Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

213

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 487 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Р е ш е н и е .		Найдем		точку, через которую проходит
искомая	прямая. Этой точкой (обозначим ее через С) явля
ется середина		отрезка AB:
			х А~^хв		— 2 + 4
	Ус	Уа +Ув		! + 4	5	г (,' 5 \
	Ус	2		~ 2	2 ’	2	'
Для	вычисления		углового коэффициента				искомой пря
мой найдем угловой			коэффициент прямой А В по формуле
(2.19):	■	и	Ув -і Уа
		и	Ув -і Уа		4 - 1	1
		АВ	ХВ	ХА	4 — ( — 2)	2-

отсюда угловой коэффициент искомой прямой будет к — —2. Поставив в. уравнение (2.17) значение к = —2 и коорди

наты точки С^І; y j , получим:

у—у = —г2 (х — 1) или 4л:+ 2# — 9 = 0.

213.Прямая проходит через середину отрезка, соеди няющего точки (—1; 4) и (3; —2), перпендикулярно к этому отрезку. Составить уравнение этой прямой.

214.Прямая проходит через середину отрезка прямой

Зх — 7г/+ 21=0, заключенного между осями координат, перпендикулярно к этому отрезку. Составить уравнение

этой	прямой.
	V.	Составление уравнений					высот треугольника
			по координатам его вершин
215. Дан треугольник						с вершинами А (4; 2), 5(6; —5)
и С (—5; 4). Составить					уравнения			его высот.
Реш ен ие .			Обозначим высоты					треугольника соответ
ственно через AD, BE и CF (рис. 30).
Вычислим			угловые коэффициенты сторон треугольника
по формуле		(2.19):					9
1)	kßC	Ус	Ув	4	(	5)
		хс	хв	- 5	- 6		П ’

2)	k АС—	У с - У А		4 - 2			2
		ХС	ХА	- 5 — 4 =			1Г:

3)	клв	ув - У А		- 5 - 2			7
		ХВ	Х А	6 —4			У*

Вычислим угловые коэффициенты высот треугольника

по формуле (2.22):	1) kAD= —	Л'КГ'	==-J-; 2) kBE= —— =
	1	Л'КГ'	^	клг
= у'; 3) kcF	1
= у'; 3) kcF	7 1

Составим уравнения высот треугольника по данным координатам его вершин и угловым коэффициентам соот ветствующих высот по уравнению (2.17):

A D i y ~ y A=:kAD(x —xA),

у — 2 = (х — 4) или 11х — 9у — 26 = 0;

B E i y — yB = kBE(x — xB),

у + Ъ= Y (х — 6) или 9л: — 2у — 64 = 0;

CF : у — ус — kCF (х - *с).

у — 4 = у ( х + 5 ) или 2х —7г/+ 38 = 0.

216.Составить уравнения высот треугольника, верши

нами	которого служат точки: 1) А (—4; 2), В (6; 5) и С (1;
-4 );	2) (2;	- 3 ) , (7; 2) и ( - 8;	- 2 ) .
	VI.	Составление уравнений	высот треугольника
		по уравнениям его сторон

217.	Даны уравнения сторон треугольника: Зх — 10і/ +
+ 28 = 0,	5х + 4г/+26 = 0 и 4х — 3# — 4 = 0. Составить
уравнения	его высот.

Р е ш е н и е .	Пусть	первое уравнение есть	уравнение
стороны AB, второе — ВС и третье — СА. Высоты, опущен
ные из вершин	А, В	и С на соответствующие стороны
		треугольника, обозначим			че
		рез AD, BE и CF.
		Решив системы уравнений,
		найдем координаты		вершин
		треугольника:
		(Зх — 10у + 28 = 0 ,	В ( - 6; 1);
		( 5х+ 4^ + 26 = 0;	В ( - 6; 1);
		З х - 10г/+ 28 = О,		А (4;	4);
		Ах — Зу — А —0\		А (4;	4);
		Ах — Зу — А —0\
		5х + 4г/+ 26 = 0,
		Ах — Зу — 4 = 0;
		С (—2; —4) (рис.		31).

