книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

160 Г л а в а 4

Тогда уравнения

Вернемся теперь к простому примеру электропроводности. Тензор электропроводности а і7симметричен, и если отнести его

Ф и г . 4.2. К выводу соотношения между векторами напряжен­ ности электрического поля Е и плотности тока J в кристалле.

к главным осям, то все ои = 0, кроме ох l5 сг2 2 и а3 3. Будем счи­ тать, что действует электрическое поле Е с компонентами [Е1 Е 2 0] по этим главным осям. Тогда

электропроводность по трем главным осям не одинакова, посколь­ ку не одинаковы значения ах х, о2 2, ст3 3.

162 Г л а в а 4

Результат, описываемый уравнением (4.24), полезно вывести еще одним способом. Допустим, что нам надо отыскать значение компоненты о[ х тензора электропроводности независимо от того, отнесен ли он к главным осям или нет. Компонента о[ х связывает напряженность электрического поля вдоль оси Ох[ с компонентой плотности тока вдоль той же оси Ох[. Поэтому если надо найти значение электропроводности в заданном направлении, зная компоненты тензора электропроводности, отнесенные к главным осям, то будем поступать следующим образом. Выберем новую систему осей координат так, чтобы ось Ох\ была параллельна интересующему нас направлению. Тогда компонента а[ х тензора электропроводности, отнесенного к этой новой системе коорди­ нат, даст нам искомое значение электропроводности в заданном направлении. Нас интересует только компонента сг( х, поэтому, чтобы написать совокупность величин ац для этого преобразова­ ния, достаточно знать только значения косинусов углов между Ох\ и главными осями тензора электропроводности Охх, Ох2 и Ох3.

cos ß и cos у. Воспользовавшись формулой преобразования (4.18), получим

Поскольку Oij отнесены к своим главным осям, все члены в (4.25)

Подставляя выражения для ах х, а4 2, % 3, получаем

°'і 1= сті 1 cos2 a -j- п2 2 cos2 ß + 0зз cos2

т. е. приходим к уравнению (4.24).

Совершенно очевидно, что точно тем же путем мы могли бы найти электропроводность в заданном направлении, даже если бы нам были заданы значения компонент тензора электропровод­ ности Oij, отнесенные не к главным осям. В общем случае в урав­ нении (4.25) в развернутом виде было бы тогда девять членов. В выводе формул (4.25) не содержится предположения, что ком­ поненты Оц отнесены к главным осям. Теперь можно сформули­ ровать, как находить свойство кристалла в заданном направлении.

Допустим, что заданы компоненты описывающего это свойство тензора Ти в осях {Охг, Ох2, Ох3). Выберем одну из осей вдоль интересующего нас направления. Пусть направляющие косинусы этого направления по отношению к осям (Охг, Ох2, Ох3) будут

и q, это равносильно тому, что мы выберем новую систему осей координат так, чтобы этим осям отвечала совокупность величин au, имеющая вид

Все а,j равны нулю, кроме тех, для которых і = /. Поэтому

ТИ— atiajjTtj — Tijt

поскольку

ai 1 a 2 2 — ' a 3 3 —1 .

Таким образом, мы оставили измеренные величины Р и q неизмен­ ными и произвели инверсию кристалла в центре симметрии. Такой же результат мы получили бы, если бы поменяли направле­ ния векторов Р и q на обратные.

Допустим теперь, что в кристалле есть ось симметрии второго порядка. Если мы измерим какое-то свойство кристалла вдоль какого-то направления, а затем повернем кристалл на 180° вокруг этой оси и снова измерим это свойство в том же направлении, должно получиться значение такое же, как и раньше. Это нала­ гает определенные условия на значения компонент симметричного тензора второго ранга Sij, описывающего это свойство. Чтобы

а значит, что у него шесть независимых компонент. Если теперь выберем новые оси, связанные со старыми поворотом на 180° вокруг оси Ох2, то физическое свойство от этого не должно изме­ ниться. Эти новые оси связаны со старыми осями следующей совокупностью величин ац\

выражаются через компоненты в старой системе осей как

Sij = aihanShl,

можно показать, что данный тензор симметричен (доказательство всегда основывается на термодинамических рассуждениях) *).

Как будет показано в гл. V, тензоры второго ранга, описываю­ щие напряжения и малые деформации, всегда симметричны. Если тензор симметричен, то такие члены, как ata2Tt 2 и а2аіТ2і, равны друг другу. Обозначим симметричный тензор через S tj (буква S должна напоминать, что тензор симметричен). На осно­ вании (4.27) имеем

S = a\SJ J ~f-a\S2 2 + а1$з з+ 2a1a25'i 2 + Z a ^ S i 3 -}- 2aza3Sz3. (4.28)

Если же Sij не только симметричен, но и отнесен к главным осям,

такой же вид, как общее уравнение поверхности второго порядка (квадрики) *2), записанное в полярных координатах, начало кото­ рых совпадает с началом выбранной нами системы координат. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

— = A cos2 а + В cos2 ß С cos2 у -f- 2D cos а cos ß -f 2І? cos а cos у + -f 2F cos ß cos a, (4.30)

где r — радиус-вектор, а cos а, cos ß, cos у — направляющие косинусы г по отношению к системе ортогональных осей. Если общая поверхность второго порядка отнесена к своим главным осям, то это уравнение принимает вид

