Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

По формуле (1.1) получим:

МА = У ( х - 6 ) 2 + У2 и МВ = У ( х - 2 ) 2+ у2

или

У( х - 6 ) 2 + У2 = З У ( х - 2 ) 2 + У\ (х - 6)2 + у2= 9 (X - 2)2+ 9у2.

После упрощений запишем:

X2+ у2— Зх —0.

250.Составить уравнение геометрического места точек

на плоскости, если расстояние каждой			из них от точки
		А (12; 0)		в	два	раза
		больше их расстояний от
		точки В (3; 0).
		251.			Составить урав
		нение		геометрического
		места точек на плоскости,
		сумма		квадратов		рас
		стояний которых от двух
		данных точек А (—6; 0)
		и В (6; 0) есть величина
		постоянная,			равная	104.
		Р еш ен и е . Из усло
		вия задачи			следует,	что
для любой точки М (х; у), принадлежащей геометрическому
месту точек,	справедливо	соотношение	М А2-\-МВ2 — 104
(рис. 37). По	формуле (1.1)	имеем:

МА = ]/(* + 6 )2 + У2, МВ = Ѵ ( х - 6 ) 2 + У2

или

(У(х + 6)2 + і/У + (■У(Х- 6 ) 2 + у2Т =104;

(X+ 6)2 + у2+ (X - 6)2 + у2 = 104.

После упрощений получим:

X2ф- у2= І6.

252. Найти уравнение геометрического места точек на плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек А (0; —2) и В (0; 2) есть величина постоян ная, равная 33.

253. Составить ypàBHeHHe геометрического места точек на плоскости, отношения расстояний которых от точки

Л (1; 0) и от прямой л;= 9 равно Я,= у .

Р е ш е н и е .		Из	условия		задачи	следует, что для	лю
бой	точки A4 (х; у)		геометрического			места точек справед
ливо	соотношение		МА	J_
(рис.	38).		MB	3
(рис.	38).	(1.1) имеем:
По формуле		(1.1) имеем:
МА -Ѵ(х- 1 )2+ У2,
MB = V { x - $ Ÿ + { y - y Y =
= фА(х — 9)2 = \| х —9 1.
Значение МВ			берем	по	абсолютной величине,		так
как длина отрезка есть число положительное:
		=	т ;	3 ] / (х — 1)3 + г/2 = IX —9 j.

Возведем левую и правую части в квадрат:

9 (х — I)2 + 9у2= IX — 9 !2.

После упрощений получим:

8х2 + 9г/2 = 72 или у + у = 1 .

254.Найти уравнение геометрического места точек на

плоскости,	отношения расстояний		которых			от	точки
	Л (3; 0)		и от прямой				х=12
		1		1
	равно A, = -g-.
		255.		Составить			уравнение
	траектории			точки		М,	кото
	рая	при своем движении по
	плоскости			остается			вдвое
	ближе от точки				Л (1; 0), чем
	от прямой X—4.					условия
		Р еш ен и е .			Из
	задачи		следует,		что	для лю
рического	бой	точки		М (х; у)			геомет
	места точек справедливо		равенство 2МА = МВ
(рис. 39).

По формуле (1.1) имеем:

МА = Ѵ ( х - \ ) * + 0 и МВ = У ( х - А ) 2 + ( у - у ) 2^

*=~\f(х — А)2 = \х — 4 I или 2]/(х — 1)2 + г/2 = ]х — 4 |.

Возведем левую и правую части в квадрат:

4 (х — I)2 + Ау2= (х — А)2.

После упрощений, получим
Зх2 + Ау2=12 или	= 1.