Найдем из уравнений сторон их угловые коэффициенты:

клв = jö , kßc — ■j и kCA — у -

Угловые коэффициенты высот треугольника по формуле (2 .22) соответственно будут:

1	1
&ВЕ	и
	r CA

	1		1	4
KAD —— г---— -Гг
			КВС	0
"	3	^	,	1	10
"	л	^	KCF	и	о •
	*			r AB	Ô

Составим по уравнению (2.17) уравнения высот тре угольника: X

AD : у - уА = kÄD(x - хА),

у — А — ^ ( х — А) или Ах — Ъу + 4 = 0;

BE : у — Ув = ЬВЕ(х —хв),

у — 1= — A (x-f 6) или Зх + 4г/+ 14= 0;

CF : y —yc=kcF(x — xc),

у-\-А— ~ у (х + 2) или 10л:-{-3:/-ф32 = 0.

218.Составить уравнения высот треугольника по ура

внениям его		сторон:			1) \\х-{-2у — 21 = 0 ,			8л:— Зі/ + 7 = 0
и	Зл:+ 5г/+.21 = 0 ;			2)	2л: — г/+		5 = 0 , л:+	г/—5 = 0 и л:—
—	2г/ — 5 = 0.
	VII. Вычисление расстояния от данной точки
				до данной прямой
	219.	Найти		расстояние			от точки	М (6 ; 8) до прямой
4х + Зг/ + 2 = 0.			Расстояние от точки М до данной прямой
	Р е ш е н и е .
равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из точки
М на данную прямую (рис. 32).
	Составим	уравнение				этого
перпендикуляра			и найдем точку,					М(6;8)
пересечения		его	с	данной		пря
мой.		коэффициент				дан
	Угловой
ной прямой		(назовем			эту	пря-
				4	угловой
мую АВ) flAB — — -J ,
коэффициент		по	перпендикуляра
MN найдем			формуле (2.22):
	и		1	3				Рис. 32
	KMN= —Т——				4
			КАВ

Уравнение перпендикуляра составим по формуле (2.17):

у — 8 = -J- (х — 6) или Зл: — 4у + 14 = 0.

Для вычисления координаты точки N решим систему:

4л: + Зу + 2 — 0,

Зх —4у А-14 = 0; N ( —2; 2).

Расстояние MN найдем по формуле (1.1):

MN = >/(6 + 2)a + (8 - 2 )2= 10.

220. Найти	расстояние от точки М (—2; 4) до прямой
4х — Зу — 5 = 0.	расстояние от точки (4; 6) до прямой Зх +
221. Найти	расстояние от точки (4; 6) до прямой Зх +
+ 4г/+ 14 = 0.

ѴШ. Вычисление расстояния между двумя параллельными прямыми

222. Найти расстояние между двумя параллельным прямыми

4х-\-Зу —8 = 0 и 4х-\-Зу —33 = 0.

Р е ш е н и е . Через произвольную точку на любой из прямых проведем перпендикуляр к ней до пересечения с другой прямой. Вычислив координаты точек пересечения этого перпендикуляра с данными прямыми, найдем рас


стояние между этими точками.		Построим эти	прямые.
Прямая		4х-\-Зу —8 = 0	пересе
кается		с осями координат в точ
ках	Л (2; 0) и в(0\		-j, пря
мая	4х + Зу — 33 = 0 — в точках

С (Ç ; oj и D (0; ■11) (рис. 33).

Проведем вычисления по ука

занному плану		решения.	прямой
1.	Возьмем на
4х -f- Зу — 8 = 0		точку пересече
ния ее с осью		Ох : А (2;	0).
2.	Найдем	угловой	коэффи-
циент	прямой		4
		AB: kAB ——у .

3. Найдем по формуле (2.22) угловой коэффициент прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямой AB

•(обозначим этот перпендикуляр через АМ)\

4.Составим уравнения этого перпендикуляра по фо муле (2.17):

0—0 = -|-(х —2) или Зх — 4у —6 = 0.

5.Решив систему уравнений прямых CD и AM, на

дем точку пересечения перпендикуляра AM с прямой CD:

I 4x + 3ÿ —33 = 0,

М (6; 3).

