Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4845 46 47 48 > Следующая >>>

3. Разделим в уравнении (3) переменные:

d z _ dx

z~~ х -\-2‘

4.Интегрируем уравнение (4):

	ln z =l n (x + 2) + lnCi,
откуда	z = Ci (*+ 2).	(5)
5. Произведем в уравнении (5) обратную		замену из
равенства (1):
	% = СЛх + 2).	(6)
6 . Разделим переменные:
	dy —Сх (х + 2) dx,	(7)
7. Проинтегрируем равенство (7):
	У= Ci Y + 2Схх + С,.	(8)
8 . Найдем	частное решение, подставив в	уравнения
(6) и (8) начальные данные:
	Г 8 = С !(2 + 2),
	\ 2 = С1. \| + 2Сі .2 + С„
откуда Сі = 2	и С2= —10.
Имеем частное решение t/ = x2+ 4x— 10.
1 5 2 3 ' % =	е с л и ^ = 6 П РИ * = 2 и І Н	1*

§ 83. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Ш + Р % + ЧУЧ{х),

(1)

где р и q — постоянные величины;

/ (я) — непрерывная функция от х.

Правая часть уравнения (1) может быть	равна нулю,
т. е. / (X) == О, тогда имеем:
Ѣ + Р % + ^ = ° -	~	<2 >

Уравнение (2) называется уравнением второго порядка без правой части или линейным однородным уравнением.

Найдем частное решение уравнения (2) в виде


		У = егх,			(3)
где г —постоянное,	которое		надо	найти.
Дифференцируя	(3), имеем:
dy_	= rerx		сРу	■ЧпГХ
dx	= rerx		и dx2 = re		( 4 )
Подставив величины		(3) и (4)		в уравнение	(2) и сок
ратив на множитель ег х ,		получим:
Г е гх + p r e rx + qerx—О,
efx (г2+ pr + q) = О,
	i* + pr + q = 0.				(5)

Уравнение (5) называется вспомогательным или харак теристическим уравнением для уравнения (2). Из урав


нения (5) находим неизвестную постоянную величину.
Чтобы составить характеристическое уравнение, нужно
в уравнении			(2)	заменить	~ и	у	на	степени г ,
равные		порядку		производной,	считая,	что у		есть произ
водная		нулевого		порядка.
При решении характеристического уравнения возможны
три случая:
1) корни Гі и г2~ действительные и различные (гхфг2у,
2)	корни		Гі и г2— действительные			и	равные {гх— г2);
3)	корни		Гх и /-2— комплексные числа.

Рассмотрим уравнения		на каждый		из этих случаев.
С л у ч а й /.	Корни характеристического уравнения дей
ствительные	и различные:		гі=^г2.	Имеем два частных
решения:		и	у 2 = е г*х .
	У х —
Общее решение уравнения имеет вид
У= С х у х + С2г/2		и	у = С \ е ^ х + С 2е г*х .
Решить уравнения.
" І524- ®	- 7 1 + 10» = 0'

		г2— 7г + 10 = 0;				Гі = 2,		т2= 5.
2.	Найдем частные решения уравнения:
				у1 = е2Х	и	г/2 ==е5Ѵ.
3.	Составим общее решение:
		У —СіУі + C2y2 == Сів2Х+						C2e5't.
1 5 2 5 . 1)		g	+	g - - %	=	° :	2 )	У’ ~ &У' + 15г/ = 0 ;
3) */" + 5у' +		6 =	0 .
1 5 2 6 . g - 5 g				= 0 .
	ах2		ал:

Р е ш е н и е .

1	/-г _		5г =	о,	г (г — 5) = 0;
	г/і	_	/.О.*
2 .			еи,л	и	02 = е5*	С2е5*.
3.	г/ = Сіг/і + С2г/2 = Сх +
1527.			1) g	+ 3 f = 0 ;		2) d*y
						dx2

1528. g - 9 ÿ = 0 .

Р е ш е н и е .

гх = 0, г2= 5.

d£

dx :0 .

1. r a — 9 = 0 ;			^ = - 3 ,		r 2 = 3 .
2 . У\ —е ъх		и	y%— ^ x.
3 - у — СіУі + C2t/2 = Схе 3*+ С2езх.
1 5 2 9 . 1) g		- 4	0 = 0 ;		2 ) у ' - у = 0.
1 5 3 0 . g	- 2	g	—	3 0 =	0 . Найти частное решение, если
0 = 8 при	х = 0	и g		= 0 .

Р е ш е н и е .

