Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 485 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

141. Найти длину отрезка, заключенного между точ ками пересечения с осями координат прямой:

X U

IX. Вычисление угла наклона прямой — = l к оси Ох

142. Вычислить угол, образуемый п р я м о й —~ = 1,

с осью Ох.

Решение. Приведем данное уравнение к виду у = kx-\- b:

-j —у = 1, х — 2у = А; 2у = х — 4\ у = ~ х —2 ;

'tgct = y , а = 26°34\

143.Вычислить угол, образуемый с осью Ох прямой:

1)-Б- + -2- = 1; 2) Т - - Н 1-

§ 9. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

по заданному направлению

Уравнение пучка прямых				имеет вид
			У — Уа = 1і	{х	— Х а ),	(2.17)
где k — угловой			коэффициент;		проходят прямые (центр
(хА; уА) —точка,			через которую
	пучка);
X и у — переменные координаты.
Если k имеет определенное числовое значение, то полу
чаем	уравнение		прямой, проходящей через данную точку
по заданному направлению.
		I. Составление уравнения пучка прямых,
		проходящих через данную точку
144. Составить уравнение пучка прямых, проходящих
через точку		Л (3;	—1).
Р е ш е н и е . Подставив в уравнение (2.17) координаты
точки	Л (3;	—1), получим		искомое уравнение:		г/+1 =

=k (х — 3) или у — kx + 3k -f 1 = 0.

145.Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку (—4; —2).

II. Нахождение центра пучка прямых по уравнению пучка

146.	Дано	уравнение пучка	у — 3 = k (х-\-2).	Найти
центр этого пучка прямых.			пучка имеем: хА — —2;
Р е ш е н и е .		Из уравнения
уА= 3 ,	следовательно, прямые		проходят через	точку

А(- 2 ; 3).

147.Найти центр пучка прямых, заданных уравнением:

1) У + 4 = Æ(x+l); 2) y = k(x — 2).

III. Составление уравнения прямой по заданным координатам точки, через которую она проходит,

иугловому коэффициенту этой прямой

148.Составить уравнение прямой, проходящей через

точку	А (5; — 1)	и имеющей угловой коэффициент	рав
ный 3.		условии задачи дано: хА= 5; уА = —-1 ;
Р е ш е н и е . В		условии задачи дано: хА= 5; уА = —-1 ;
k = 3.	Подставив	эти значения в уравнение (2.17),	полу

чим: £ /+1 =3( х — 5) или Зх — у — 16 = 0.

149. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку	(—1; —1) и имеющей угловой коэффициент рав
ный	1.
150. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку	(2 ; 0) и имеющей k — —2 .

IV. Составление уравнения прямой по координатам точки, через которую она проходит,

иуглу, образуемому этой прямой с осью Ох

151.Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—3; —2) и образующей с осью Ох угол arctg2 .

Ре ш е н и е . В условии задачи дано: хА= —3; уА== —2. Найдем k : k == tg (arctg 2) = 2.

Подставив эти значения в уравнение (2.17), получим:

у + 2 = 2 (х + З) или 2х — г/+ 4 = 0.

152. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку	(4; —5) и образующей с осью Ох угол arctg (—3).
153.1. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (2;		3) и образующей с осью Ох угол 45°.
2.	(0;	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку		5) и образующей с осью Ох угол 135°.

§ 10. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
А (хА; уА) и В (х в , ув), имеет вид
У - У а ^-^—	г Іх - ха),	(2.18)
ХВ	х А

где х и	у — переменные координаты.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
А и В,	находится			из соотношения
				kAB = -y f ~ .				(2.19)
					ХВ	ХА
		1.	Составление уравнения прямой,
		.	проходящей		через две		точки
154. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки А (2;		—3)	и В (—1; 4).					хв = —1;
Реш ение . В				условии задачи дано: хА = 2;
Уа = — 3 и		у в — 4.		Подставив		эти	значения в	уравнение
(2.18),	получим:
	у	3 =		(х — 2) или 7x + 3t/ —5 = 0 .
155. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки:	1) А (— 1;		—1) и В (—2; —2); 2) Л (3; 0) и В (0; 4).
156. Составить уравнения сторон треугольника, вер
шинами которого служат точки: 1)							Л (—3; —2), 5(1; 5)
и С (8 ;	-4 );	2)	(- 1 ; - 3 ) ,		(3;	5)	и (4; 0).

157.1. Треугольник задан вершинами:

А(—3; 4), В ( —4; —3) и С (8; 1). Составить уравнение медианы AD.

