книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

Для того чтобы смещения, создаваемые этим чистым сдвигом, были бы идентичны тем смещениям, которые создаются простым

напряжений.

чистый сдвиг относительно осей координат, составляющих углы

Ох1, Ох2 и Ох3 (которые остаются неизменными) являются глав­ ными осями простого сдвига в их окончательном повернутом поло­

то этот сдвиг эквивалентен чистому сдвигу, отнесенному к осям, повернутым на угол я/4, наряду с вращением на у/2. Это стано­ вится очевидным при тщательном рассмотрении фиг. 5.8.

5.4. Напряжение

Когда атомы смещаются относительно своих равновесных положений в кристалле, возникают силы, которые стремятся восстановить их нормальное пространственное расположение. Если мысленно рассечь плоскостью напряженную область кри­ сталла, то окажется, что атомы, находящиеся по обе стороны от этой плоскости, действуют друг на друга с некоторыми силами. Такая сила, приходящаяся на единичную площадку плоскости, называется усилием, действующим на плоскость в данной точке. Эту силу обычно разлагают на нормальную и касательную ком­ поненты /п и fs, а соответствующие напряжения, нормальное

и касательное (тангенциальное), определяют как

(5.21)

(5.22)

Площадка 6 П около точки Р изображена на фиг. 5.8; вычисляя сумму ряда средних напряжений f/öA при 64, стремящейся к нулю, можно найти напряжение в точке Р. Это определение

z

(z)

имеет смысл, лишь если изменения сил около точки Р на расстоя­ ниях порядка межатомных не слишком велики.

Так же можно поступить для любой плоскости, проведенной через точку Р. Чтобы полностью определить напряжение в точке Р, достаточно знать напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через Р. На основании равновесия сил можно затем вычислить напряжение, действующее на любую другую плоскость. На фиг. 5.9, а показаны напряжения, действующие на грани бесконечно малого куба, находящегося

вточке Р , причем даны две эквивалентные системы обозначения.

Вобозначениях цифровыми индексами компонента бг;- — это

компонента в направлении оси zj напряжения, действующего на грань, нормаль к которой параллельна оси xt. Знаки выбирают­ ся так, что напряжение считается положительным, если компо­ нента силы и внешняя нормаль к грани, на которую действует это напряжение, обращены к одной и той же стороне оси, которой они параллельны. У обозначений с буквенными индексами схема та же, только сдвиговые (касательные) напряжения обозначаются

где k — направляющие косинусы нормали к плоскости АВС. Такие же уравнения получим для Р 2 и Р 3, а все три уравнения можно записать в компактной форме

Разлагая Р на две компоненты, нормальную и параллельную АВС, можем получить нормальное напряжение оп и касательное напряжение тп. Нормальное напряжение ап получается как сумма компонент P t, каждая из которых нормальна к АВС:

@п ~ Р І^І7

поэтому из (5.25) имеем

Разлагая силу на компоненты, получаем

Уравнение (5.25) показывает, что компоненты вектора Р, пред­ ставляющие собой действующие на плоскость напряжения, линей­ но связаны с компонентами единичного вектора, нормального этой плоскости. Значит, связывающие их коэффициенты Оц обра­ зуют тензор второго ранга. При повороте осей координат компо­ ненты данного напряжения преобразуются по общим законам преобразования:

где atj — косинусы угла между новой осью Oxt и старой осью Oxj. Уравнение (5.28) можно вывести и непосредственно из урав­ нения (5.25), если одну из новых осей провести параллельно нормали к плоскости АВС.

Поскольку тензор напряжений симметричен (оц = о;г-), всегда

ствуют напряжения сдвига. Это главные оси. В главных осях тензор напряжений принимает вид

при этом щ, а 2, Оз называются главными напряжениями.

В частных случаях тело может находиться в однородном напря­ женном состоянии, т. е. в каждой точке тела напряжение одно и то же. Если напряжение однородно, то на параллельные друг другу грани произвольно расположенных кубов действуют оди­ наковые усилия. Такие условия создаются при растяжении одно­

направлений Ох2 и Ох3 получаются два таких же уравнения, а все три уравнения равновесия можно записать в компактной форме

Повторение индекса і и в уравнении (5.30) означает сумми­ рование дифференциальных членов, получающихся, если под­ ставлять поочередно г = 1,2,3.

