книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

и прямой, проходящей через точки

А (4; —3) и В (2; —2).

Р еш ен и е .

Находим

угловые

коэффициенты

прямых:

1) Зх + 2у + 4— 0,

у --- ~2 ^

^ --- 2 ’ ^

^ а ч —■

Ув ~Уа ~' 2— (—2)

1

ХВ - * А

2 — 4

2 ■

Положим: k%— —

ki = —

По формуле (2.20)

найдем:

182.

Найти

острый угол между прямой х + 2у —4 = 0

и прямой,

проходящей через точки А ( 1; 5) и В (—4; 3).

183ч. Найти острый угол между прямой, проходящей

через точки А{—1; —3)

и

В (5;

1), и

прямой 2х + г/ +

+ 8 = 0.

IV.

Вычисление острого

угла между двумя прямыми,;

проходящими через данную точку и через точки,

которыми отрезок данной прямой, содержащийся

между осями координат, делится в данном отношении

184.

Найти

острый

угол

между

прямыми, проходя­

щими через начало координат и через точки, которыми

отрезок прямой 2х + г/— 12 = 0 , содержащийся между осями

координат,

делится в отношении 1:2:3.

Ре ш е н и е .

Для

вычисления

угловых коэффициентов

прямых, проходящих

через начало координат, нужно найти

точки на прямой 2х + г/ — 12 = 0 ,

через которые проходят

эти

прямые. Пусть

прямая 2х-\-у— 12 = 0 пересекает ось

Ох

в точке

А

и ось

Оу

в

точке В. Найдем эти точки:

1) у = 0,

х =

6 ; А (6 ; 0);

2) х = 0,

у =12;

В (0;

12).

Теперь найдем точки С и D, делящие отрезок прямой

между

точками

А и В в

отношении 1 : 2 : 3 (точки берем

в последовательности

А,

С,

D, В). В задаче не сказано,

в каком направлении делится отрезок прямой в данном

отношении —от

А

к В или от В к А,

поэтому любое из

A = t g a - +

*ос = ? Ч . *OD= ^ - 4 - 2 .

kpp feOC

Ч

= 0,8889;

tg ф = т + ^OD^OC

1+ 2 -

Х =

BD

1

j_

DA

2 +

3

5 :

хв +

1

® + T -6

l,

xD-- :

1 +

Я,

i

+

;

:

Уо

Ув+^Уа 12+

б- °

10;

D (1; 10).

1 + Я,

1+ 1

Найдем точку С —середину

отрезка ВА:

хс -

ХВ + ХА

0 +

6

: 3

>

Ус-

Ув~\-УА -

12+ 0

6;

С (3; 6).

2

2

Вычислим

угловые

коэффициенты

прямых OD и ОС:

Уп

Ю

Уг

6

k o D - j r -

т = Ю ,

Æ0C = ^

= T = 2.

XD

1

ХС

Л

Вычислим острый угол между

прямымиOD иОС:

tg Ф

kOD

кОС

10—

2

0,381;

1+ к0Г)К0С

1+

10-2

точки

пересечения

его

с

осью

Ох

к точке

пересечения

с осью Оу.

Пусть

прямая

х + 2 у — 6 = 0

пересекает

Р еш ен и е .

ось Ох в точке А

и ось Оу в точке

В. Найдем эти точки:

1)

у = 0, х = 6,

А (6 ;

0);

2)

х = 0, у = 3,

В (0;

3).

отрезок

прямой AB

Найдем точки

С и

D,

делящие

в отношении 3: 1 :2 .

Для точки С имеем:

. _ А С

__

3

,

С В ~

1 + 2 ~

Применив формулы (1.4), найдем

_ ХА + ХВ

6 +

° ,

о

Хс

2

~

2

п ( 0_ 3)

Ус

Уа + Ув ° + 3

3

2

2

~

2 ’

С і'3, 2/'

Для точки

D имеем:

1 _____ 3-f- 1__0

DB

2

'

По формулам

(1.3)

получим:

XD

лТд -j~ 'KXß

6 -f- 2 *0

■■2 ,

l+Ji

'

1+ 2

УА+ tyв

0+2-3

2; D (2; 2).

VD Z 1+).

1+2

У с - У м

z3— 3

2 - 3

1

кмс-

хс ~ хм

3 - 4

k■MD- :2^4

2"*

tg ф

k MC

k MD

0,5714,

1

^ kMCkMD

отрезок

прямой

Зл:+ 2г/— 18 = 0 , содержащийся между

осями координат, делится на три равные части.

