книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

Вданной книге изложены основы кристаллографии и учения

оструктурных несовершенствах в кристаллах. Причина, почему эти две темы трактуются вместе, заключается в том, что первая необходима для надлежащего восприятия второй. Поскольку классическая кристаллография сформировалась еще в прошлом столетии, а несовершенства в кристаллах интенсивно изучаются

втечение всего лишь двух последних десятилетий, в книгах по дефектам структуры в кристаллах и вообще по физике твердого тела в первых главах обычно дается краткая сводка теорем кри­ сталлографии, а в последующих главах по возможности детально рассматриваются основные свойства дефектов. В практике препо­ давания мы убедились, что такой подход не является удовлетво­ рительным, во-первых, потому, что студенту многие свойства дефектов оказываются непонятными, если у него нет полной ясности в понимании концепции решетки и отчетливого пред­ ставления о кристаллографических классах симметрии, а, во-вто­ рых, потому, что подробное изучение дефектов в различных кри­ сталлах, особенно необходимое студентам старших курсов, требует знания кристаллической структуры и умения вычислять такие величины, как межплоскостные расстояния, или преобразовывать индексы или уметь обращаться со стереографической проекцией.

Вэтой книге мы пытались дать фундаментальное изложение основных теорем кристаллографии, с тем чтобы показать возмож­

ность их применения к изучению дислокаций, точечных дефектов, двойников и фазовых превращений. При этом, однако, мы стара­ лись избежать трудностей, связанных с изучением внешних форм кристаллов и прежде всего с обилием их наименований.

По этой причине мы начинаем рассмотрение с понятия о кри­ сталлической решетке. Первые три главы посвящены основным

теоремам кристаллографии и описанию важнейших кристалличе­ ских структур. Затем мы переходим к элементарным тензорным представлениям физических свойств кристаллов. Во второй части книги описаны дефекты и главным образом те их свойства, кото­ рые непосредственно следуют из геометрических представлений. После вводной главы об упругости кристаллов последовательно рассматриваются дислокации, точечные дефекты, двойники, мар­ тенситные превращения и поверхности раздела в кристаллах.

Данное издание рассчитано на читателей, владеющих только элементарной математикой. Некоторые свойства векторов, тензо­ ров и матриц излагаются в основном тексте и в приложениях.

Книга доступна студентам младших курсов; главы по элемен­ тарной кристаллографии основаны на сведениях, которые студенты получают в первые три года обучения. Однако, поскольку изложе­ ние основ дано в достаточно сжатой форме, а индивидуальные несовершенства рассмотрены детально, книга может быть полезна студентам старших курсов и аспирантам. Материал последних глав излагался в лекциях для студентов старших курсов Кем­ бриджского университета, в специальных курсах Северо-запад­ ного университета (Чикаго, шт. Иллинойс) и Технологического института Карнеги. Мы надеемся, что эта книга будет полезна студентам как в начале, так и в конце их обучения.

А. Келли

Г. Гровс

СОВЕРШЕННЫЕ КРИСТАЛЛЫ

Г л а в а 1

Геомет рия реш ет пгі

1.1. Элементарная ячейка

Кристаллы — это твердые вещества, в которых атомы распола­ гаются правильным образом относительно друг друга. Эту пра­ вильность их относительного взаимного расположения можно описать на основе понятий симметрии; элементы симметрии кри­ сталла определяют симметрию его физических свойств. Например, элементы симметрии показывают, в каких направлениях электри­ ческое сопротивление кристалла будет одинаковым. У многих природных кристаллов, например у каменной соли (галит, хлори­ стый натрий) или кальцита (карбонат кальция), грани очень хорошо развиты. Во взаимном расположении этих граней на кри­ сталле проявляется определенная закономерность, что указывает на правильное расположение атомов в кристалле. Такие кристаллы сыграли очень важную роль в истории науки, так как законы симметрии кристаллов были выведены в свое время именно на осно­ вании измерений углов между их гранями; первые измерения подобного рода были произведены еще в XVII в. Изучение таких кристаллов и до сих пор представляет значительную эвристическую ценность при овладении основными понятиями симметрии.

Внастоящее время расположение атомов в кристаллах, или тот атомный узор, который они образуют, можно определять пря­ мыми методами. Атомный узор кристалла описывается элементами симметрии; он имеет фундаментальное значение, поэтому мы нач­ нем именно с него.

