книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

+ 2

= 0;

X — Зу — 14 = 0 и х +

*/—

2 = 0; 3) 4л: — Зу — 17 = 0,

7х +

г/ —

61 =0 и X — 7у — 73

—0.

окружности

одна

и та

же:

а = 3.

Подставив в уравнение (3.2) дан­

ные

величины,

найдем

ординату

центра окружности Ь:

(3 — З)2 + (0 — Ь)2 = 62;

6 * ± 6 ,

т. е.

имеем

два

центра

Оі(3;

6) и

0 2(3;

- 6 ) .

(х —З)2 +

(г/ — 6)2 =

62,

( X - 3)2 +

(у + 6)2 =

6^

или

*2 +

г/2- 6 х -

12^ + 9 = 0,

Рис. 45

X2 +

гу2 _ 6 х +

12 у + 9 = 0 .

291. Составить уравнение окружности, касающейся оси

ординат в точке

А (0;

4) и

имеющей

радиус

равный 5.

XII. Составление уравнения окружности,

касающейся оси

абсцисс (ординат) и проходящей

через

две данные точки

292. Составить уравнение окружности, касающейся оси

ординат и проходящей

через точки Л (4;

5) и 13(18; —9).

Ре ш е н и е .

Пусть

центр

искомой

окружности будет

в точке Оі (а;. Ь)

(рис.

46). Проведем радиус в точку каса-

У (а_ 4)* + (6-5)* = |а|;

V { а -

18)2 + (6 + 9)2 = I а |.

После возведения в квадрат и упрощений, имеем

62-

і0 6 - 8 а + 41 ==0,

62 +

186 - 3 6 а + 405 = 0.

Решив систему, найдем: 61 = 21, 62 = —3 и аі = 34,

0 2(Ю;

—3)

и

два ра­

диуса

гх = 34

и

г2— 10.

Таким образом

условию

задачи

удовлетворяют

две окружности:

осей

координат

и проходящей через точку А (18; —4).

Р е ш е н и е .

Центр искомой

окружности,

касающейся

осей

координат

и,

проходящей

через точку

четвертого

координатного угла,

будет иметь координаты ОЦа; —а),

где а+> 0. Радиус окружности г —а (рис. 47).

После возведения в квадрат и

упрощений, получим а2 —

— 44а + 340 = 0, откуда аг— 34,

а2 = 10.

Имеем два

центра 0x134;

—34) и 0 2(10; —10) и два

радиуса гх = 34

и г2=10.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две

окружности:

(х — 34)2 + (г/+

34)2 = 342,

Замечание. Так как

окружность проходит через точку первого

координатного угла, координаты

ее

центра будут Ог (а; а) ( а > 0).

XIV.

Составление уравнения окружности,

проходящей через две данные точки и имеющей центр

на оси абсцисс (ординат)

296. Составить уравнение

окружности, проходящей

через точки Л (8; 5)

и В (— 1;

—4) и имеющей центр на

оси абсцисс.

1~й способ.

Пусть центр окружности есть

Решение .

точка Ох (а; 0),

тогда

ОхЛ = ОхВ.

х2-\-у2 — 8х — 25 = 0.

2-й

способ.

План

решения:

1)

найти

координаты

точки

С — середины

отрез­

ка AB (рис. 48); 2) вы­

числить

угловые

коэффи­

циенты

прямых

AB

и

СОі,

3) составить уравнение

пря­

мой СОх, 4) найти коорди­

наты точки

пересечения пря­

мой СОх и оси абсцисс

(решить систему

уравнений);

5) найти

радиус

окруж­

ности и составить ее урав­

нение

і +

8+ (—U

7

1)

*с:

Уа + Уц

п П

2

Ог Ус '

5-М—4)

1

1\

2

2 ’

° , 2 ’ 2

оч

а

_ У в ~ У а

- 43~5 5

1

кАВ~

1^ Г

л =

= Т = 8 ~ 1' кс° > - ~ т а

-

1 ;

3 )

У — Ус = кс0і(х — Хс), у-

1 (JC —

или х+

+ ÿ —4 = 0;

4)

(

х + у- ■4 = 0,

,

I £/= 0

(уравнение

оси

абсцисс);

х = 4,

У = 0;

Ох(4;

0);

_

5)

r = 0 /

= /4 1 ;

(х — 4)2 -\-(у — О)2 = ( / 4Ï)2

или х2 +

297.

Составить

уравнение

окружности,

проходящей

через точки А (3; 7)

и В (5;

—1) и имеющей

центр на оси

ординат.

XV.

Составление уравнения окружности,

проходящей через две данные точки,

если центр ее лежит на данной прямой

298.

