). Скалывающее напряжение на плоскости скольжения
иего компоненту в направлении скольжения (так называемое критическое скалывающее напряжение) легко найти, меняя оси координат тензора приложенного напряжения (см. задачу 6 .12 ). Но еще проще это вывести из фиг. 6.11. Если сила F приложена
-1) В реальном кристалле деформация каждого кристаллического зерна может быть неоднородной. Рентгеноструктурные исследования отдельных зерен показывают, что это на самом деле так.
Скольжение |
221 |
к кристаллу с поперечным сечением А 0, то растягивающее напря жение, параллельное F, равно ст = FIA. Компонента силы F в направлении скольжения, составляющем с ней угол А.0, равна / ’cos А,0.Еслиугол между/и нормалью к плоскостискольжения равен <р0, то эта сила действует на площадь /l0/cos ф0 и искомая компо
нента скалывающего напряжения х равна
F
X ~ F cos X0/(^ 0/cos ф0) = a cos ф0 cos Х0.
( 6. 10)
Напряжение, |
нормальное к рассматрива |
|
|
||||
емой плоскости скольжения, равно |
|
|
|
||||
оп = F cos ф0/(Н0/соз фо) = |
а cos2 ф0. |
|
|
||||
|
|
|
|
(6. 11) |
|
|
|
Полезно обратить внимание на то, что на |
|
|
|||||
фиг. 6.11 направления F, п и ß не обяза |
|
|
|||||
тельно лежат в одной плоскости, так что |
|
|
|||||
лишь в частном случае ф0 = |
(90° — Х0). |
|
|
||||
Из формулы (6.10) можно вычислить |
|
|
|||||
критическое скалывающее напряжение по |
|
|
|||||
любой системе скольжения. С достаточно |
|
|
|||||
хорошим приближением можно сказать, |
|
|
|||||
что если кристалл подвергнут возрастаю |
|
|
|||||
щему растягивающему |
или |
сжимающему |
|
|
|||
нагружению, |
как на фиг. 6 .1 1 , то сколь |
|
|
||||
жение всегда начинается в той системе |
|
|
|||||
скольжения, |
в которой критическое ска |
|
|
||||
лывающее напряжение наибольшее. Хуже |
|
|
|||||
выполняется |
то условие, что в данном |
f F |
|
||||
чистом кристалле при данной температуре |
|
||||||
Ф и г. 6.11. |
К объясне |
||||||
скольжение начинается лишь тогда, |
когда |
||||||
компонента |
скалывающего |
напряжения |
нию закона |
критическо |
|||
го скалывающего напря |
|||||||
достигает некоторой определенной крити |
жения. |
||||||
ческой величины. Этому условию, т. е. так |
|
|
|||||
называемому |
закону |
критического |
скалывающего напряжения, |
||||
довольно хорошо подчиняются кристаллы металлов, у кото рых плотность дислокаций обычно велика (см. гл. 7). В не металлических кристаллах критическое скалывающее напря жение, при котором начинается скольжение, столь сильно зави сит от предыстории кристалла, что это правило в общем случае неприменимо.
Из формулы (6.10) можно найти именно ту систему скольже ния, в которой при заданной ориентировке F по отношению к кристаллографическим осям компонента скалывающего напря жения имеет наибольшее значение. Определить, для которого
222 |
Г л а в а 6 |
100
Ф и г. 6.12а. Стандартная стереографическая проекция г. |
ц. |
к.- |
металлического кристалла, претерпевающего скольжение |
по |
|
{ 111} ( 110) . |
|
|
Показаны специфические системы скольжения с максимальными |
компо |
|
нентами скалывающего напряжения для любой ориентации оси растя жения.