1.	г 2 — 2 г — 3 = 0 ;		г х = — 1, г 2 = 3 .
2 .	01 = 6 " * И 02	=	63^.	О)
3.	0 = Сі0і + С202 = С1е~+ С2е3.			О)

4. Найдем g равенства (1):

5. Подставим начальные данные в равенства (1) и (2):

		8 = С1в- 1-0+ С2е8-®= С1+ С8;
т. е.		0 =	- С 1е-1-°+ ЗС2е3-°= - С ^ З С *
т. е.			Г8 = Сі + Сг-
			Г8 = Сі + Сг-
			I о = — QL -f- з с 2,
откуда	С і~ 6 и Сг= 2.
6 .	Искомое		частное решение будет:
			у =	6е-*+2еах.
1531.		Найти	частные решения:
1.		— 1 = 0 , если у = 2			при х — 0 и ~		= 0 .
2- 0		+ 1 г - 2О= О’ если * = £				ПРИ * = °		и	% = 0-
Случай II.			Корни	характеристического				уравнения
действительные			и равные:		/у = г2.	Имеем	два		частных
решения:
			Уі = ег'х	и	у.г= хег'х.

Общее решение имеет вид

У= СіУі + С2у2= С\еГіХ+ С2хег'х.

Решить уравнения.

, 532- S - 8 f + 16» " 0-

Ре ш е н и е . 1. Составим характеристическое уравнение

инайдем его корни:

г2 — 8г+ 1 6 = 0 ; г! = г2= 4.

2. Найдем частные решения уравнения:

Уі = еіх, y2 = x é x.

3.Составим общее решение:

У= С ф 4- С ф = СгеІХ4- С2хеІХ.

1533.		1) g	_	6 g + 9t/ =	0;	2)	у' + 2у' + у = 0.
1534.		y’ -\-8y' + 16г/ = 0,			если	г/=1 при х = 0		и г/' = 1.
Р е ш е н и е .			1. Составим характеристическое уравнение
и найдем		его	корни: r2+ 8 r+ 16 = Ö; г1 — Г2==— 4.
2.	Найдем			частные решения			уравнения:	Уі — е-ІХ\
у2 = хе~**.
3.	Составим ббщее решение:
		у = Сгу1-\-С2у2 = С1е-*х Jr C2xe~iV.						(1)
4.	Найдем у'			равенства	(1):
		у’ =		- 4Сге~*х +	Сф~**-		4Сгхе~іХ.	(2)

5. Подставим начальные данные в уравнения (1) и (2):

Г І ^ С ^ + Са-О-в», \ 1 = — 4С1е° + С2е ° -4 С 2-0-е°

или

П = С Ь

I 1 = —4Сх+ С2,

откуда Ci — 1 и С2= 5.

Подставив найденные значения Сх и С2 в уравнение (1), получим частное решение:

у = е-**+ 5хе~*х.

1535. уг — 10у' + 25 = 0, если у = 2 при х = 0 и у' = 8. Случай III. Корни характеристического уравнения

комплексные. Имеем два частных решения:

уг= е“* cos bx и у2 = еах sin Ьх.

Общее решение имеет вид

у = еах (Ci cos bx + С2 sin bx).

Решить уравнения.

р 36- ® - 6 к + 25= ° -

	г2- 6г + 25 = 0;			г1= 3 + 4г,		г2 — 3 — 4і;
здесь	а = 3 и 6 = 4.				уравнения:
2.	Найдем частные решения
и		Ух= еах cos bx = езх cos 4х
		у2 = еах sin bx — e3Xsin 4х.

3.	Составим общее решение:
у = еах (Ci cos bx + С2 sin bx)= e3X(Cx cos 4x + C2 sin 4x),
		у = e3* (fx cos 4x + C2 sin 4x). '
1537.		1) g - 2 g	+	5 = 0;	2) y’ - 4 y r + 7 = 0.
1538.		y’ — 6y' +	13 = 0, если		у — 1	при x = 0 и у’ = 5.

Ре ш е н и е .