Вкристалле графита атомы углерода соединены друг с другом так, что образуются плоские слои. Между собой эти слои связаны очень слабо. Отдельно взятый слой является примером двумерно-

Ох и Оу. В случае графита а = Ъ = 2,45 Ä (при 25° С), а у =

=120°. Далее замечаем, что в ячейке имеется по одному атому

вкаждой вершине и один атом целиком находится внутри ячейки. Атомы в положениях О, X , А , Y имеют одинаковое окружение х). Для описания позиций атомов выбираем стороны параллелограм­ ма а и Ъ в качестве единиц длины. Тогда координаты атома, рас­

положенного в точке О, будут (0, 0), атома в точке X — (1, 0), в точке Y — (0, 1), в точке А — (1, 1). Координаты атома, рас­ положенного в точке О' , можно получить, проведя через О' линии, параллельные осям, и измерив отрезки, отсекаемые на осях этими линиями. Проделав это, получаем для точки О' координаты (7 3, 2/ 3). Для полного описания элементарного параллелограмма (т. е. позиций атомов в нем) достаточно дать только координаты атома, расположенного в начале координат, т. е. (0, 0), и коорди­ наты атома в точке О'. Причина заключается в том, что атомы в точках X, А и Y имеют такое же окружение, как я в О, и каждый атом в позициях О, X , А или Y принадлежит сразу четырем ячей­ кам, встречающимся в этих точках. Общее число атомов, при­ надлежащих параллелограмму O XAY, равно двум: один атом — это О', который расположен целиком внутри параллелограмма; в точках О, Y , А и X расположены атомы, каждый из которых принадлежит четырем ячейкам, что дает еще 4 X Ѵ4 = 1 атом. Заметим, что минимальное число атомов, которое может содер­ жать элементарный параллелограмм в этой структуре, равно двум, так как атомы в нем располагаются в позициях двух различ­ ных типов с различным окружением.

При описании положений атомов в структуре на фиг. 1.1а мы выбрали в качестве элементарного параллелограмма O XAY. С равным успехом мы могли выбрать ОХТА. В выборе элементар­ ного параллелограмма или элементарной ячейки допускается определенный произвол. Но взять, например, NQPM для этой цели нельзя, потому что повторением этой ячейки нельзя полу­ чить полный узор структуры графита, поскольку окружение точек Q и Р не идентично.

Все атомы, расположенные в вершинах элементарного парал­ лелограмма O YAX на фиг. 1.1а, имеют идентичное окружение. Можно выбрать и отметить на чертеже все точки с окружением, таким же, как в О, Y , А и т. п. Этими точками являются N , Q, R , S и т. д. Ансамбль всех таких точек с окружением, идентичным выбранной точке, мы называем плоской сеткой (в двух измерениях)

*) При выборе элементарного параллелограмма или элементарной ячейки

занимают слегка различающиеся позиции по отношению к границам узора, можно тогда пренебречь.

или пространственной решеткой (в трех измерениях). Каждая из этих точек называется точкой или узлом решетки.

Дадим теперь формальное определение пространственной решет­ ки. Пространственная решетка — это такая совокупность точек в пространстве, окружение каждой из которых идентично окру­ жению всех остальных точек. Тип симметрии, находящий выраже­ ние в понятии решетки, называется трансляционной симметрией. Одна плоскость решетки кристаллической структуры графита, изображенной на фиг. 1.1а, показана на фиг. 1.16. Она представ­ ляет собой совокупность точек с идентичными окружениями [подчеркнем — совокупность точек (узлов), а не атомов]. На фиг. І.ів показаны различные примитивные элементарные паралле­ лограммы. Примитивным элементарным параллелограммом назы­ вается элементарный параллелограмм, который содержит всего один узел. Обычный элементарный параллелограмм для структуры графита, соответствующий O XA Y на фиг. 1.1а, выделен на фигу­ ре І.ів жирными линиями; на нем отмечены также соответствую­ щие оси координат.

Когда сетка не имеет ярко выраженной симметрии, в качестве примитивного параллелограмма выбирают параллелограмм с крат­ чайшими и по возможности близкими по размеру сторонами, а за угол у между осями х и у (если он не равен 90°) выбирают тупой угол. Однако всегда необходимо принимать во внимание симмет­ рию узора. Сетка, показанная на фиг. 1.16, обладает высокой сим­ метрией; поэтому можно принять стороны равными, т. е. а = Ь,

ж у = 120°.

