книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

100 Г л а в а 2

в кристаллах. До сих пор мы не касались сочетаний операций вращения (и инверсии) с трансляциями, если не считать кратких замечаний в разд. 1.5. Полное описание симметрии кристаллов включает описание того, каким образом все элементы симметрии распределены в пространстве. Это называется пространственной группой. Имеется 230 различных кристаллографических про­ странственных групп, и каждая группа дает полнейшее описание элементов симметрии, присутствующих в кристалле, обладающем этой пространственной группой.

Простые и инверсионные поворотные оси, возможные в кристал­ лах, обсуждались в разд. 2.4, а возможные трансляции — в раз­ деле 1.8. В описании тех способов, какими эти оси могут совмести­ мо сочетаться с трансляцией, и состоит описание возможных про­ странственных групп. Пространственные группы играют очень важную роль при расшифровке кристаллических структур. При обсуждении несовершенств в кристаллах они практически не ис­ пользуются, поэтому мы лишь очень кратко рассмотрим некоторые вопросы теории пространственных групп в связи с описанием кристаллических структур.

Прежде всего рассмотрим некоторые новые элементы симмет­ рии, которые встречаются в кристаллах.

Если повторение объекта в кристалле происходит путем пово­ рота на определенный угол вокруг оси и одновременного переме­ щения (трансляции) в направлении, параллельном этой оси, операция симметрии соответствует наличию так называемой вин­ товой оси. Аналогичным образом повторение путем отражения в плоскости симметрии может сочетаться с компонентой трансля­ ции, параллельной этой плоскости, что дает плоскость скользящего отражения. Если в кристалле имеется, скажем, двойная ось симметрии, это означает, что некоторая структурная единица, или мотив, располагается вокруг этого направления так, что повторяется при повороте на 180° вокруг этой оси. Конфигурация, показанная на фиг. 2.40, а, соответствует простой поворотной оси симметрии второго порядка. Однако поворот на 180° может соче­ таться с трансляцией на половину периода повторяемости решет­ ки в направлении оси, что дает винтовую ось второго порядка, показанную на фиг. 2.40, б; она обозначается символом 2Х. Транс­ ляция на t!2 по величине того же порядка, что и периоды решетки кристалла, т. е. порядка нескольких ангстрем (1 0 -8 см), и поэтому ее совершенно невозможно обнаружить невооруженным глазом. Операция повторения под действием плоскости скользящего отра­ жения показана на фиг. 2.40, в. Снова величина трансляции будет порядка периодов решетки. В макроскопических свойствах кри­ сталла, обладающего осью 2 1; например, в его огранке или в ани­ зотропии его некоторых физических свойств, должна, следова­ тельно, проявляться простая двойная ось, а не 2Х. Аналогично

плоскость скользящего отражения на фиг. 2.40, в будет прояв­ ляться макроскопически как обычная плоскость симметрии.

Хотя наличие винтовой оси, скажем второго порядка, как на фиг. 2.40, б, указывает на существование идентичных атомных мотивов, расположенных вокруг этой оси так, что они связаны поворотом с одновременной трансляцией, не следует думать, что действие винтовой оси смещает вектора трансляции решетки.

Винтовая ось и простая поворотная ось одного и того же порядка п повторяют трансляцию одинаково. Отсюда следует, что поворот­ ные компоненты винтовой оси могут быть только 2я/1, 2я/2, 2я/3, 2я/4 и 2я/6 и что винтовые и простые поворотные оси гс-го порядка должны быть расположены одинаково относительно одинаковых групп трансляций. Углы между винтовыми осями и между винто­ выми и простыми поворотными осями должны быть, следователь­ но, такими же, как допускаемые в сочетаниях простых осей сим­ метрии (табл. 1 .2 ).

Для отыскания возможных совместимых сочетаний операций вращения и трансляции можно исходить из какой-либо точечной группы и ассоциировать элементы симметрии этой точечной группы с каждым узлом решеток, совместимых с этой точечной группой.

