книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

Из уравнений (5.42) и (5.43) следует, что с12 = с21 и вообще

Записав уравнение (5.39) в виде

и выражая приращение энергии через приложенное напряжение, получим, что

Теперь можно записать постоянные упругой жесткости или упру­ гой податливости в самом общем виде как матрицу из 21 незави­ симого члена; например,

Если оси координат выбраны произвольно, то в общем случае число независимых упругих постоянных кристалла равно 2 1 , хотя из-за симметрии кристалла между ними могут существовать некоторые соотношения. Но если оси координат выбраны в соот­ ветствии со структурой кристалла, то из-за требований симметрии некоторые константы могут обратиться в нуль. В кубическом кристалле оси тензора выбирают обычно параллельно кристалло­ графическим осям. Остановимся на наименее симметричном классе кубической симметрии 23. Полученный результат применим затем ко всем классам кубической сингонии. Оси Oxlt Ох2, Ох3 параллельны соответственно направлениям [1 0 0 ], [0 1 0 ] и [0 0 1 ]. Оси третьего порядка обеспечивают эквивалентность направлений Ох1, Ох2 и Ох3, так что

Из-за того что оси Охг, Ох2 и Oxs являются осями симметрии второго порядка, остальные константы равны нулю. Например, как показано на фиг. 5.14, напряжение о6 не может создать дефор­ мацию е;ч, потому что это несовместимо с наличием оси симметрии второго порядка вдоль Охх. На фиг. 5.14, б кристалл повернут на 180° вокруг оси Охг. Касательное напряжение должно было бы

Постоянные упругой жесткости можно получить из упругих податливостей, просто заменяя с на s в уравнении (5.51). В табл. 5.1 приведены упругие постоянные для некоторых кубических кри­ сталлов.

Во всех кристаллографических сингониях, кроме триклинной, условия симметрии уменьшают число независимых упругих постоянных. В табл. 5.2 приведены формы матриц для случаев расположения осей координат вдоль заданных осей симметрии. Если одна из осей координат параллельна какой-нибудь оси симметрии, а другая координатная ось параллельна другой оси симметрии, то на матрицу налагаются ограничения, соответствую­ щие обеим осям (см. табл. 5.2). С помощью данных этой таблицы легко получить число независимых констант упругости для каж­ дого класса симметрии. Так как напряжение и деформация сами по себе центросимметричны, наличие или отсутствие центра сим­ метрии в кристалле не влияет на число упругих постоянных.

Эти условия изотропности среды можно вывести и непосред­ ственно из формы матриц для гексагональных кристаллов

(табл. 5.2).

Кубический кристалл подчиняется всем ограничениям изо­ тропности, кроме уравнения (5.52), а степень его анизотропии можно измерять по тому, насколько отличается от единицы отно­ шение А , равное

Отношение А представляет собой меру относительного сопротив­ ления кристалла двум типам сдвиговой деформации, так как с4 4 измеряет сопротивление сдвигу по плоскости (0 1 0 ) в направлении

в табл. 5.1, только вольфрам и алюминий можно считать почти изотропными.

Однако с изотропными материалами приходится встречаться часто, потому что металлы обычно применяются в виде агрегата беспорядочно ориентированных кристаллов, если при затверде­ вании или последующей деформации не образовалась текстура. Упругие свойства изотропного материала принято характеризо­ вать двумя константами — модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ѵ. Их определяют из простых испытаний на растяже­ ние под действием напряжения о как

где е — деформация растяжения в направлении растягивающего усилия, а е' — деформация растяжения в направлении, нормаль­ ном к первому. Через упругие податливости эти постоянные выражаются в виде

Пользуются и другими постоянными, зависящими от Е и V. Напри­ мер, модуль сдвига р определяется как

где у — деформация упругого сдвига, вызванного касательным напряжением т.

Очевидно, что

а из уравнений (5.53), (5.57) и (5.58) получим

Используя постоянные Е, ѵ и р, запишем закон Гука для изотроп­ ного твердого тела в виде

Часто пользуются также двумя другими константами — постоян­ ными Ламе к и р. Постоянная Ламе р идентична модулю сдвига, а постоянная к идентична компоненте упругой жесткости сг 2 изотропного материала

іj.

Уменьшение числа независимых постоянных до двух для изо­ тропного материала, до трех для кубического кристалла и т. д. следует только из симметрии. Дальнейшие соотношения между этими константами выводились раньше на основе частных пред­ положений о том, что твердое тело представляет собой атомную решетку, а силы взаимодействия между атомами направлены по линиям, их соединяющим. Эти соотношения называются соот­ ношениями Коши. Они требуют равенства компонент, для кото­ рых при четырехиндексном обозначении один индекс из первой пары заменяется индексом из второй пары. В общем случае это

сводит число независимых постоянных от 21 до 15. Для изотроп­ ного материала условие Коши будет

а для гексагонального и тригонального кристаллов соответственно

Сі з = С4 4 , (Д 1 = 3 Cl 2• ( 5 . 6 6 )

Как видно из данных табл. 5.1 и 5.3, условия Коши соблюдаются очень редко, даже и приближенно. Из кубических кристаллов некоторые щелочно-галоидные кристаллы довольно хорошо под­ чиняются условиям Коши.

