книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений
.pdfH. В. БОГОМОЛОВ
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
' ИЗДАНИЕ 2-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для средних специальных учебных заведений
1
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1 9 7 3 .
■ -
517
Б74 УДК 5
Богомолов Н. В.
Б74 Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов. М., «Высшая школа», 1973.
472 с. с илл.
Пособие является руководством к решению задач по всем разде лам программы .«Элементы высшей математики» для техникумов. Задачи, где это представлялось возможным, классифицированы по типам. По каждому новому типу приводится задача с решением и несколько задач, сходных по типу для тренировочных упражнений.
Основное назначение пособия помочь учащемуся техникума (в первую очередь заочного и вечернего отделения) самостоятельно, без помощи преподавателя, изучитьприемы решения задач по высшей математике, закрепить и углубить навыки в их решении.
Предназначено для учащихся техникумов, а также может быть полезным начинающим преподавателям математики техникумов при подборе упражнений для классных, домашних и контрольных заданий.
517
Р е ц е н з е н т :
доктор физ.-мат. наук, профессор H. М. Матвеев«
(§ ) Издательство «Высшая школа» 1973 г,
Решение задач по высшей математике у учащихся техникумов часто сопряжено со многими трудностями. Помочь учащемуся преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач по всем разделам курса «Элементы высшей математики» — основное назначение этого пособия.
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения, так как найти путь к реше нию задачи без помощи преподавателя или соответствую щего пособия учащемуся не под силу. Такие консультации по решению задач''учащийся и может получить в этой книге. '
Кроме задач с решениями, в пособии помещено доста точное количество тренировочных задач, которые можно использовать для классных и домашних заданий.
Второе издание пособия переработано и дополнено. Значительной переработке подвергалась глава «Производ ная», в которой изменено расположение материала и добав лены новые задачи. В пособие включены новые темы; наибольшее и наименьшее значения функции, интегриро вание рациональных дробей, длина дуги плоской кривой, площадь поверхности вращения, центр тяжести дуги плос кой кривой и центр тяжести плоской фигуры. Ко всем темам добавлены параграфы, содержащие «смешанные за дачи». В этих параграфах помещены примерные задания для контрольных работ в двух вариантах. В связи с этими
изменениями и дополнениями не представилось возможным сохранить прежнюю нумерацию задач,
Автор выражает свою глубокую признательность за мно гие полезные советы по улучшению содержания книги рецен. зенту заведующему кафедрой высшей математики Ленин градского университета доктору физико-математических наук, проф. H. М. Матвееву, преподавателю математики Ленинградского топографического техникума В. В. Дроздецкому, любителю математики машинисту экскаватора Токтогульской ГЭС (Киргизская ССР) А. А. Ткаличеву, а также всем лицам, приславшим свои замечания и реко мендации по улучшению пособия.
Автор.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
Г Л А В А I
МЕТОД КООРДИНАТ
Приступая к решению задач этой главы, учащийся должен уметь строить точку по ее координатам и нахо дить координаты данной точки. В задачах под выра жением «найти точку» понимается найти координаты этой точки.
§ 1. Расстояние между двумя точками на плоскости
Вычисление расстояния между двумя точками А {хА\ г/д) и В (Хв; ув), взятыми на плоскости, выполняется по фор муле
d = V (хА— хв)2+ (г/д — ув)2, |
(1 .1) |
где d —длина отрезка, соединяющего эти точки.'
Если один из концов отрезка совпадает с началом ко
ординат, а другой |
имеет координаты М (хм, Ум), то |
фор |
мула (1.1) примет |
вид |
|
|
ОМ = Ѵ х2м+у%. |
(1.2) |
I. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
1.Найти длину отрезка, соединяющего точки А (2; —5)
иВ ( —4; 3) ' (рис. 1).
Р е ш е н и е . В условии задачи дано: хл = 2; хв = —4; г/д = — 5 и ув = 3. Найти d.
Применив формулу (1.1), получим:
d = AB = V \ 2 - (—4)]2 + (—5 - З)2 = 10.