256. Составить уравнение траектории точки М, кото рая при своем движении . по плоскости остается втрое

дальше	от прямой у — 9, чем от точки А{0; 1).
257.	Составить уравнение геометрического места точек

на плоскости, если расстояние каждой из них вдвое ближе

к прямой лг=2,			чем к точке А (8; 0).
Р еш ен и е .			Из	условия	задачи		следует, что для лю-
бой точки М (х; у)				геометрического			места точек справед
				ливо равенство			2МВ = МА (рис.	40).
				По формуле (1.1) имеем
				МВ = Ѵ ( х ~ 2 )2 + (У - У ? =
					= Ѵ { х - 2 ) 2 = \ х - 2 \
				и MA = Ѵ(х —8)2 + ÿ2
				или
				2	■\ X — 2 \ — У(х —8)2 А- У2-
				После возведения в квадрат и
				упрощений		получим:
				Зх2 — г/2 = 48			или fg — f g = l .
258.		Найти	уравнение траектории точки М (х; у),					ко
торая	при своем движении				по	плоскости остается втрое
ближе	к	прямой х — \, чем к			точке А{9; 0).
259.		Составить		уравнение геометрического места точек
на плоскости,			равноудаленных			от	оси Ох и от точки
А (0; - 2 ) .


Р е ш е н и е .		Из	условия задачи		следует, что для лю
бой	точки М (х; у)			геометрического	места точек справед
ливо	равенство		М А = М В
(рис.	41).	(1.1)		имеем:
По формуле

МА = Ѵ х 2 + (У + 2)2; МВ — \у\ или

Ѵх*+(у + 2)*=\у\.

Возведя левую и правую части в квадрат и затем

упростив получим:

Рис. 41

х2 + 4у + 4 = 0.

260.Составить уравнение геометрического места точек на плоскости, равноудаленных от оси Оу и от точки А (3; 0).

261.Написать уравнение геометрического места точек

на плоскости,		равноудаленных от прямой у — 1				и от точки
А (0; - 3 ) .			уравнение геометрического места точек
262. Составить
на плоскости,		расстояние каждой		из которых		от прямой
			X — — 2	равно	расстоянию		от
			точки А (3; —4).				за
			Ре шен ие .		Из условия
			дачи следует, что для любой
			точки М (х; у)		геометрического
			места точек справедливо равен
			ство МА — МВ (рис.			42).
			По формуле		(1.1)	имеем:
			МА = К(х —3)2 + (г/+ 4)2
			и МВ = Ѵ (х + 2)* + (у - у)2=
			или	= \| х + 2 \|.
Рис.	42
			V(х - 3 )г+ ((/+ 4)3 = ]х + 2\|.

Возведя	левую		и правую части в квадрат и упростив,
получим:

у2 + 8 у - 1Ох+ 21 = 0 .

263. Составить уравнение геометрического места точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от точки А (—2; 3) и от прямой х = 4.

264. Найти уравнение геометрического места точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от прямой

у— —2 и от точки А (—3; 4).

265.Найти уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А(2; —1) все время равен квадрату расстояния ее от оси Ох.

266.Найти уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А (—3; 4) все время равен удвоенному квадрату расстояния ее от оси Ох.

Реш ен ие . Из условия задачи следует, что для любой

точки М (х, у) ее траектории справедливо равенство (МЛ)2 = 2 (МВ)2.

По формуле (1.1) имеем:

МА = + З)2 + (г/ — 4)2 и МВ — \у\

или

(1/(* + 3)2-Н у —4)2)2 = 2у2, (х + З)2 + (г/ — 4)2 = 2г/2.

После преобразований получим:

X2 — г/2 + 6х — 8у + 25 — 0.

267. Найти геометрическое место точек на плоскости, если абсцисса каждой точки геометрического места есть средняя пропорциональная между ординатой этой точки ' и длиной отрезка, соединяющего эту точку с точкой А (1; 0).

Реш ен ие . Напомним, что средним пропорциональным

чисел	а и b называется число т — 'УаЬ.		любой	точки
Из	условия задачи,	следует, что для	любой	точки
М (х;	у), принадлежащей	геометрическому	месту	точек,

справедливо равенство

ов= Ѵв м -ам,

ОВ = \х\, ВМ = \у |, АМ = Ѵ { х ~ 1)2 + г/2.

^Подставив эти значения в первое равенство, получим:

\ х \ ^ Ѵ \ У \ Ѵ ( х ~ 1 ) 2+ у2.

Освободив выражение от радикалов, после преобразо ваний запишем:

х2 = \у\	У ( х - 1)2 + у2; х= ^(х—1)2 + ^*
или	X4 —у* = у2(х— I)2.
*	X4 —у* = у2(х— I)2.

268.Найти геометрическое место точек на плоскости, если длина отрезка, соединяющего каждую точку геомет рического места с началом координат, есть средняя про порциональная величина между абсциссой этой точки и ее ординатой.