При решении задач по упругости кристаллов иногда оказы­ вается удобным выбрать нестандартные оси координат. Преобра­

где atj — косинусы углов между новыми осями х[ и старыми xj. Хирмон дал эти уравнения в форме таблиц, воспользовавшись сокращенными обозначениями си и stj [17]. Если одна из новых осей является осью симметрии или нормалью к плоскости сим­ метрии, то это вычисление упрощается благодаря симметричным соотношениям, которые выводятся непосредственно из табл. 5.2.

Задачи

5.1. Выведите выражения для параллельных фиксированным осям Охі и Охг смещений щ и и2точки {хих2) в теле, которое поворачивается на угол Ѳвокруг оси, проходящей через начало координат. Покажите затем, что если

5.2. Некое тело подвергается деформации чистого упругого сдвига путем растяжения вдоль оси xt и сжатия вдоль оси х2. Смещение, параллельное Охі, равно Ui = ехі, а параллельное Ох2 равно и2 = —ех2, причем е очень мало. Запишите тензор деформации, отнесенный к осям Охі} Ох2, Ох3, и полу­ чите тензор деформации для осей Ох[, Ох'2 и Ох'3, которые повернуты по отно­

где V — коэффициент Пуассона (материальная константа). Напишите тензор деформации, отнесенный к осям Oxt, Ох2, Ох3, и получите тензор, отнесенный

косям Ох'і, Ох2, Охз, ориентировка которых дана в задаче 5.2.

5.4.Докажите, что однородный простой сдвиг е12 = g преобразует плос­ кость, симметрично наклоненную по отношению к осям Охи Ох2, Ох3, т. е. плоскость, нормаль к которой параллельна вектору (1 , 1 , 1), в другую плос­ кость, нормаль к которой параллельна вектору (1 , 1 — g, 1).

5.5. Докажите, что однородный простой сдвиг е12 — g преобразует круг х\ + х\ = 1 в эллипс, большая ось которого составляет с осью Oxі угол Ѳ,

щее напряжение а, то плоскости, в которых сдвиговые напряжения макси­ мальны, проходят под углом 45° к оси растяжения. Определите величину наибольшего скалывающего напряжения.

5.7. Цилиндрические координаты точки (г, Ѳ, z) связаны с ортогональной системой координат Охі, Ох2, Ох3 следующим образом: ось z параллельна Ох3, а угол Ѳ отсчитывается против часовой стрелки от оси Ох2, если смотреть вдоль положительного направления оси Ох3. Покажите, что

5.8. Покажите, что одноосное сжимающее напряжение эквивалентно сумме гидростатического давления и двух чисто сдвиговых напряжений. С помощью тензора напряжения напишите уравнение, описывающее этот результат, и начертите схему напряжений для этого уравнения.

5.9. В точке Р отличны от нуля только компоненты напряжений 0ц, 022

исг13, отнесенные к осям Охи Ох2 и Ох3. Рассмотрим плоскость, проведенную

через Р параллельно Ох3 и составляющую с осью х2 угол Ѳ, отсчитываемый от Ох2 против часовой стрелки, если смотреть вдоль Ох3. Покажите, что нор­

мальное напряжение а12, действующее на эту плоскость в точке Р, равно

5.10. Упруго изотропное тело, обладающее модулем Юнга Е и коэффи­ циентом Пуассона ѵ, упруго деформируется растягивающим напряжением. Определите его дилатацию, т. е. изменение объема, отнесенное к единице объема. Модуль объемного сжатия твердого тела определяется как К = = —Р /А, где Д — дилатация, создаваемая напряжением, у которого компо­ нента гидростатического давления равна Р. Покажите, что К = Е/3 (1 — 2ѵ).

5.11.В кубическом кристалле постоянная упругой жесткости с44 по оп­

ределению представляет собой модуль сдвига, относящийся к сдвигу по плос­ кости {001} в направлении (001). Покажите, что тот же самый модуль с44

относится к сдвигу по плоскости куба в любом направлении.

5.12.Покажите, что в кубическом кристалле модуль сдвига, относящийся

лении (110 ).)

5.13. В монокристалле модуль Юнга для заданного кристаллографиче­ ского направления определяется (когда в этом направлении приложено растя­ гивающее напряжение) как отношение напряжения к деформации растяжения в том же направлении. Покажите, что в кубическом кристалле обратная вели­

где « и , ві 2 ийі з — косинусы углов[между данным направлением и осям коор­ динат Ох1, Ох2, Охs соответственно. (Указание. Преобразуйте компоненту упругой податливости s4 4 і і к новым осям координат, проведя ось Ох( парал­

лельно данному направлению. Будьте очень осторожны, заменяя в тензоре податливостей соответствующие компоненты в сокращенной записи.)