2. |
Чему |
равна длина |
отрезка, соединяющего точ |
||
ки: 1) |
Л (—1; |
2) и В (2; 6); 2) М (2; —2) |
и Л/(—4; 1). |
||
|
|
3. |
Определить |
длину |
отрез |
|
|
ка, соединяющего |
начало |
коор |
|
|
|
динат |
с точкой: |
1) А (3; —4); |
2)М (—5; —12).
4.Вычислить периметр тре угольника, вершинами которого служат точки:
1) А (4; 0), В (7; 4) и С ( - 4 ; 6):
2)А (6; 7), В (3; 3) и С (1;—5).
И.Вычисление координат точки, равноудаленной от трех данных точек
5.Найти точку Оь равно
|
|
удаленную от |
точек Л (7; —1), |
||
|
|
В (—2; 2) и С (—1; —5). |
за |
||
Рис. |
1 |
Р е ш е н и е . |
Из условия |
||
|
|
дачи |
следует, что ОхЛ — ОіВ = |
||
= ОхС. Пусть искомая точка |
Ох имеет координаты (а\ |
Ь). |
|||
По формуле |
(1.1) |
найдем: |
|
|
|
ОхЛ = Y(a —7)2jr(b-\- l)2;
01B = V(a + 2)*+ (b-2)*;
ОхС = Ѵ ( а + l)a + (ft + 5)*.
Составим систему уравнений:
К (а- 7 ) 2 + (0+1)2 = у (а+ 2)2+(& - 2 ) 2,
Ѵ > - 7)2+ (0 + 1 )2 = у (а+1)2 + (0 + 5)2.
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
(а - 7)2+ (Ь+ I)2 = (а + 2)2+ ф - 2)2,
(а - 7)2+ (Ь+ I)2 = (а + I)2 + (Ь+
Упростив, залипнем
(—За + 0 + 7 = 0,
\ —2 a - b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; Ь — —1.
Точка Ox |
(2; —1) равноудалена |
от трех данных точек, |
не лежащих |
на одной прямой. Эта |
точка является цент |
ром |
окружности |
проходящей через три данные точки |
|
(рис. |
2). |
|
коор |
6. |
Вычислить |
||
динаты точки Оъ |
равно |
||
удаленной |
от |
точек |
|
А (10; 7), |
В ( —4; |
—7) и |
С(12; - 7 ) .
7.Найти центр ок ружности, проходящей
через |
точки |
А ( —1; 9), |
|
|||||
В (—8; |
2), |
|
С (9, 9) |
и |
|
|||
длину |
ее |
радиуса. |
|
|
||||
III. |
Вычисление |
абсциссы |
|
|||||
(ординаты) |
точки, |
лежащей |
|
|||||
на оси |
абсцисс (ординат) |
Рис. 2 |
||||||
и отстоящей от данной точки |
||||||||
|
||||||||
на заданном |
расстоянии |
|
||||||
8. |
|
Расстояние |
от |
|
||||
точки |
|
В (—5; 6) до точ |
|
|||||
ки А, лежащей на оси |
|
|||||||
Ох равно |
10. |
Найти |
|
|||||
точку |
А. |
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е. Из усло |
|
|||||||
вия задачи следует, |
что |
|
||||||
ордината |
точки |
А |
ра |
|
||||
вна |
нулю |
и AB — 10. |
|
|||||
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А (а; 0). |
||||||||
По формуле |
(1.1) |
находим: |
|
AB = Y (а + 5)2 + (0 - б)2 = V(а + 5)2 + 36.
Получаем уравнение ]/(а + 5)2 + 36= 10. Упростив его, имеем
а2 + 10а —39 = 0.
Корни этого уравнения аг — — 13; а2 = 3. Получаем две точки Ау(—13; 0) и Л2(3; 0).
Проверка:
АуВ = У (—13 + 5)2 + (0 - 6)2 = 10.
А2В = У (3 + 5)2 + (0 — 6)2 = 10.
Обе точки удовлетворяют условию задачи (рис. 3.)
