книги из ГПНТБ / Келли А. Кристаллография и дефекты в кристаллах

т. е. третий индекс всегда есть отрицательная сумма первых двух. На фиг. 2.30, б индексы некоторых полюсов даны как в обозна­ чениях Миллера — Браво, так и Миллера. По проекции видно, что если пользоваться индексами Миллера — Браво, то явно видна гексагональная симметрия: индексы граней одной и той же простой формы оказываются одинаковыми.

Система Миллера — Браво применяется также и для обозна­ чения направлений в гексагональных кристаллах, так что индексы

Ф и г . 2.31. К выводу соотношения между индексами h, к и г

в четырехиндексной системе обозначений для кристаллов гекса­ гональной системы.

направлений имеют вид [uvtw] вместо [uvw\. Требуется известная осторожность при преобразовании четырехзначных индексов в трех­ значные. Для того чтобы направления данного семейства имели индексы одинакового вида, при индицировании направлений идут от начала координат поочередно вдоль осей х, у и и от узла к узлу и подбирают путь так, чтобы число шагов вдоль оси и было равно алгебраической сумме шагов вдоль осей х и у; тогда величина индекса t будет равна сумме (и + ѵ) с обратным знаком. Направление, соответствующее оси х на фиг. 2.32, будет в этом

случае иметь символ [2110] в четырехиндексной системе обозна­ чений и [100] в трехиндексной системе. Необходимо отметить, что величину третьего индекса Миллера — Брава нельзя получить непосредственно исходя из первых двух индексов трехиндексной тройки, как в случае плоскости. На фиг. 2.32 даны индексы некоторых направлений, выраженные обоими способами. При расчетах, например, с помощью уравнений (1.4) и (1.5), обычно лучше работать целиком в трехиндексной системе обозначений

как для плоскостей, так и для направлений и переводить трехиндексные обозначения направлений в четырехиндексные в конце расчета.

Четырехиндексная система обозначений плоскостей и направ­ лений очень широко используется при описании и вычислениях гексагональных и тригональных кристаллов.

Теперь рассмотрим другие точечные группы гексагональной

•системы, показанные на фиг. 2.24. Заметим, что вследствие исполь-

Ф и г. 2.32. Символы некоторых направлений гексагонального кристалла в трех- и четырехиндексной системе обозначений.

•зования инверсионно-поворотных осей для описания симметричных операций второго рода класс 6 (= 3 т) попадает в гексагональную

систему. В классах 6, 6, 6/т и 6тт отсутствуют двойные оси. В классе 6тт оси кристалла обычно выбираются таким образом, чтобы они были перпендикулярны плоскостям симметрии одного из двух имеющихся семейств (тогда они лежат параллельно пло­

скостям симметрии второго семейства). Класс 6/п2 можно иначе

представить как 6т (= 3 Ітт). В этом классе автоматически возникают двойные оси; они выбираются в качестве кристалло­ графических осей. Класс 622, конечно, имеет двойные оси. Он может быть представлен как 62, поскольку второе семейство

двойных осей возникает автоматически. За координатные оси кристалла выбираются направления, параллельные двойным осям одного из семейств. Центр симметрии имеется только в классах

%!т и 6/ттт.

Для построения стереографических проекций и отыскания соотношений между полюсами плоскостей и отношением периодов решетки (da) в гексагональной системе находят угол между

Ф и г. 2.33. Нахождение угла между гранями (0001) и (hh2hl).

гранями типов (0001) и (hh2hl), например (1121). Грани типа (hh2hl) выбирают потому, что они одинаково наклонены к осям х

Иногда используется грань (hOhl), например (1011). Угол между

(0001) и (hOhl) равен arctg [(da) (2/]/3) (hll)]. Простые формы раз­ личных классов гексагональной системы приведены в табл. 2.3.

2.9. Тригональная (ромбоэдрическая) система

Для этой кристаллографической системы характерно наличие единственной оси третьего порядка. Тригональная система очень сходна с гексагональной системой. Наличие единственной тройной оси у кристалла не указывает само по себе, является ли данная решетка, рассматриваемая как система узлов, истинно гексаго­ нальной или она базируется на ступенчатой упаковке правильных

треугольных сеток. В обоих случаях можно использовать элемен­ тарную ячейку типа показанной на фиг. 1.19, л (если решетка гексагональная, тогда эта ячейка, конечно, будет непримитивной). Ячейка, приведенная на фиг. 1.19, л, представляет собой ромбоэдр, и угол а (<120°) является характеристикой вещества. Элементы

симметрии голоэдрического класса Зт показаны на фиг. 2.24, где приведена также стереографическая проекция, которая полу­ чается, когда элементы симметрии действуют на один пользе.

Ф и г . 2.34. Стереографическая проекция тригонального кри­ сталла класса 3т.

В тех случаях, когда полюса верхней и нижней полусфер на проекции сов­ падают, индексы относятся к полюсам верхней полусферы.