Возможные типы винтовых осей приведены в табл. 2.2. Винто­ вая ось порядка nN соответствует повторению объекта при поворо­ те на 360°/п с одновременной трансляцией на tN/n, где t — вектор повторяемости решетки в направлении оси. Имеется пять типов шестерных винтовых осей. Например, 6 Хозначает поворот на 60°

А - Л

и трансляцию на t/6, а f>5 соответствует повороту на 60° и трансля­ ции на 5t/6. С помощью схемы легко показать, что оси 6 Х, 415 6 2, эквивалентны осям 6 5, 43, 6 4 (соответственно) с противоположным направлением захода винта, т. е. правовинтовая ось (ц равноценна левовинтовой оси 65 и т. д. На фиг. 2.41 приведена схема для случая осей Зх и 32. Здесь А я А ' — узлы рассматриваемой решет­ ки. Операция Зх (фиг. 2.41, а) пусть будет правой. Заметим, что, когда объект преобразуется симметричным действием оси 32, он попадает и на высоту 4/ 3 и на высоту Ѵ3, так как точки А я А ' обе — узлы решетки, а узор тянется бесконечно в направлении, параллельном А А '. Необходимо также отметить, что винтовые

оси 42 и 6 3 равноценны чисто поворотным осям 2 и 3 соответст­ венно, а оси 6 2 и 6 4 содержат поворотные оси второго порядка.

Плоскости скользящего отражения называются координатными плоскостями в том случае, если трансляция, параллельная зер­ кальной плоскости, параллельна какой-либо из осей элементарной ячейки и равна Ѵ2 периода решетки в этом •направлении. Коорди­ натные плоскости скользящего отражения обозначаются симво­ лами а, Ъ или с соответственно направлениям трансляции. Диаго­ нальные плоскости скользящего отражения (или клиноплоскости)

включают трансляцию на Ѵ2 диагонали грани или объемной диаго­ нали (последнее — в тетрагональных и кубических кристаллах)

иобозначаются символом п. Существует еще один тип диагональ­ ных плоскостей скольжения — так называемые алмазные пло­ скости со скольжением на Ѵ4 диагонали грани, а в тетрагональной

икубической системах — также на Ѵ4 объемной диагонали эле­ ментарной ячейки. Эти плоскости обозначаются символом d.

Символ пространственной группы показывает, что простран­ ственные группы получаются, если совместить элементы сим­ метрии точечной группы с каждым узлом соответствующей решет­ ки Бравэ. Так, РтЗт означает гранецентрированную кубическую решетку, с каждым узлом которой ассоциируется точечная группа тЗт\ PQglmmc означает гексагональную примитивную решетку, которая выводится из PQImmm путем замены шестерной поворот­ ной оси винтовой осью 6 3, а одной из зеркальных плоскостей плоскостью скользящего отражения с. Точечная симметрия групп

Р63/ттс и Р&Іттт одинакова. Симметрия точечной группы любо­ го кристалла выводится непосредственно из символа пространст­ венной группы заменой в нем винтовых осей соответствующими

простыми поворотными осями и плоскостей скользящего отраже­ ния зеркальными плоскостями.

Распределение всех элементов симметрии в 230 пространствен­ ных группах приводится в исключительно ясной форме в Между­ народных таблицах по рентгеновской кристаллографии [2 ].

На фиг. 2.42 приведены семнадцать двумерных пространствен­ ных групп (или групп плоской симметрии) в том виде, в каком они даны в Международных таблицах [2]. Мы кратко рассмотрим их сейчас для того, чтобы проиллюстрировать некоторые моменты, затронутые выше в данном разделе. Если читатель сумеет хорошо понять плоские группы, то разобраться в таблицах трехмерных пространственных групп ему не составит труда.

Пространственные группы получаются приложением симмет­ рии точечных групп к конечным решеткам, причем принимается во внимание возможность трансляционной симметрии. В двух измерениях имеется пять решеток, или плоских сеток; они пока­ заны на фиг. 1.15. Мы обозначим символом р примитивные и символом с центрированные решетки. Обозначения осей и пло-