S

S

Ф и г. 5.12. Касательные напряжения в точке Р.

Приведем некоторые типы напряжений, имеющих важные значения для дальнейшего изложения материала. Для напряже­

Если оси координат повернуть против часовой стрелки на 45° вокруг оси Ох3, то компоненты напряжения принимают вид

Таким образом, главные напряжения в случае чистого сдвига представляют собой одинаковые (по величине) растягивающее и сжимающее напряжения, действующие на плоскости, повернутые на 45° по отношению к тем плоскостям, на которые действуют толь­ ко касательные напряжения (фиг. 5.12).

В случае общего напряженного состояния касательные ком­ поненты напряжений действуют на все плоскости, кроме плоско­ стей, нормальных к главным осям. Можно показать, что наиболь­ шее касательное напряжение действует на плоскость, разделяющую пополам угол между теми плоскостями, на которые действуют наибольшее и наименьшее из главных напряжений (фиг. 5.13). Если <?і < сг2 < сг3, то величина наибольшего касательного напряжения равна (а3 — ог±)/2 .

5.5. Упругость кристаллов

Если деформации очень малы, то в любой точке деформирован­ ного кристалла напряжение линейно связано с деформацией в той же точке. Это соотношение называется законом Гука. Физи­ ческий смысл закона Гука состоит в том, что при малых дефор­ мациях относительные смещения атомов малы, а межатомные силы действуют на столь малых расстояниях, что смещение можно считать в основном линейным. В большинстве твердых тел дефор­ мации действительно остаются малыми вплоть до значительных напряжений.

Мы видели, что и напряжение, и малую деформацию можно представить симметричными тензорами второго ранга, которые содержат по шесть независимых компонент. Линейная связь между напряжением и деформацией в общем виде записывается как

Такие же уравнения можно написать для всех остальных компонент напряжения. Все эти уравнения могут быть представ­ лены в компактной форме:

Константы Cijbi называются постоянными (константами) упругой жесткости или просто упругими жесткостями. Если у кристалла некоторые из сг^ г оказываются не равными нулю, следствия получаются довольно неожиданные. Например, если с4 і і 2

среде константы типа щ 4 4 2 равны нулю, но в монокристалле они, как правило, не равны нулю.

Если же в кристалле есть хотя бы одна компонента деформа­ ции, это может означать, что все компоненты напряжения не рав­ ны нулю.

Постоянные вцы называются постоянными (константами) упру­ гой податливости или просто упругими податливостями. Урав­ нение (5.35) означает, что в общем случае даже при наличии

Иными словами, деформации е4, е5, е6 (в сокращенной записи) совпадают с деформациями сдвига у, определенными в разд. 5.2, но не являются тензорными величинами. В определения stj тоже

Пользуясь этими обозначениями, запишем уравнение (5.35) в виде

в упруго деформированном теле, зависит только от величины деформации, но не зависит от пути, по какому была осуществлена деформация, следует, что ctj = сц. Если деформация тела воз­ растает на de;j, силы, действующие на единичный куб внутри этого тела, совершают работу dw, где

(Величина dw должна быть положительной, иначе деформирован­ ный кристалл не будет находиться в состоянии устойчивого рав­ новесия.) Чтобы вычислить энергию, обусловленную конечной деформацией, надо проинтегрировать уравнение (5.39). Допустим, что сначала задается деформация ех, а все остальные е,- равны нулю. Тогда совершенная работа, приходящаяся на единицу

объема, равна

ei Ei

Будем увеличивать е2. Работа при этом будет равна

c22e2ds2-j-J с2jCjde2= 1/2с228 з с 21е1е2. (5.41)

и

Полная энергия упруго деформированного тела получается равной

Такую же деформацию можно получить, задавая деформации ех и е2 в обратном порядке, что даст