2.Треугольник задан вершинами:

Л (2; 5), В (—6; —4)	и С (6; —3). Составить уравнение
медианы BD.	,

И. Вычисление угла наклона прямой, проходящей через две данные точки, к оси Ох

158. Найти угол наклона прямой, проходящей через точки Л (2; 3) и 5 (—3; 1), к оси Ох.

Реш ение . В условии задачи дано: хА — 2, хв = — 3,

уА= 3 и ув = \.

По формуле (2.19) найдем k\

и Ув~Уа _	1~ :і	2
х в ~ х А	— 3 — 2	5 = 0,4,

откуда

а= arctg 0,4 = 21°48'.

159.Найти угол наклона прямой к оси Ох, проходя

щей через точки: 1) А (—3; —3) и 5 (2; 1); 2) А (3; 1)

иВ (4; —2).

III.Вычисление отрезков, отсекаемых на осях координат прямой, проходящей через две данные точки

160.Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А (6; 2) и В (—3; 8).

Решение . Подставив в уравнение (2.18) координаты точек А (6; 2) и В (—3; 8), получим уравнение прямой, отсекающей на осях Ох и Оу искомые отрезки:

у2 о 0~(х 6).

Приведем это уравнение к уравнению (2.16) в отрезках

на

осях: у — 2 = —

(х — 6),

у — 2 = — -|-л: + 4,

х + У =

—

Т *

Отрезки,

отсекаемые

на

6; -g— 1- -|-=

~ + -|-= 1.

осях: а = 9 и Ь = 6.

через

точки

Л( —1;

—6)

161.

Прямая

проходит

и 5(7; 2). Найти

отрезки,

отсекаемые

этой

прямой на

осях Ох и Оу.

162. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через поло

жения

Л (12; —1)

и 5(3; 2).

В какой

точке

она

пере

сечет ось Оу.

IV. Составление уравнения

прямой, проходящей

через данную точку и отсекающей на оси Ох (Оу) данный отрезок

163.

Прямая, проходящая через точку (— 5;

1),

отсе

кает на оси Оу отрезок равный 6. Составить уравнение

этой прямой.

пересекает ось Оу в точке

(0;

Решение . Искомая прямая

6).

Имеем две точки Л (—5; 1)

и 5 (0;

6). Подставив

в уравнение (2.18)

координаты этих точек, получим урав

нение искомой прямой:

у — 1 = §ірз(* + 5)

или X — г/+ 6 = 0.

164.Прямая, проходящая через точку (—4; —1), пе ресекает ось Оу в точке (0; 3). Составить уравнение этой прямой.

165.Прямая, проходящая через точку (—2; 4), отсе кает на оси Ох отрезок равный 2. Составить уравнение Этой прямой.

	§ 11. Пересечение двух прямых
Если	даны две пересекающиеся			прямые	ЛіХ+ 5іУ +
-4- Ci = 0	и Л2х + ß 2y + C,2= 0 ,		то координаты их точки
пересечения должны удовлетворять каждому из данных
уравнений, т. е. они должны быть общими корнями этих
уравнений. Для вычисления координат точки					пересечения
данных прямых необходимо решить систему уравнений
этих прямых.
	1. Вычисление координат точки
	пересечения двух данных прямых
166.	Найти точку, пересечения			прямых Зх — 4у + 11 =
и 4х — у — 7 = 0.
Реш ение . Решив совместно систему уравнений
	Зх — 4у +		11 = 0,
	4х —у — 1 = 0,
получим: х = 3 и у = 5. Следовательно, точка					пересечения
этих прямых (3; 5).					1) у — Зх и лс —
167.	Найти точку пересечения прямых:
+ у '+ 4 = 0; 2) X — 2у — 8 = 0 и х + у — 2 = 0.
	И. Вычисление координат вершин треугольника
	по уравнениям его сторон
168.	Даны уравнения	сторон		треугольника: х + 3у —
— 3 = 0,	Зх— 11г/ —29 = 0 и	Зх — у+11 = 0.			Найти	вер
шины этого треугольника.					вершин	тре
Решение . Для вычисления координат
угольника необходимо решить три системы уравнений:
	X + Зу — 3 —0,		Зх — 11т/ — 29 = 0,
	Зх — 1 \у — 29 = 0,		Зх — у + 11 = 0,
	З х - у +		11 =	0,
	х + Зу-		3 = 0.

Корни	первой системы х = 6 ,	у — — 1, второй х —— 5,
у = — 4 и	третьей х = —3, у =	2. Следовательно, верши

нами треугольника служат точки (6 ; —1), (—5;—4) и (—3; 2).