\ Зх — 4у — 6 = 0;

6. Вычислим по формуле (1.1) расстояние между точ ками А и М:

AM = / ( 2 - 6 ) 2 + (0 - 3 )2 = 5.

	Расстояние между параллельными прямыми равно 5.
	223. Найти расстояние между двумя параллельными
прямыми:			1) 4х4- Зу + 33 = 0 и 4х + 3г/—17 = 0;							2) 12л:+
+ 5 у -1 0 1 = 0 и 12л: -\-Ъу + 68 = 0.
			§	15.	Смешанные задачи
	224.	При каком			значении коэффициента				k	прямая
y — kx-{- 9			проходит		через	точку	пересечения			прямых
л: —г/+ 5 = 0 и л ; + 2г/ + 2 = 0.								5)	под углом
к	225.	Прямая проходит черёз точку М (2;
	осй	Ох	равном	arctg3. Найти			на этой	прямой точку
с	абсциссой (—2).			прямой		х-\-2у —4 = 0,		содержащийся
	226.	Отрезок

между осями координат, делится двумя прямыми, проходя

щими через начало координат в отношении		1 :2 : 1.
Составить уравнения этих прямых.
227. Отрезок прямой	+ 1, содержащийся	между

осями координат, делится двумя прямыми, проходящими через начало координат на три равные части. Составить уравнения этих прямых.

+	228. Даны уравнения сторон треугольника: 6х —5г/ +
	8 = 0, 4х + у — 38 = 0 и х ~ 3 у — 3 —0. Найти уравнения
его медиан.		сторон треугольника 4х — 5г/ +
+	229. Даны уравнения
	22 = 0, Ъх —2г/ + 2 = 0	и х + 3г/+14 = 0. Найти урав

нение прямой, проходящей через точку пересечения его медиан и через точку (1; —3).

рая	230.	На	прямой 2х + 3г/— 18 = 0 найти точку,				кото
рая	отстоит		от	оси Оу в	три раза	дальше, чем от
оси	Ох.
	231.	Составить		уравнение	прямой,	проходящей	через

начало координат и образующей с осью Ох угол в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой

У= Ія-

232.Составить уравнение прямой, проходящей через точку (8: 5) и образующей с осью Ох угол в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой х — 4г/+ 4 = 0.

3 Богомолов H. В.

233. Найти уравнения прямых, проходящих через точку

(—7; 8) под углом 45° к прямой				Зх — Ъу-\-15 = 0.
234. Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой
5х — 4у — 20 = 0, восставленных				в точках	пересечения ее
с осями координат.		задан	вершинами:		Л (—5;	—2),
235.	Треугольник
В (7; 6)	и С (5; —4).	Найти:	1)	уравнение стороны		AB ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины А на сто рону ВС', 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С

на сторону AB',			4) углы В и С и 5) центр			тяжести этого
треугольника.		две параллельные		прямые: х —у — 7 = 0 и
236. Даны
х — г/+ 3 = 0.		Составить уравнение прямой им параллель
ной,	которая	(в	делит расстояние		между ними		в отно
шении	3 :2		направлении	от	прямой	с	меньшей

начальной ординатой к прямой с большей начальной

ординатой).		проходящей	через точки А (—4; 2) и
237. К прямой,
В (8; 4),	проведен	перпендикуляр через точку,		которая
делит расстояние AB (от А к В) в отношении 3:4.
Составить уравнение перпендикуляра.
238.	Даны уравнения двух		сторон ромба: Зх — 10*/+
+ 37 = 0	и 9х + 2*/— 17 = 0 и		уравнение одной	из его

диагоналей Зх —2у — 19 = 0. Найти уравнения двух других сторон ромба и второй его диагонали.

239.Даны уравнения двух сторон параллелограмма Зх — 2г/+ 12 = 0 и х — Зу +11 = 0 и точка пересечения его диагоналей (2; 2). Составить уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

240.Две стороны, исходящие из одной вершины параллелограмма, даны соответственно уравнениями: 5х —

—Зг/+ 28 = 0, X — Зу — 4 = 0 и даны координаты противо положной вершины параллелограмма (10; 6). Составить уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

241.Две противоположные вершины квадрата лежат

в точках А (—1; 1) и С (5; 3). Составить уравнения сторон

идиагоналей этого квадрата.