Наличие оси 3 и трех плоскостей симметрии, проходящих вдоль этой оси, автоматически приводит к появлению трех двойных осей; они проходят перпендикулярно тройной оси и не лежат в пло­ скостях симметрии. Если для такого кристалла используется ромбоэдрическая ячейка, координатные оси кристалла нельзя выбрать так, чтобы они были параллельны основным оеям сим­ метрии. На фиг. 2.34 показана стереографическая проекция тригонального кристалла, индицированного на основе ромбо­ эдрической элементарной ячейки. Угол а равен 98°; оси х, у и z выбраны так, что они лежат в зеркальных плоскостях, а инверсион­ ная тройная ось является объемной диагональю ячейки и, следова­ тельно, лежит вдоль направления fill]. Ясно, что оси х, у и z, т. е. направления [100], [010] и [001], не проходят перпендикуляр-

но плоскостям (100), (010) и (001) соответственно. Однако место­ положение этих направлений легко найти на проекциях, так как ось z [001] является полюсом зоны, содержащей (100) и (010), ось у — полюсом зоны, содержащей (100) и (001), а ось х — полю­ сом зоны, содержащей (001) и (010). Заметим, что угол у между любой осью кристалла и единственной осью третьего порядка дается выражением

(см. задачу 2.7); это выражение пригодится при вычерчивании стереографических проекций тригональных кристаллов по задан­ ному значению угла а.

Ф и г . 2.35. Тот же кристалл, что и на фиг. 2.34. Обозначения полюсов даны в четырехиндексной системе (использована гекса­ гональная элементарная ячейка).

В тех случаях, когда полюса верхней и нижней полусфер на проекции совпадают, приведенные символы относятся к полюсам іверхней полу­ сферы.

Во многих случаях при рассмотрении тригональных кристал­ лов гораздо удобнее использовать гексагональную ячейку. Форма выбираемой в этом случае элементарной ячейки точно такая же, как и для гексагональных кристаллов (фиг. 1.19, к), и, поскольку выбирается она безотносительно к решетке, может быть примитив­ ной или непримитивной. Характеристикой вещества при таком выборе ячейки служит отношение da. На фиг. 2.35 показана

стереографическая проекция кристалла класса 3т с гранями, индицированными по Миллеру — Бравэ. Это тот же самый кри­ сталл, что и на фиг. 2.34 (с/а = 1,02). Если пользоваться гекса­ гональной ячейкой, то оси х, у и и проводят вдоль осей второго порядка. Соотношение между индексами на этих двух проекциях можно легко вывести по правилу сложения зон и уравнению (1.11). На фиг. 2.34 и 2.35 ориентационное соотношение ячеек таково:

(0001) II (111) и (1011) И(100). Тогда плоскости (1010) на фиг. 2.35

соответствует плоскость с индексами (211) на фиг. 2.34. Индексы

Ф и г. 2.36. Соотношение между ромбоэдрами типа {hOhl}

и{0ккі} в тригональном классе 3т.

(211)можно получить, замечая, что плоскость (211) параллель­

на направлению [111], равнонаклонна к осям у и z и лежит в зоне, содержащей плоскости (111) и (100). Построение стереографиче­ ской проекции и определение осевого отношения da для тригонального кристалла, рассматриваемого в гексагональных осях, производится так же, как и в гексагональной системе *).

В классе 3т частными являются простые формы, грани которых лежат перпендикулярно тройной оси: {0001}; параллельно тройной

оси: {hkiO}; перпендикулярно зеркальным плоскостям: {hOhl} и под равными углами к двум двойным осям: {hh2hl}. Шесть граней формы {höhl} образуют ромбоэдр, например {1012}. Эта форма

имеет такой же внешний вид, как и {0ккі}, которая также является ромбоэдром, но повернутым на 60° относительно первого. Соотно­ шение между этими ромбоэдрами показано на фиг. 2.36. Это совер­ шенно самостоятельные формы, и обе являются частными. Поэтому

к списку частных форм, кроме {höhl}, добавляем {0ккі}. Фиг. 2.34

*) Соотношение между двумя ячейками, показанными на фиг. 2.34 и 2.35, поясняется на фиг. A4.2, а (приложение 4), где рассматриваются общие мето­ ды преобразования индексов плоскостей и направлений одного и того же кри­ сталла при различном выборе элементарных ячеек.

m

I

I m

Ф и г . 2.37. Элементы симметрии голоэдрического класса 2/т моноклинной системы.

а

Ф и г . 2.39. Построение стереографической проекции кристалла триклинной системы.

а — часть проекции; б —■углы, образуемые плоскостью (hhl) с осями

X, у и z и гранями (100), (010) и (001).

Эти соотношения и правило сложения зон, рассмотренное на стр. 82, позволяют вывести дополнительные грани и, следовательно, начертить полную проекцию. Уравнения (2.6) можно также использовать для нахождения осевых отношений и осевых углов по экспериментально измеренным углам между плоскостями.