из членов семейства систем скольжения компонента скалываю щего напряжения наибольшая, удобно на стереографической проекции. На фиг. 6.12а изображена стереографическая проекция кубического кристалла. Если это гранецентрированный кубиче ский кристалл, то точечная группа симметрии тЗпг, и скольжение происходит по системе {110} (110). Имеется 12 физически раз личных систем скольжения. Пусть F — направление силы, вызы вающей одноосную деформацию кристалла, причем направление F
отметим |
на стереографической проекции, например, как Е<> |
на фиг. |
6 .1 2 а. |
Частная система скольжения с наибольшей компонентой ска лывающего напряжения указывается на проекции буквенным обозначением того элементарного треугольника, в который попа дает F0. Например, для случая, показанного на фиг. 6.12а, этот треугольник обозначен 5IV: это означает, что скольжение нач нется по плоскости октаэдра В, т. е. (111), в направлении IV,
т. е. [101]. Если F0 попадает на границу элементарного треуголъ-
Скольжение |
223 |
Ф и г . 6.126. Единичный треуголь ник стандартной стереографической проекции гексагонального кристалла точечной группы 6/ ттт с системой
скольжения (0001) (1120).
Показаны направления скольжения с мак симальными компонентами скалывающего напряжения.
Ф и г . 6.12в. Стандартная стереографическая проекция для о.ц.к.-кристалла с системами скольжения {110} (111) и
{ 112} (1 1 1 ).
Видны те области одного единичного треугольника, в которых максималь ны компоненты скалывающих напряжений по разным системам сколь
жения.
ника, тогда, очевидно, в нескольких системах скольжения напря жения одинаковы (см. задачу 6 .8 ). Такие же схемы для некоторых других обычных систем скольжения приведены на фиг. 6.126 и 6.12в; они читаются так же, как фиг. 6.12а. Исходя из данных табл. 6 .1 , можно сделать существенный вывод о том, что в кристал лах со структурой типа NaCl, у которых скольжение происходит
224 |
Г л а в а 6 |
|
по системе |
{110} (110), напряжения всегда одинаковы, |
по край |
ней мере в двух системах скольжения. |
|
|
Гранецентрированные кубические металлы изучены весьма |
||
подробно. |
Даже для кристаллов, у которых ориентация |
F0 очень |
близка к-центру элементарного треугольника, наблюдается незна чительное скольжение по системам, отличающимся от тех, в кото рых напряжения наибольшие. Поскольку плоскость скольжения
в системе скольжения |
наблюдается легко, эти системы обычно |
определяют только по |
их плоскостям скольжения. Плоскость' |
|
[ 101] |
Ф и г . 6.13. Соотношение между первичной и сопряженными системами скольжения.
скольжения системы с наибольшими напряжениями называют
первичной плоскостью скольжения, а названия остальных систем скольжения приведены на фиг. 6.13. Для кубических кристаллов с системой скольжения {111} (110) Диль (Diehl) установил про стое правило определения первичной системы скольжения для случая, когда направление F находится в одном из элементарных треугольников, показанных на фиг. 6.12а: зеркальное отражение полюса (110) данного треугольника противолежащей стороной треугольника дает направление скольжения, а зеркальное отраже ние полюса {111} того же треугольника противолежащей стороной дает нормаль к плоскости скольжения.
Вернемся к фиг. 6.11. Если по данной системе скольжения происходит сдвиг на малую величину da, то длина кристалла возрастает в направлении действия силы F на величину dl, равную
dl = I cos фо cos Я0 daf |
(6.12) |
где da есть приращение деформации кристаллографического сдви га, а I — начальная длина кристалла *). Если е — удлинение
!) Полезно обратить внимание на идентичность геометрических ориента ционных факторов в (6.12) и (6.13) Так получается, очевидно, когда приложен ная сила не создает критического скалывающего напряжения по заданной системе скольжения, потому что cos фо или cos Х0равны нулю, если безразлич-
Скольжение |
225 |
(малое), параллельное F и производимое сдвигом da, то е = dill, и поэтому из формулы (6.12) следует, что
е = da cos ср0 cos Я0. |
(6.13) |