242.Составить уравнения катетов прямоугольного

равнобедренного треугольника, если уравнение его гипоте нузы х —2у — 3 = 0, а вершина прямого угла лежит в точке

С(1; 6).

243.Луч света, выйдя из точки А (3; 10), отражается

от прямой 2 х + у —6 = 0 и после отражения проходит

через точку В (7; 2). Составить уравнения падающего и отраженного лучей.

У к а з а н и е . Угол падения луча равен углу его отра жения.

Контрольная работа

Iв а р и а н т

244.Треугольник задан вершинами: А (—7; 3), В (2; —1) и С(— 1;

—5). Найти:		1) уравнение прямой A M ,		параллельной		стороне ВС;
2) уравнение медианы AD ; 3) уравнение высоты BF; 4) угол В; 5) уравне
ние биссектрисы CN.
		II в а р и а н т
	245. Треугольник задан		вершинами:	Л (—8;	—2),	В ( 2; 10) и
С (4; 4). Найти: 1) уравнение			прямой BN, параллельной стороне АС;
2)	уравнение	медианы CD;	3) уравнение высоты		АЕ;	4) угол В;
5)	центр тяжести этого треугольника.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 16. Геометрические места точек на плоскости

Совокупность точек на плоскости, обладающих одним и тем же свойством, отличающим их от всех остальных точек плоскости, называется геометрическим местом точек на плоскости.

Уравнению с переменными х и у соответствует на пло скости некоторая линия как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Обратно, линии на плоскости, представляющей геометри ческое место точек, соответствует некоторое уравнение с пе ременными X и у.

Чтобы составить по условию задачи уравнение геомет рического места точек на плоскости, нужно установить зависимость между переменными величинами х и у (коор динатами произвольной точки геометрического места) и дан ными в задаче постоянными величинами (параметрами) и записать эту зависимость

уравнением.

246. Составить уравнение геометрического места точек на плоскости, равноудален ных от точек А (2; 4) и В (4;6).

Р е ш е н и е . Из курса гео метрии известно, что перпен дикуляр, восставленный к дан ному отрезку в его середине, является геометрическим ме стом точек, равноудаленных

от концов данного отрезка. Используем это свойство для составления уравнения.

Пусть точка М (х; у) будет принадлежать геометри ческому месту точек (рис. 34), тогда МА = МВ.

По формуле (1.1) получим:

МА = Ѵ ( х - 2 ) 2 + (У -4)2 и MB = V ( x - 4 ) 2 + (y~Q)2

или

Ѵ ( Х - 2)2 + ( У - 4)2 = У (ж- 4)2 + ( у - 6)\

После возведения левой и правой частей в квадрат имеем:

(* - 2)2 + (у - 4)2 = (X - 4)2 + (у - 6)2.

Упростив это уравнение, получим:

х + у - 8 = 0.

Геометрическим местом точек, обладающих указанным

вусловии задачи свойством, является прямая

Х+г/ — 8 = 0.

247.Составить уравнение геометрического места точек на плоскости, равноудаленных от точёк А (—4; 2) и Л (6;—8).

248.Найти геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от начала координат на расстояние г.

Ре.шение. Из условия задачи следует, что для лю бой точки М (х\ у), принадлежащей геометрическому месту точек, справедливо равенство

ОМ = г,	но ОМ — У X2+ уг, У X2 А-У2= г> х2-\-у2 = г*.
Это геометрическое место точек есть окружность
(рис. 35) с	центром в начале координат.

249.Составить уравнение геометрического места точек

на плоскости,	если	расстояние каждой из них от точки
А (6; 0) в три	раза больше		их	расстояний	от точки
В(2; 0).	Из	условия задачи		следует, что для лю
Ре ш е н и е .
бой точки М (х\ у),		принадлежащей геометрическому месту
точек, справедливо		равенство	МА — ЗМВ (рис.		36).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 487 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