т. е. выглядит так же, как уравнение (4.29). При перемене осей координат, к которым отнесена общая поверхность второго поряд­ ка, коэффициенты в уравнении (4.30) преобразуются совершенно так же, как компоненты симметричного тензора второго ранга. Поэтому зависимость данного физического свойства кристалла от направления, заданную уравнениями (4.28) и (4.29), можно

*) Можно показать, что все свойства, перечисленные в табл. 4.1, описы­ ваются симметричными тензорами второго ранга. Но в случае свойств, отно­ сящихся к явлениям переноса (например, электропроводность, теплопровод­ ность, коэффициент диффузии), для полноты доказательства нужно обращать­ ся к экспериментальным данным. Насколько известно авторам, для коэффи­ циента диффузии достаточно надежных данных пока нет.

2) Авторы пользуются термином «квадрика», который в отечественной кристаллографической литературе переводится всегда как «поверхность вто­ рого порядка» (см. Дж. Най, Физические свойства кристаллов, ИЛ, М., 1960,

стр. 31). — Прим. ред.

изобразить в трехмерном пространстве поверхностью, характе­ ризующей изменение свойства S в зависимости от направления.

Общая поверхность второго порядка может быть эллипсоидом, однополостным гиперболоидом или двухполостным гиперболои­ дом. Чтобы пояснить, как именно можно изобразить зависимость свойства S от направления в кристалле, ограничимся случаем, когда значения S y, S 2и в уравнении (4.29) или А, В и С в урав­ нении (4.30) положительны *). В этом случае поверхность второго

порядка, которую мы будем называть характеристической поверх­ ностью, представляет собой эллипсоид 2)* .

Обратившись к уравнениям (4.29) и (4.31), видим, что если построить эллипсоид, у которого величины главных полуосей

равны І / У Si, НУ S 2 и НУ S 3, как на фиг. 4.4, то обратная вели­ чина длины г любого радиуса-вектора этого эллипсоида (характе­ ристической поверхности) будет равна корню квадратному из вели­ чины свойства S в том же направлении. Обратимся к нашему примеру с электропроводностью. Если известны значения а1? а 2, а 3 компонент электропроводности по главным осям, то можно

Ч Если два из коэффициентов Sly S2, S3 положительны, а третий отрица­ телен, то характеристическая поверхность представляет собой однополостный гиперболоид; если два коэффициента отрицательны, а третий положите­ лен — это двухполостный гиперболоид. Если все три коэффициента отри­ цательны, характеристической поверхностью будет мнимый эллипсоид.

2) Для тензора, описывающего физическое свойство кристалла, имеет смысл рассматривать только положительные и действительные значения А ,

В, С, т. е. характеристическая поверхность никогда не будет гиперболоидом,

авсегда только эллипсоидом. — Прим. ред.

построить характеристическую поверхность электропроводности: если все аи- положительны, то это будет эллипсоид. Таким обра­ зом, если поле Е действует в каком-то направлении, то величину электропроводности в этом направлении найдем, проведя радиусвектор г в направлении Е, измерив величину г и взяв обратную величину корня квадратного из г.

Нетрудно теперь установить ограничения, налагаемые сим­ метрией кристалла на любое физическое свойство кристалла, опи­ сываемое симметричным тензором второго ранга. Симметрия физи­ ческих свойств кристалла подчиняется принципу Неймана, кото­ рый гласит: «Элементы симметрии физического свойства кри­ сталла должны включать в себя элементы симметрии точечной группы кристалла» *). Характеристическая поверхность показы­ вает, как меняется данное свойство в зависимости от направления, а симметрия характеристической поверхности является симмет­ рией физического свойства. Число независимых коэффициентов в уравнении характеристической поверхности [уравнение (4.30)1 равно числу независимых компонент тензора, описывающего данное физическое свойство, — уравнение (4.28). Рассмотрим симметрию характеристической поверхности, описывающей свой­ ство кристалла, принадлежащего какой-либо из групп Лауэ *2). Оказывается, что симметрия характеристической поверхности для симметричного тензора второго ранга определяется только сим­ метрией кристаллографической системы. Все эти результаты сведены в табл. 4.2.

Кубический кристалл должен иметь четыре оси симметрии третьего порядка. Характеристическая поверхность будет сферой, а значит, выбор осей координат для симметричных тензоров второго ранга, описывающих любое из свойств, перечисленных в табл. 4.1, не играет никакой роли. В отношении этих свойств кристалл является изотропным. У гексагональных, тригоналъных

и тетрагональных кристаллов имеются по две независимые компо­ ненты для свойств, приведенных в табл. 4.1, поэтому характери­ стическая поверхность должна быть поверхностью вращения вокруг оси симметрии соответственно шестого, четвертого или третьего порядков. В общем случае у характеристической поверх­ ности есть три взаимно перпендикулярные оси второго порядка. В ромбической системе оси характеристической поверхности должны совпадать с тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии второго порядкакристалла. В этом случае и для опи­

х) Принцип Неймана не утверждает, что симметрия фпаического свойства такая же, как симметрия точечной группы кристалла. Симметрия физического свойства часто выше симметрии точечной группы.

2) Здесь надо учитывать не классы симметрии, а именно группы Лауэ, потому что все свойства, описываемые тензором второго ранга, обязательно центросимметричны.