Относительное смещение частей кристалла параллельно ß озна чает, что, по мере того как кристалл удлиняется, оба его конца взаимно сдвигаются в направлении, поперечном по отношению к приложенной силе F. Этот эффект не очень существен для очень малых деформаций, но его необходимо принимать во внимание, когда минералы сильно деформируются путем сжатия (например, при гидростатическом давлении) или металлические кристаллы подвергаются большим растяжениям. При сжатии можно вос препятствовать боковому сдвигу концов кристалла с помощью трения, а при растяжении концы кристаллов обычно сплющи ваются и кристаллы принимают такую форму, как показано на фиг. 6.14. Если же из-за граничных условий точка А ' должна располагаться в 0 ' выше О, тогда скольжение будет происходить только по указанной системе, а кристаллическая решетка будет
поворачиваться по отношению к направлению 0 0 '. |
Из фиг. 6.14 |
видно, что удлинение е кристалла равно (I — Z0)/Z, так что из тре |
|
угольника ОА А ' получаем |
|
Z/Z„ = 1 + е = sin Z,0/sin Я, |
(6.14) |
а из треугольников NAO, NA'O |
|
Z/Z0 = cos фд/cos ф, |
(6.15) |
где Я0 и фд — начальные значения углов Я и ф. Кристаллографи ческий сдвиг а определяется выражением АА'/10 cos ф0, а А А ' — = I cos Я — l0 cos Я0; таким образом,
а[(1 + е) cos Я — cos Яді/cos ф0 =
= |
COS Я/COS ф — COS Яд/COS фд, (6.16) |
|
и критическое скалывающее |
напряжение |
равно |
т = (FIA) cos ф cos Я= (F cos фІА) {1 — |
[sin2 Я0/(1 + е)2]}1/2. |
|
Из фиг. 6.14 видно, что в процессе деформации площадь пло скости скольжения остается постоянной (если не считать очень малых изменений, связанных с образованием ступенек скольже ния), поэтому величина И/cos ф не меняется и последнее урав-
но, которая из этих систем скольжения действует. Некоторые из ориентировок приложенной силы F дают нулевые значения для т в формуле (6.10) или для dl в выражении (6.12), если у кристалла нет пяти независимых систем сколь
жения.
1 5 - 0 1 2 2 1
226 |
Г л а в а 6 |
|
нение можно записать как |
|
|
т = (F cos фо)М0) [1 - |
{ IJ lf sin2 Х0)У2. |
(6.17) |
В процессе деформации величина X уменьшается, и поэтому для данной силы F величина компоненты скалывающего напря жения растет. Формулы (6.14)—(6.16) можно вывести также
Ф и г . 6.14. К расчету изменения ориентировки кристалла при скольжении.
и непосредственно из уравнения (6.1) и фиг. 6.7. Это полезно сде лать потому, что с помощью векторных формул особенно удобно описывать деформацию сжатия. Из фиг. 6.7 видно, что при сколь жении на величину а вектор г переходит в г', т. е.
г' = г + а (г«п) ß. |
(6. 1) |
Скольжение |
227 |
Если вектор г выбрать так, чтобы он был параллелен оси растяже ния при а = 0, тогда г' соответствует оси растяжения после деформации путем кристаллографического сдвига а:
Ш 0= 1 + е = | г ' | / | г | ;
п есть единичный вектор нормали к плоскости скольжения, так что
cos ф = (r' -и)/ I r' I = [(г-и) + а (г-и) ß-n] (1/ | г' | ) =
= (10COS фо)//,
поскольку cos фо = (r-n)/ I г I и ß*n = 0. Таким образом, мы получаем равенство (6.15). Кроме того,
I r' X ß I = 1r' I sin X,
поскольку ß — единичный вектор. Из (6.1) имеем г'X ß = г X ß, поскольку ß X ß = 0, и, значит,
Ш0 = sin Ло/sin Я,
т. е. мы пришли к равенству (6.14). Наконец, если обе стороны соотношения (6.1) скалярно умножить на ß, то получим
I cos Я = l0 cos Я0 + al0 cos ф„
и, воспользовавшись (6.15),
а = cos Я/cos ф — cos Яд/cos ф0,
т. е. формулу (6.16).
Если в опыте используется длинный тонкий кристалл, как на фиг. 6.11, то можно измерить и нанести на стереографическую проекцию изменение ориентировки по отношению к оси кристалла; его легче рассматривать, чем эквивалентное изменение оси кри сталла по отношению к оси растяжения. Изменение ориентировки заключается в том, что ось растяжения поворачивается вокруг направления скольжения; это можно использовать, чтобы опре делить направление сдвига. На фиг. 6.15, а приведен реальный пример для кристалла г. ц. к.-металла. Когда полюс оси растяже ния на этой фигуре достигает дуги большого круга, соединяющей полюса (001) и (111) и являющейся плоскостью зеркального отражения, компоненты скалывающих напряжений по двум системам скольжения становятся одинаковыми и скольжение может происходить по обеим системам одновременно. Когда действуют одновременно две системы скольжения, говорят, что происходит двойное (сдвоенное) скольжение.
