книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

сания физического свойства необходимо знать три независимые компоненты тензора. В моноклинной системе одна из осей второго порядка характеристической поверхности должна быть парал­ лельна одной из кристаллографических осей второго порядка. Имеется четыре независимые компоненты симметричного тензора второго ранга, описывающего физическое свойство. Три из них — это длины полуосей характеристической поверхности, а четвер­ тая — угол между кристаллографической осью и главной осью характеристической поверхности в плоскости, нормальной к кри­ сталлографической оси симметрии второго порядка. В триклин­ ной системе, поскольку симметричный тензор второго ранга центро­ симметричен, а голосимметричный класс этой системы обла­ дает как раз центром симметрии, имеется шесть независимых компонент для любого свойства, которое можно описать сим­ метричным тензором второго ранга.

З а д а ч и

4.1. Определите понятие тензора второго ранга. Запишите два физиче­ ских свойства кристалла, которые можно описать симметричным тензором вто­ рого ранга, и для каждого из них установите те две физические величины, которые связаны этими тензорами. Для одного из наших примеров выпишите полностью уравнения соотношений между компонентами этих двух физиче­ ских величин и объясните все обозначения. Объясните физический смысл компоненты D 12 в тензоре коэффициента диффузии D.

4.2. Представляет ли совокупность atj в уравнении (4.3) компоненты тензора второго ранга?

4.3. Представьте в виде симметричного и антисимметричного тензоров следующий тензор:

4.4. Если а — симметричный тензор второго ранга, а л иЬ — векторы, то покажите, что

(о-п)-Ь = (сг-Ь)-п.

4.5.Кристалл обладает единственной осью симметрии четвертого порядка, параллельной оси z. Найдите необходимые соотношения между компонентами тензора второго порядка, описывающего физическое свойство этого кристалла, если тензор отнесен к осям, параллельным кристаллическим осям. Как вы согласуете ваш результат с характеристиками тетрагональных кристаллов

втабл. 4.2?

4.6. Докажите, что как симметричный, так и антисимметричный тензор не зависят от выбора осей.

Указание. Покажите, что если Тц = Т д , то и Тц = Тд.

4.7. а) Тензор электропроводности кристалла имеет компоненты

Выберите новые оси, повернутые на 60° вокруг х3 по часовой стрелке, если смотреть с отрицательного конца х3, и составьте таблицу направляющих косинусов между новыми и старыми осями, как в разд. 4.2. Проверьте, что сумма квадратов atj равна 1 в каждом ряду и в каждом столбце.

б) Выпишите компоненты тензора электропроводности по новым осям координат. Проверьте, что atj не изменился. Теперь тензор отнесен к главным осям.

в) Начертите сечение характеристической поверхности (т. е. в данном случае эллипсоида электропроводности) плоскостью х'3 = 0. Начертите радиу­ сы-векторы получившегося эллипса под углами 30 и 60° к х[ и найдите по ним значения электропроводности в этих направлениях.

г) Проверьте прямыми вычислениями результаты, полученные в п. в). д) Допустим, что электрическое поле Е напряженностью 1 В/см действует в направлении ОЕ под углом 60° к х, в плоскости х3 = 0. Выпишите компонен­

ты этого электрического поля по х[ по х'г и найдите по ним плотности электри­

шем чертеже [п. в)]. Вы увидите, что направление J совпадает с нормалью к характеристической поверхности, восстановленной в той точке, где ОЕ пересекает эту поверхность.

Этот результат является общим и называется свойством радиуса-вектора и нормали характеристической поверхности. Его можно сформулировать так.

Если Sij — компоненты симметричного тензора второго ранга, связывающего между собой векторы р и q, так что p t = S^qj, тогда направление р для задан­ ного q можно найти, проведя параллельный вектору q радиус-вектор OQ ха­ рактеристической поверхности и восстановив нормаль к этой поверхности в точке Q.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

1.Nye J. F., Physical Properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1957;

имеется перевод: Най Дж., Физические свойства кристаллов, ИЛ, М.,

1960; изд. 2, изд-во «Мир», 1967.

2. Page L., Introduction to Theoretical Physics, van Nostrand, New York, 1927.

3.Jeffreys H., Cartesian Tensors, Cambridge Univ. Press, 1961.

4.Wooster W. A., A Textbook on Crystal Physics, Cambridge Univ. Press,

1949.

5*. Жданов Г. С., Физика твердого тела, Изд-во МГУ, 1961.

6*. Желудев И. С., Физика кристаллических диэлектриков, изд-во «Наука»,

1968.

7*. Переломова Н. В., Тагиева М. М., под ред. М. П. Шаскольской, Задач­ ник по кристаллофизике, изд-во «Наука», 1972.

8*. Акивис М. А., Гольдберг В. В., Тензорное исчисление, изд-во «Наука»,

1969.