269.Найти уравнение геометрического места точек на плоскости, обладающих тем свойством, что угловой коэф фициент прямой, соединяющей точку геометрического места

сточкой А ( —1; —2), в три раза больше углового коэф фициента прямой, соединяющей эту же точку геометри

ческого места с точкой В (—4; 2).						лю
Реш ен ие .	Из	условия		задачи следует, что для		лю
бой точки М {х\	у),	принадлежащей геометрическому месту
точек, справедливо равенство kMA= 3kMB.
По формуле	(2.19)		запишем:
	kfAA		у+2	,	у—2
	kfAA		; + т :
			; + т :
Подставив значения kMA и кМв в равенство выше,						по
лучим:			У + 2 _ о У —2
			У + 2 _ о У —2
			х + 1	л г+4’
После упрощений			имеем:		*

2ху — Sx —у — 14 = 0.

270.Найти уравнение геометрического места точек на плоскости, обладающих тем свойством, что угловой коэф фициент прямой, соединяющей точку геометрического места

сточкой А (2; 3) в два раза меньше углового коэффици ента прямой, соединяющей эту же точку геометрического

места с точкой В (5; 1).

§ 17. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, удаленных на одинаковое расстояние (ра

диус) от данной точки (центра).			начале координат
Уравнение	окружности	с центром в
и с радиусом	г	у2 = г2.	(3.1)
	л:2 +

Уравнение окружности с центром в точке Ох {а\ Ь) и с ра диусом г

(х — а)2+ (у — Ь)г = г2.

(3.2)

Уравнение окружности общего вида
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0.	(3.3)
Частный случай уравнения окружности	общего вида
x2 + y2 + Mx-\-Ny + P = 0.	(3.4)
В уравнениях (3.1)—(3.4) х и «/— переменные коорди

наты-координаты любой точки окружности. В уравне

ниях (3.3) и (3.4) А, В,				С, D, М,		N и Р — постоянные
коэффициенты.		в виду,		что в частных случаях в урав
	Нужно иметь
нениях (3.3), а также			и	(3.4), в зависимости от положе
ния	окружности	относительно			осей	координат, каждый
из	коэффициентов	В,	С	или	D и	соответственно М, N

или Р в отдельности или одновременно два из этих коэф фициентов могут оказаться равными нулю.

В уравнении окружности (3.4) существует простая зависимость между коэффициентами М и N и координа тами центра окружности Ot (а; Ь):

м	(3.5)
а = —

Ь= -

атакже зависимость между Л4, N и Р и радиусом г окружности:

			Ѵі№-\-№— АР				(3.6)
			2				(3.6)
			2
(см. решение задачи 305).
	I. Проверка принадлежности данных точек данной окружности
и	271.	Проверить,	принадлежат	ли	точки	(2; 4),	(7;	1)
и	(0; 2)	окружности х2+ у2— 2л: — 4у = 0.				(—4;	3)	и
(5;	272.	Проверить,	принадлежат	ли	точки	(—4;	3)	и
(5;	0) окружности х2+ у2— 4х — 2у —35 = 0.

II.Составление уравнения окружности

сцентром в данной точке и с данным радиусом

273. Составить уравнение окружности с центром

в точке (Y ; — и с радиусом равным 2. Построить эту

окружность.

2 ’

Р е ш е н и е . Из условия задачи имеем:

ö =	1 , 3	0
ö =		и г = 2.

Подставив эти значения в уравнение (3.2), получим:

= 22.

После возведения в квадрат и переноса свободного члена в левую часть, получим уравнение окружности вида (3.3):