В гранецентрированных кубических металлах во многих слу чаях кристалл продолжает скользить по первичной системе скольжения и после того, как ориентировка оси растяжения дости гает плоскости зеркального отражения. В этом случае полюс
15*
228 |
Г л а в а 6 |
оси растяжения «заходит» в соседний единичный треугольник, так что скольжение идет уже не но той системе, в которой дей ствуют номинально наивысшие напряжения. Такой’пример показан на фиг. 6.15, б. После того как прошел некоторый сдвиг по этой добавочной первичной системе, внезапно начинает действовать сопряженная система скольжения, и дальше идет уже скольжение по этой системе, сопровождаемое иногда «заходом» в сопряженную систему (фиг. 6.15, б). Когда ось растяжения достигает полюса
Ф и г . |
6.15. |
Изменения |
ориентировки г.ц.к.-металлического |
|
|
|
|
кристалла при скольжении. |
|
Цифрами |
указаны |
последовательно определенные кристаллографические |
||
ориентировки |
(по |
Зеегеру, |
Handbuch der Physik, Bd. VII/2, Sprin |
|
|
ger Verlag). |
{112} — на фиг. 6.15, б |
это (112),— дальше ориентировка уже |
не может меняться при |
условии, что каждая система скольже |
ния вносит одинаковый вклад в деформацию.
В процессе испытаний на сжатие ориентировка кристалличе ской решетки тоже меняется. Этот случай проще всего рассмот реть с помощью векторных формул. Сначала используем фор мулу (6.1), чтобы найти, как при сдвиге меняется данная пло щадка с нормалью ш. Пусть гх и г2 будут два любых непараллель
ных вектора, лежащих в этой плоскости. |
Запишем m = rx X г2. |
Преобразуем теперь каждый из векторов |
гх и г2 по (6.1), чтобы |
получить г* и r^. Тогда новый вектор m', |
определяющий ш, после |
деформации кристаллографического |
сдвига на величину а равен |
|||||||
т ' |
= |
г( |
X |
r^. |
Подставляя г' |
и ѵ'2 |
из уравнения (6.1), получим |
|
т ' |
= |
[rx |
X |
г2] |
+ а (rx-n) ß X |
г2 — а (r2-n) ß X |
гх = |
|
|
|
|
|
|
= |
Щ + aß X [(гх-п) |
г2 — (г2 •n) Tjl. |
|
Скольжение |
229 |
Вспомнив формулу двойного векторного произведения (приложе ние 2), преобразуем это уравнение:
т' = т + aßX n X [г2X rj,
т. е.
т' ^ т —aß X [n X т]. (6.1
Воспользовавшись снова формулой двойного векторного произве дения, получим окончательное выражение
in' = m —a [(ß-m) n —ß-n) m]
или
m' = m — a (ß -m) u, |
(6.19) |
поскольку (ß-n) = 0. Из формул (6.18) и (6.19) видно, что любая плоскость движется к своему конечному положению, так что
Ф и г. 6.16. Сжатие тонкой кристаллической пластинки между двумя плоскостями.
нормаль к ней всегда лежит в плоскости, в которой лежат началь ное положение этой нормали и нормали п к плоскости сколь жения.
Рассмотрим теперь случай сжатия тонкого кристалла между плоскими пластинами (фиг. 6.16). Примем ограничение, заключаю щееся в том, что плоскость, которая сначала была нормальна к оси растяжения, должна в процессе деформации сохранять свою ориентировку по отношению к направлению действующего напряжения. Чтобы значения а в процессе сжатия оставались положительными, предположим, что скольжение происходит в направлении —ß(фиг. 6.16); тогда формула (6.19) принимает вид
ш' = m + а (ß-m) п. |
(6.20) |
Согласно (6.20), нормаль к плоскости скольжения тогда прибли жается к нормали к сжимающим пластинам путем поворота