Сдвиг можно характеризовать как меру изменения угла между двумя прямыми линиями в теле, когда это тело деформируется. Сдвиг определяют следующим образом (фиг. 5.1, б). Если ОР и OR — две взаимно перпендикулярные прямые линии в неде-

•формированном состоянии, а 0' Р' и O'R' — положения соответ­ ствующих линий в деформированном состоянии, то деформация сдвига у, связанного, с этими двумя направлениями в точке О, выражается как

ниями можно пренебречь. Для упругих деформаций в кристалле это допущение вполне приемлемо, за исключением точек, отсто­

мированной области претерпевает одинаковое искажение. В гл. 6 , 1 0 и 11 нам придется иметь дело с большими однородными дефор­ мациями.

5.2. Бесконечно малая деформация

Искажение, или деформацию, .какого-либо тела можно опи­ сать, указав смещение каждой точки по отношению к ее положе­ нию в неискаженном состоянии. Любые смещения, которые не соот­ ветствуют трансляции или вращению тела как целого, создадут деформацию.

Ограничимся пока двумерными случаями и выберем фиксиро­

Рассмотрим теперь точку Q с координатами (xt + dxu х 2+ dx2), которая в недеформированном состоянии расположена бесконечно близко от Р. После деформации Q смещается в положение Q'. В деформированном теле смещение точки Q будет не точно таким же, как у точки Р. Вектор смещения от Q к Q' имеет компоненты

но деформации тела нет. Рассмотрим, к примеру, поворот жесткого тела на малый угол со (фиг. 5.4). Очевидно, здесь et 4 = е2 2 = О, но е12 = —со, а е2 t = со. Чтобы отделить компоненты вращения

Ф и г . 5.4. Поворот отрезков

PQi и PQ2.

Хл

от компонент ец, представим компоненты деформации как сумму антисимметричного и симметричного тензоров, так что

Ф и г . 5.5. Геометрическая интерпретация уравнения (5.8).

интерпретация уравнения (5.8) дана на фиг. 5.5. Необходимо заметить, что на фиг. 5.5 изменение угла между прямыми, кото­ рые в исходном состоянии пересекались под прямым углом, равно 2sj 2. Поэтому сдвиговая компонента тензора чистого сдвига е4 2 равна половине сдвиговой деформации у, определяемой уравне­ нием (5.2).

В трехмерном пространстве метод определения деформации таков же, как и в двумерном. Для определения девяти компонент тензора ец рассматривают изменения смещения и (= щ, и2, и3)

при изменении положения х (= xlt х г, х 3):

Диагональные компоненты Ең представляют собой изменения единичных отрезков прямых, параллельных осям координат,

0 + ег)

и называются деформациями растяжения. Недиагональные ком­ поненты измеряют сдвиговые деформации: например, 8 і 3 — это половина изменения угла между двумя прямыми, которые в недеформированном состоянии были параллельны осям Ох1 и Ох3.

Поскольку чистая деформация описывается симметричным тензором второго ранга, этот тензор можно отнести к главным осям (гл. 4). Тогда сдвиговые компоненты обращаются в нуль и остается

Геометрический смысл главных деформаций еІ5 е2 и е3 виден из фиг. 5.6, где показано, как единичный куб с ребрами, парал­ лельными главным осям, превращается в параллелепипед с реб­

Форму, в которую деформируется линия или поверхность, описы­ ваемая уравнением

можно определить, решая уравнение (5.15) для тІ5 х 2, х 3, выра­ женных через х[, х'2 и х'3, и подставляя затем полученные значе­ ния в уравнение (5.10). Можно показать, что любая однородная деформация, большая или малая, характеризуется следующими особенностями:

1.Прямые линии остаются прямыми линиями и в общем слу­ чае поворачиваются (причем все на один и тот же угол), укорачи­ ваются или удлиняются (все в одинаковом отношении). Плоскости тоже деформируются, оставаясь плоскостями.

2.Сфера деформируется в эллипсоид. Эллипсоид, в который деформируется сфера единичного радиуса, называется эллипсои­ дом деформации.

3.Осями эллипсоида деформации служат три взаимно пер­ пендикулярных диаметра единичной сферы, которые называются главными осями. Эти оси образуют единственную систему трех ортогональных направлений, которая после деформации остается ортогональной.

4.В недеформированном состоянии имеется один частный эллипсоид, который деформируется в единичную сферу. Он назы­ вается эллипсоидом единичных напряжений. Его осями служат

главные оси.

В общем случае при деформации главные оси поворачиваются. Деформация, при которой главные оси не поворачиваются, назы­ ваются чистым сдвигом. Однородная деформация вообще может происходить в два этапа: сначала чистый сдвиг, при котором главные оси сохраняют свои истинные размеры, а потом враще­ ние, в результате которого они занимают окончательные поло­ жения.

Всеми этими данными мы воспользуемся в гл. 11, где будет рассматриваться геометрия мартенситного превращения. Приве­

Главные оси Охх, Ох2 и Ох3 не поворачиваются, поэтому простое растяжение является чистой деформацией.