Сравнение фиг. 1.1а и 1.16 ясно показывает, что начало коорди­ нат при описании решетки можно выбрать произвольно. Если бы мы выбрали в качестве начала координат О' вместо О и затем отметили все соответствующие точки на фиг. 1.1а, то получили бы идентичную решетку, которая отличалась бы от первой только началом координат. Таким образом, решетка представляет собой существенный элемент трансляционной симметрии кристалла неза­ висимо от того, какая точка была выбрана за начало коор­ динат.

Определение решетки для трехмерного случая будет совершен­ но таким же, как и для двумерного. Элементарная ячейка пред­ ставляет собой теперь параллелепипед, содержащий всего один узел. Начало координат выбирается в одной из вершин элементар­ ной ячейки. Стороны элементарного параллелепипеда принимают за оси координат кристалла х, у и z, при этом используется право­ винтовая установка. Углы а, ß и у между осями называются осевыми или координатными углами (см. фиг. 1.2). Наименьшие расстояния между узлами вдоль осей х, у и z обозначаются а, Ь и с соответственно и называются параметрами или периодами решетки.

Рассмотрим чертеж, изображающий расположение атомов в кри­ сталле хлористого цезия (фиг. 3.1, и). В этом случае решетка представляет собой ансамбль точек, где а = b = с и а = ß = ѵ = = 90°, так что элементарная ячейка является кубом. С каждым

г

Ф и г . 1.2. Обозначения параметров решетки.

а, Ь, с — периоды решетки; а, ß, у — осевые углы.

узлом связан один атом цезия или один атом хлора. Если мы выберем начало координат в центре атома цезия, тогда в элемен-

Ф и г. 1.3. Проекция элементарной ячейки структуры хлористого цезия вдоль оси z.

а — период решетки. Цифры указывают высоту

по оси z, на которой расположены центры атомов (за единицу длины выбран период с, равный в данном случае о).

тарной ячейке будет содержаться один атом цезия, имеющий коор­ динаты (0, 0, 0), и один атом хлора с координатами (1/2, Ѵ2, Ѵ2) х).

г) В русской литературе координаты точки принято заключать не в круг­ лые, а в двойные квадратные скобки. В соответствии с этим координаты атома хлора должны быть выражены как [[Ѵ2, Ѵ2, Ѵг]]. В данной монографии мы оставляем обозначения авторов (круглые скобки) как более простые.—Прим,

ред.

В каждом таком семействе линий расстояние между линиями определяется только величинами а и Ь (и углом между ними). Точно так же и угол между линиями этих двух семейств зависит только от отношения а/Ъ. Если наружные грани кристалла парал­ лельны 0"В и AB, угол между этими гранями будет единственным способом связан с отношением alb. Кроме того, этот угол будет независим от величины граней (фиг. 1.5). Это понимали уже древние кристаллографы, которые пришли к выводу о решетчатой

Ф и г . 1.5. Чертеж, иллюстрирующий независимость угла между гранями от величины граней.

структуре кристалла на основании наблюдений постоянства углов между соответствующими гранями. Этот закон постоянства углов гласит: во всех кристаллах одного и того же вещества углы между соответственными гранями постоянны.

Можно провести очень тесную аналогию между линиями в сет­ ке и плоскостями в решетке кристалла. Грани кристалла парал­ лельны плоскостям решетки, и наиболее важные плоскости решет­ ки характеризуются очень высокой плотностью узлов решетки. Плоскости решетки образуют бесконечное семейство равноотстоя­ щих друг от друга плоскостей, которые в совокупности проходят через все узлы решетки. Расстояние между отдельными плоско­ стями этого семейства определяется только периодами решетки и осевыми углами, а углы между различными плоскостями опре­ деляются только осевыми углами и величинами отношений перио­ дов решетки.

Введем теперь кристаллографические обозначения для различ­ ных семейств плоскостей решетки (фиг. 1.6). Пусть какая-либо плоскость решетки пересекает выбранные оси х, у и z соответствен­ но в точках А , В жС. Выразим отрезки, отсекаемые на осях этой плоскостью, через периоды решетки, например А = та, В = = пЪ, С = рс (отрезки отсчитываются от начала координат О). Возьмем числа, обратные т, п и р, приведем их к общему знамена­ телю и отбросим общий множитель. Полученные после этих опера­ ций величины называются индексами Миллера данного семейства плоскостей решетки. Например, плоскость, обозначенная Y на фиг. 1.7, отсекает на осях х, у и z отрезки, равные соответствен-