про­

188.

Найти

острый угол между двумя прямыми,

ходящими через точку М (—6 ; —8) и через точки,

кото­

в

Ре ш е н и е .

Угловой

коэффициент данной

прямой

формуле

(2 .20) может быть равным и kx и k2,

поэтому

имеем два

решения: 1) Æx = 2; 2) k2 = 2 .

1) kx=2.

По

формуле

(2.20) имеем: tg^arctg-|-j =

=

k., — 2

4

k„— 2

г,

l + 2k~ или "з =

Т + я Г ' Решив эт0 Уравнение, получим:

&2= —2.2

Искомое уравнение имеет вид

2) k2= 2. tg ^arctg-jJ =

^ = TT ’

уравнения этих

прямых.

прямых,

проходящих через

Р е ш е н и е .

Уравнения

начало

координат, имеют вид y = kx\

найдем их

угловые

коэффициенты.

коэффициенты этих прямых через

Обозначим угловые

ki и k2.

Из условия задачи

имеем:

ki

_

2_

k2

~

7 •

Угол

между

прямыми

ф = arctg ь

откуда

tgcp = T ,

но tg ф

k2—ki

т. е.

kj—ki

= _1_

l + w

1+ k2ki

з

Для

вычисления kx и k2 решим систему:

( ki

_

I

ft*

-

7 ’

I

k2— ki

1

У \+knki~~T’

7

Из первого уравнения

получим: &2= у&й

__ j_

k2-~ 2 '

Соответственно искомыми прямыми будут: 1) у — 2х и

у = 7х\ 2) у = у X u у = Y х< т- е-

заДача имеет

два ре­

шения.

Две прямые,

проходящие через начало координат,

193.

образуют

между собой

угол arctg

у

угловых

. Отношение

9

- 7 + 2 - 2

1, Ум -

3 + 2 ( - 1 )

Хм —

1 + 2 :

1+2

Абсциссы

точек С и М равны,

следовательно,

биссек­

триса угла

С параллельна

оси Оу: х = — \ или

1 = 0.

195.

и

Треугольник

задан

вершинами: А (—6; —2),

В (4; 8)

С (2;

-10).

Составить

уравнение биссектрисы угла А.

Две

прямые

у = kxx + Ьх и

у — k2x + b2

параллельны,

если их угловые

коэффициенты

равны,

т. е.

**= *!.

(2 .21)

I.

Составление уравнения

прямой,

проходящей

через данную точку, параллельно данной прямой

196.

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через точку

М ( —2;

4) параллельно прямой 2х — 3у +

-[-6 = 0 .

Построим прямую 2л: — Зг/+ 6 = 0 по точ­

Реш ен ие .

кам

пересечения ее с осями координат: 1) у — 0,

х = —3;

А (—3; 0);

2)

* = 0,

у = 2;

В (0;

2) и точку М (—2; 4)

(рис.

28).

угловой

коэф­

Найдем

фициент прямой AB, решив

уравнение

прямой

относи-

телыю у:

2

У = ~^ л:+ 2 , от­

куда угловой коэффициент

^дв = у -

Угловой

коэф­

фициент

искомой

пря­

мой

равен

угловому коэф­

фициенту

данной

прямой,

так

как

прямые параллельны,

т. е. kMc = kAB = ~ . Иско­

мая

прямая

проходит через

точку М (—2; 4)

и имеет

2

точку А ( —3; 2) параллельно

прямой 5л: — Зг/ + 21 = 0 .

198. Составить уравнение

прямой, проходящей через

точку

пересечения прямых -|- + ^ = 1 и

=

1 парал­

лельно

прямой X — 2у —6 = 0.

§ 14. Условие перпендикулярности двух

прямых

Две

прямые y = kxx-\-bx и у — k2x-\-b2

перпендику­

лярны,

если угловые коэффициенты

обратны

по ве­

личине и противоположны по зна­

ку, т. е.

k2 = — j~ или

kxk2 = — 1. (2 .22)

мой,

проходящей

через

точку

М (2, 3)

перпендикулярно

к пря­

мой 5л: — 4г/ — 20 = 0.

Ре ш е н и е .

Построим прямую

Рис.

29

5х — 4у — 20 = 0

по

точкам пере­

1) у — 0, X — 4',

А ( 4;

сечения

ее

с

осями

координат:

0) и

2)

х = 0,

г/= -

5;

В (0,

- 5 ) и

точку М (2;

3)

(рис.

29).

Угловой

коэффициент

прямой