9. |
Точка |
М лежит на оси |
Ох. Расстояние от точки |
|||
М до точки |
5 |
(10; 5) равно 13. |
Найти точку |
М. |
||
10. |
Точка |
лежит на |
оси Оу. Расстояние |
от точки В |
||
до точки А (3; |
—1) равно |
5. Найти точку В. |
|
IV. Вычисление абсциссы (ординаты) точки,; лежащей на оси абсцисс (ординат), равноудаленной от двух данных точек
11.Найти точку на оси Оу, равноудаленную от точе
А (6; |
12) и В ( —8; 10). |
|
|
искомой точки, |
лежа |
|||
Р е ш е н и е . |
Пусть координаты |
|||||||
щей |
на оси Оу, |
будут Ох (0; Ь) |
(абсцисса точки, |
лежащей |
||||
|
|
на |
оси |
Оу, |
равна |
нулю). |
||
|
|
|
Из |
условия |
задачи |
сле |
||
|
|
дует, |
что ОіЛ = ОхВ. |
|
|
|||
|
|
|
По формуле (1.1) находима |
|||||
|
|
ОхА = >^(0 — 6)2 -Ь (^ — 12)2 = |
||||||
|
|
|
|
= V 36 + (ô — |
|
|
||
|
|
ОхВ = У (0 + 8)2 + (6 — ІО)2 = |
||||||
|
|
|
|
= |
]/64 + (k— ІО)2. |
|||
|
|
|
Имеем уравнение |
|
|
|||
|
|
|
|
V 36 + (ô — 12)2 = |
|
|||
|
Рис. 4 |
|
= |
]/64 + (è — 10)а или |
||||
|
|
36 + |
(b - 12)2 = 64 + |
(b - |
10)2. |
После упрощений получим: Ь —4 = 0, Ь — 4. Искомая точка 0і(0; 4) (рис. 4).
12. Вычислить координаты точки на оси Оу, равно удаленной от точек: 1) А (—4; 0) и В (—3; —7); 2) Л(—3;
—1) и 5(6; 2).
13. Найти точку на оси Ох, равноудаленную от точек: 1) Л (5; 13) и 5 (—12; —4); 2) Л (0; 6) и 5(2; —4).
V. Вычисление координат точки, равноудаленной от осей координат и от данной точки
14.Найти точку М, равноудаленную от осей коорди
нат и от точки Л (—2; 1).
Р е ш е н и е . Искомая точка М, как и точка Л (—2; 1), находится во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек Л, Рі и Р2 (рис. 5). Расстояния
точки М от осей координат равны, следовательно, ее коор
динатами будут |
(—а; |
а), |
где а > |
0. |
Из условия |
задачи |
следует, |
что МА = МРХ= МР2, |
|
МРх = а\ МР2— \—а\, |
т. е. |
|
||
\—а \ —а. |
|
находим |
|
|
По формуле (1.1) |
|
|||
МА = У (—а + |
2)2 + |
(а — I)2. |
|
Составим уравнение:
У (—а + 2)2 + ( а - I)2 = а.
После возведения в квад рат и упрощений имеем:
а2 — 6а + 5 = 0.
Решив уравнение, найдем
а3= 1 ; а2 = 5.
Получаем две точки Мі.(—1; 1) и М2(—5; 5), удов летворяющие условию задачи.
15.Вычислить координаты точки М, равноудаленной
от осей координат и от точки: 1) А (—8; —1); 2) Л (4; 2).
VI. |
Вычисление координат |
точки, |
равноудаленной на данное расстояние |
||
от оси абсцисс (ординат) и от данной |
точки |
16.Найти точку М, расстояние которой от оси орди
нат и от точки |
А (8; 6) равно |
5. |
|
Р е ш е н и е . |
Из |
условия |
задачи следует, что МЛ = 5 |
и абсцисса точки |
М равна |
5. Пусть ордината точки М |
|
|
|
равна Ь, тогда М (5; b) (рис. 6). |
|
|
|
По формуле (1.1) имеем: |
|
|
|
Ъ Ы |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
11 |
11 |
|
1 |
- |
|
|
А1 |
- |
|
|
1 |
“ |
* |
L |
|
|
|
||
|
J_1 I_I |
I I ' I |
Рис. 6
МА = У (5 — 8)2 + Ф — 6)2. Составим уравнение:
У ( 5 - 8 )2 + (6 - 6 )2 = 5.
Упростив его, получим: 52— 126 + 20 = 0.
Корни этого уравнения Ь3 = 2 и Ь2~ 10. Следовательно, имеем две точки, удовлетворяющие условию задачи: Мх (5; 2) и Ма (5; 10).