	169. Найти вершины треугольника,			если его стороны
заданы уравнениями:			1) 4х + Зг/+ 20 = О,	6х — Ту— 16= 0
и	X — 5г/ +	5 = 0; 2)	7х + 3*/ —25 = 0,	2х—7г/—15 = 0
и	9х — 4у +	15 = 0.

§12. Угол между двумя прямыми

Угол ф между двумя пересекающимися в некоторой

точке М прямыми у = kxx -\-b x и y = &jX + 62 вычисляется

по формуле

(2.20)

где ki и Ä2—угловые коэффициенты данных прямых.

	I.	Вычисление угла между двумя прямыми
	по угловым коэффициентам данных прямых
170. Найти острый угол между прямыми у = 2х и у = 5х.
Решен ие .		Угловые			коэффициенты данных прямых 2
и 5. Для вычисления острого угла
между двумя прямыми нужно выбрать
&2 и ki	таким	образом,			чтобы tg ф >		0
(тангенс	острого		угла —число			положи
тельное).	Для	этого		примем		&3= 5	и
ki = 2.		(2.20)		имеем:
По формуле
' « і ’ = т\| й			- “	п =	0 '2727-
По таблице находим угол ф:
Ф = а г ^ ^		=	15°15'		(рис.	22).
171.	Найти	острый угол между прямыми: 1) у = —х
и у = Зх;	2) 2 х - 3 у + 6 = 0 и З х - у -						3 = 0; 3) ~	= 1
n \| + f = l .
172.	Даны	уравнения			сторон треугольника:			1) Зх —

— 2у — 1 = 0; 2) 5х + 4 у -3 1 = 0 и 3) х - 8 у - 15 = 0. Найти внутренние углы этого треугольника.

Р	е ш е н и е .	Пусть стороны: 1) Зх — 2у — 1 = 0 и 2) 5х 4-
~г4у	— 31 = 0,	образуют угол А; 2) 5л:+ 4г/ —3 1 = 0

и 3) х —8у— 15 = 0 —угол В; 3) х — 8у— 15 = 0 и								1) Зх —
— 2у — 1 = 0 — угол С.							вершины		А, В
Для построения		треугольника найдем					вершины		А, В
И С для чего решим системы уравнений:
					Зх — 2у — 1 = 0,
					5х + 4у — 3 1 = 0,
				X — 3,		у — 4, Л (3;		4);
					5х + 4у — 31 = 0,
					х — 8у— 15 = 0,
			х — 7, у = — 1, В (7;					—1);
					X — 8у — 15 = 0,
					Злг — 2у — 1 = О,
			X—		1, у = — 2, С(— 1;				—2)
							(рис. 23)
Найдем угловые коэффициенты из уравнений сторон:
сторона АС: Зх — 2у— 1=0,						kAC = -^;
сторона AB: 5д: +4г/ —31 = 0, kAB— —
сторона ВС: х — 8у— 15 = 0,						kBC — 8 •
По формуле (2.20) найдем углы А,						В	и С:
^ A = - r l 7 kt C -			~ "-гЧ *			,	— 3,143,
	l + kAßkAC		1	^	j	, _3
	А — arctg 3,143 = 72°2 Г;
	ѣ	_ѣ	1		_ ( _ I
tg В-.	KBC	KAB	8		\	4	1,63,
tg В-.	1 + kBCk AB		1-				1,63,
	1 + kBCk AB				8 \	4
					8 \	4
	Д = arctg 1,63 = 58°28';
			3__
tg С ■ k AC		kBC	2		8	= 1,1579,
tg С ■ k AC		kBC				= 1,1579,
	1A-kAckBC		•1+	-	2 ■ 8
			•1+	-	2 ■ 8

C — arctg 1,1579 = 49*11'.

Проверка: 72°21 ' + 58°28' + 49° 1Г = 180°.

173. Найти внутренние углы треугольника, если его' стороны заданы уравнениями: 1) 7х-|-4г/ + 9 = 0, х —8г/ч -}- 27 = 0 и 2х — у — 6 = 0; 2) 6х —у + 13 = 0, Зх + 7у — 1 = О

иЗлг — 8у — 31 = 0 .