	1 %х2+		16#2 — 16х +
	4- 24*/ —51 = 0 .
	Построение			окружно
сти:		1)	строим		центр
окружности,				т. е.	точку
Оі	(у ;	-	~у,	2) из центра '
Ох радиусом равным 2 опи
шем окружность (рис. 43).
	274.		Составить			уравне
ние окружности с центром
в начале			координат и с ра				Рис. 43
диусом равным ]/3 .							Рис. 43
диусом равным ]/3 .						уравнение	окружности			с	центром
в	275.		Составить			уравнение	окружности			с	центром
в	точке		(—2;	—5)	и радиусом равным 3. Построить эту
окружность.
		111. Составление уравнения окружности						с центром
		в данной точке и проходящей через данную точку
	276.		Составить			уравнение	окружности			с	центром
в точке (5; —7) и проходящей через точку (2; —3).
	Ре ш е н и е .			Из	условия задачи видим,				что		радиус
искомой			окружности неизвестен. Его можно найти двумя
способами.				В уравнение окружности (3.2) подставим
	1-й	способ.		В уравнение окружности (3.2) подставим
координаты центра					(5; —7) и координаты данной точки
(2;	—3), вместо переменных координат х							и у.	Имеем:
			(2 — 5)2 + [—3 — (—7)]2 = г2; 9 +					16 = г2,
откуда		г = 5.

2-й способ. Найдем радиус как расстояние от центра окружности до данной точки ее, применив формулу (1.1):

г= Ѵ(2 -5 )* + [ - 3 - ( - 7)]* = 5.

Теперь в уравнение (3.2) подставим координаты центра и найденную величину радиуса:

( х - 5 ) 2 + [ у - ( - 7 ) ] 2 = 52.

Выполнив преобразования, получим

х2 + у2- 1(к+ 14у + 49 = 0.

277. Составить уравнение окружности с центром в точке (— 1; 4) и проходящей ч^рез точку (3; 5).

278. Составить уравнение окружности с центром в точке (—3; 0) и проходящей через точку (2; 4).

IV. Составление уравнения окружности по координатам концов диаметра

279.		Составить уравнение окружности, концы диаметра
которой		имеют координаты: 1) (0; 3) и (6; —7); 2) (—2; 3)
и (2;	5).
V.	Составление уравнения окружности по уравнению прямой,
	отрезок которой, содержащийся между осями координат,
			является диаметром окружности
280.		Составить уравнение окружности, диаметром кото
рой	служит		отрезок	прямой 4х-\-Зу— 24 = 0, содержа
щийся между			осями	координат.
281.		Отрезок прямой 5х — 4у + 40 = 0, содержащийся

между осями координат, служит диаметром окружности. Составить уравнение окружности.

VI. Составление уравнения окружности, имеющей центр в данной точке и проходящей через начало координат

282. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке: 1) (—2; 3); 2) (3; - 5 ) .

VII. Вычисление координат точек пересечения данной

. окружности с осями координат

283. Найти координаты точек пересечения окруж ности Зх2-\-Зу2— 18х— 10у — 48 = 0 с осями коор динат.

Р е ш е н и е . Окружность пересекается с осью абсцисс

в точках,	ординаты которых равны нулю. Приравняв у —О
в уравнении заданной окружности, получим:
Зх2 — 18х — 48 = 0 или			х2 — 6х — 16 = 0.
Решив	квадратное уравнение,		получим:
		хх = — 2; х2 = 8.
Следовательно,		окружность пересекается с осью абсцисс
в точках	(—2; 0)	и (8; 0).

Окружность пересекается с осью ординат в точках,

абсциссы которых равны нулю.	окружности, получим:
Приравняв х = 0 в уравнении
Зу2— 10*/ —48 = 0.
Решив это квадратное уравнение, получим:
8	0
Уі = — у ; 1/2 =	6.

Следовательно, окружность пересекается с осью ординат

в точках ^0; — -|-j и (0; 6).

284. Найти координаты точек пересечения окружности я2 + !/2 + 4х + */— 12 = 0 с осями координат.

VIII. Вычисление координат точек пересечения данной окружности с данной прямой

285. Найти координаты точек пересечения окружности х2 + у2 —4х + 2г/ — 29 = 0 и прямой х — у — 1 = 0.

Р еш ен и е . Для нахождения координат точек пересече ния окружности и прямой нужно совместно решить систему уравнений:

( х2-\-у2 —4х + 2*/ — 29 = 0,

I х — у— 1=0.

Корни этой системы:

Хі = — 3, Уі = — 4 и х2 = 5, у%—4.

Окружность и прямая пересекаются в точках (—3; —4)

и(5; 4).

286.Найти координаты точек пересечения окружности х2-{-у2 — Ъх— 2у — 8 — 0 и прямой 4х + 3*/ —19 = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