Составить

уравнение

окружности,

проходящей

через точки А ( 5; 7) и В ( —2; 4), если центр ее лежит на

прямой 4х + 3у— 18 = 0.

геометрии известно, что центр

Решение .

Из

курса

искомой окружности лежит

на

перпендикуляре СОі, про­

веденном

через

середину

хорды AB (рис. 49). Из ус­

ловия

задачи

следует,

что

центр этой окружности

ле­

жит

на

данной

прямой.

Поэтому

для

нахождения

центра окружности

доста­

точно решить систему урав­

нений перпендикуляра СОі

и данной

прямой.

1-й способ. План реше­

ния:

1) найти

координаты

точки

С

середины

отрез­

ка

AB ; 2) вычислить угло­

А В и

СОі,

3)

вые коэффициенты прямых

составить уравнение

СОі;

4)

решить

си­

стему

уравнений прямой СОі и данной прямой;

5) найти

радиус г = ОіЛ

искомой окружности

и составить

ее урав­

нение.

5 + (-2 )

3

1) *с

Х А +

Х В

Ус—

УА+Ув _

7 +

4 _

2

2

~

2 ’

2

2

2)

клв

Уа - У в

7—4

3

1

7

х А

ХВ

5 - ( —2) =

Т ‘

3 ;

3)

У —Ус = kCOl (х — Хс),

у —~

или 7л:ф-

-)- Зу — 27 = 0;

7х + 3г/ —27 = 0,

4дг +

3г/— 18 = 0, х — 3,

у —2-, Ох (3;

2);

5)

г — 0 ХЛ_= У (5 — З)2 + (7 — 2)2 = 1/^29;

(х - 3 )2 +

+ (у — 2)2 == (|/2 9 )2 или х2+ і/2 —6х —4у — 16 = 0.

2-й способ. Пусть центр искомой окружности

точка

Ох (а;

6),

ОхЛ и Oxß — радиусы этой окружности;

следо­

вательно,

C+4=O xß:

V ( a - 5 ) 2 + (b~T)2= К (а + 2)* + (6 - 4)Ѵ

После упрощений имеем:

7а + 36 —27 = 0. •

Центр

искомой окружности лежит на

прямой

4х +

+ 3г/ — 18 = 0, следовательно,

координаты центра окруж­

ности удовлетворяют этому уравнению:

4а+ 36 — 18 = 0.

Решив систему уравнений

Г 7а+ 36 —27 = 0,

[ 4а+ 36— 18 = 0,

получим: а = 3, 6 = 2; Ох(3; 2).

Вычисление радиуса

и составление уравнения окруж­

ности

выполняется так

же,

как и в первом способе ре­

шения.

через точки А (—8;

3) и В (2;

—7),

если центр ее лежит

на прямой х + 4#+16 = 0.

окружности,

проходящей

300.

Составить

уравнение

через точки М (3; 2) и N (—1; —6),

если центр ее лежит

на прямой, пересекающей

оси координат в точках А (2; 0)

и 5(0;

—4).

♦

XVI.

Составление

уравнения

окружности

с центром в данной точке и

касающейся данной прямой

301.

Центр окружности

находится

в точке

Ох (—3; 1).

Составить уравнение окружности,

если

она касается пря­

мой 4х-\-Зу — 16 = 0.

Р еш ен и е .

Для

составления

уравнения

окружности

необходимо найти радиус.

Радиус,

проведенный в точку

1)

4* + Зг/—16 = 0,

k = — у ; k0tA = — \

| ,

2)

У — y o ^ k o M x —хог), У— 1 = - |( х + 3) или Зле —

1— 4г/+ 13 = 0;

3)

(4х + 3 у - 16 = 0,

(Зле — 4г/+ 13 = 0,

х — 1,.у = 4; Л (1;

4);

4)

г = ОхЛ = ]/ (—3 —1)2 + (1 — 4)2 = 5;

(* + 3)*+ (у —

через начало

координат

и

пересекающей оси

координат

в точках Л (6;

0) и 5(0; 4).

Для

составления

уравнения

Реш ен ие .

1-й способ.

окружности надо найти

ее

центр

и радиус. Пусть центр

окружности лежит

в точке Оі (а; b),

тогда 0ХЛ = 0гВ

(рис. 51):

Ц ( а - 6 ) 2+

(6 - 0 )2 = j / ( a - 0 ) 2 +

(ö - 4 )2;

пересечения

перпендикуля­

ров

Ог (3;

2) — центр

иско­

мой окружности.

уравнение

Радиус

и

окружности

находятся так

же,

как

и

в

1-м

спо­

собе.