П.Вычисление угла между двумя прямыми, если каждая из них задана двумя точками

174. Найти	острый угол между двумя прямыми, если
первая из них проходит через точки					Лі(4; 2)	и 2^(1; —7)
и вторая — Л2 (—1; 3)			и В2(8 ; 6).
Р е ш е н и е .	Не составляя уравнений прямых, найдем
их угловые коэффициенты по формуле (2.19):
ь	- 7 - 2		о	ь	6 - 3	1
%А1В1	I _4			*^АгВг	g_^	g •
Положим:
^-2			3,	kт	^ •
По формуле (2.20)		найдем:
3~ Т		= 1,333,		ф = arctg 1,333 = 53°08\
tg ф == ;—	*	= 1,333,		ф = arctg 1,333 = 53°08\

Ч- З - І

175.Найти острый угол между двумя прямыми, если первая из них проходит через точки Лі (—6; 7) и Дх (2; —5)

ивторая — Л2 (—5; 2) и В2(1; 1).

176.Найти острый угол между двумя прямыми, имею щими общую точку М (—2; —1), если первая из них про ходит через точку Л (3; 3) и вторая — В (3; —2)!

177. Дан треугольник с вершинами Л (—6; —1), В (4; 6) и С (2; 1). Найти внутренние углы этого треуголь ника.

Решение .	По формуле	(2.19) найдем угловые коэф
фициенты сторон этого треугольника:
t	Ув ~Уа _ 6 - ( - і )		7
	ÄB~ x B- x A -	4 - ( - 6 )	- 10'
	Ус~Ув	1“ 6	5
	RBC — X — X	— 2 - 4 ~	2*

К С А

Х А - Х С

— 6 - 2

4 *

По формуле (2.20) найдем углы треугольника:

		?	_	1
tg Л =	, Ч ~ Чи‘	=			=0.383.
	1+Й	1+ш т
		1+ш т
	Л = 20°57';
		5 __7
tgß:	k B C ~ k AB	2		10	= 0,6545,
tgß:	1+ kBCkAß	« ,	5 7		= 0,6545,
	1+ kBCkAß	« ,	5 7
		т	2	10
	В = 33° 12';
		А _ ±
tgC =	k B C ~ k CA	2		4		1,3846,
	l + k BCk CA	1+ AJL
		г	2	4
	С = 54°10'.
Проверка: 20°57' +33°12' + 54о10' =						108°19'. Сумма

углов треугольника может оказаться меньшей 180° в том случае, если один из углов треугольника будет тупым.

Построением		треугольника
убедимся,	что		угол	С ту
пой (рис.	24).				был
При	вычислении
найден не внутренний угол
треугольника,			а внешний,
смежный	с	искомым;			ис
комый же		угол		будет:
С— 180°—54°10'= 125°50\
Тогда сумма углов тре
угольника		будет		180°:
20°57' -{- 33°12' + 125°50' = 179°59' (погрешность в				Г	до
пущена при вычислениях).				пока
Не обращаясь к построению треугольника, легко

зать, что один из углов данного треугольника тупой. Вы числим стороны треугольника:

АВ = У ( - 6 - 4)г+ (— 1 -	6)2= ]/Т49;
ВС = 1 /( 4 - 2 )2+ (6 -	I)2= К29;

АС = У (“"б — 2)2-f- (—1 — I)2= У 68.

Известно, что в тупоугольном треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других

сторон. Имеем:	149 >»29+ 68. Сторона AB лежит против
тупого угла.	внутренние углы
178. Найти
треугольника, если его вершина
ми служат точки: 1) А (—6 ; —3),
В ( 6 ; 7) и С (2;	-1 ); 2) Л (0; 4),

В(4; - 2 ) и С ( - 4 ; - 2 ) .

179.Дан треугольник с вер шинами А (6; 8), В (2; —4) и С(—6; 4). Найти угол между стороной AB и медианой, про веденной из вершины А.

Решение . Для вычисления углового коэффициента медианы найдем по формуле (1.4) коор

динаты точки D, делящей сторону ВС пополам (рис. 25).

*о = хв + хс			2 - 6		2,
*о = хв + хс				2	2,
	2			2
Ув+Ус	- 4	+	4	0,	D (—2; 0).
Уй~				0,	D (—2; 0).
Найдем по формуле (2.19) угловой коэффициент ме
дианы:
Ур - У а		_		° ~ 8	1.
<AD'	ХА		— 2 — (		1.
XD	ХА		— 2 — (

Вычислим угловой коэффициент стороны треугольника А В

УВ	УА	- 4 - 8	: 3»
Ьав =		2 - 6	: 3»
По формуле (2.20) найдем /_ BAD —ср:
k A B ~ k AD		34— 1	г, г.
\j_b	ь	1+ 3-1
^A-kABkAD

Ф= arctg 0,5 = 26°34'.

180.Вершинами треугольника служат точки А (—2; 2), 5(6; 4) и С (2; —6). Найти угол между стороной АС

имедианой* проведенной из вершины Л.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 485 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