1.Составим характеристическое уравнение и найдем

его корни:		г2— б/- -f-13 = 0;	==3 + 2/, г2 = 3 — 2і;	здесь
a — 3 и 6 =		2.
2.	Найдем частные решения уравнения:
		y1= e3*cos2x	и î/2= e3*sin2x.
3.	Составим общее решение:
		t/= e3*(C1 cos2x + C2 sin2x).		(1)
4.	Найдем у ’ равенства		(1):

г/ = Зе3*(Схcos 2х + С2sin 2х) + езх(—2Ci sin 2х+ 2Сгcos 2х) =

=	е3* (ЗСі cos 2х + ЗС2 sin 2х — 2Сі sin 2х + 2С2 cos 2х) =
	= e3ï [(3C1+ 2C2)cos2x + (3C2- 2 C 1)sin2x].		(2)
5. Подставим		начальные данные в уравнения (1) и (2):
		1 = е° (Сх cos 0 + С2 sin 0),
	5	= е° [(ЗСі + 2С2) cos 0 + (ЗС2- 2Сг) sin 0]
или	1 = СЬ 5 = ЗСі + 2С2, откуда С і= 1 и С2= 1 .

Подставив найденные значения Сх и С2 в уравнение (1),

получим	частное решение: у = е*{сo s2x + sin 2x).
1539.	у*-\-9у — 0, если у — 1 при х = - \| иі/' = - 6.

§ 84.» Смешанные задачи

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1540.

ds —sctgt dt — 0,

если

s — 2

при

t —

1541.

(1 — y)dx-\-(\ + х) dy — 0,

если

у = 3

при

лс =

1542.

(1 — x2)dy — xydx,

если

у = 1

при

х — 0.

1543.

x2dy-\-(x — \)ydx = 0,

если

у = \

при

х — 1.

1544.

ху2 dy = (х3+ -J У3) dx,

если

у = 3

при х = 1 .

1545.

ху dy — (x2 —y2) dx,

если

у —О

при

X — 1.

1546.

— 2у — 4 = 0,

если

у — — \

при

х —0.

если

yt=5

при

X =

0 .

Ш 7 ‘

1548.

^ т = —

если

s==2

при

/==1 и Л = І-

1549.

+ 2 ^ |- 8 г / = О,

если

у = 4

при

х = 0 ,

Контрольная работа

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

І в а р и а н т

1550. 1.

4ху £?х = (дс3+ 1) dy, если

у — 4 при

х = 1 .

X dy =

(х — у) dx,

если

у — 3 при х = 8.

^ - +

4ÿ — 2 = 0,

если

ПРИ * = 0.

. d * s

6/ — 4, если s =

при

< =

„

-т.ѵ =

-,т =

d t 1

d t

ь. îx*+<ïi ï ~ 6y==0’ если ÿ==5>пРи *=о. « ^ = 0-

			II в а р и а н т
1551. 1.	(*2+	1) dy — xy dx,		если y = 2 при * =		] / з \
2.	хг dy = (xy— y2) dx, если				y — 1 при x = \ ,
о	dy	»	r>	3	при * = ° -
3-	^ - =	4ÿ — 2, если		t / = y	при * = ° -
4-	^f- =	6f-f-8, если		s = 1 2 ,	при t = — 2,	и ■—
.	d*y	dy					ÿ-=o.
5 "	d x i ~	d x	~ 2 y = = ° t если		2/==3* при	и	ÿ-=o.
5 "	d x i ~	d x	~ 2 y = = ° t если		2/==3* при	и	ах

ОТВЕТЫ

2. 1)

2) 3 / 5 .

13.

15+

5 / 5 ;

18 + 2 /1 7 .

6 . Оу(4; —1).

Oj (4;

—3),

г =

13.

9. Л + (—2;

0),

M2 (22;

0).

1 0 . Лх(0;

- 5 ) ,

ß 2 (0;

3).

12.

(0;

- 3 );

(0;

5).

М2(—5;

13.

(1;

0);

(—4;

0).

15.

M t (— 13;

—13),

—5);

Му (2;

2),

М2 (10;

10). 17. Му ( - 5 ;

10),

/И2 (7;

10).

18.

Лі

(13;

- 2 ),

Л2 (13;

8 ).

20.

С (2;

- 1 ) ; 2)

С (2;

—5).

22.

(2; 1).

23.

А ( - 1; 8 ).

25. (6 ; —2),

(—2;

4) и (—6 ; —6 ).

27.

С (6 ; 4).

28.

Су (5; —4)

С2 (8 ; —7). Задача имеет два решения, так как в условии задачи нет

указания от какой из конечных

точек

отрезка

он делится

в данном

отношении

(от А

В или

от

А)

30. (—2;

—0,5)

(2;

1,5).

32.

(1 ;

1 )

и (—1; 5). 34. (—3; —1), (1; 0), (5; 1)

и (9;

2). 36.А (—18; 9).

37.

В (2; —1). 39.

С (4; —9). 40. С (9; 5).

42. С (2;

—5).

43.

Р (17; 9).

45.

IV (0;

4).

46.

А (— 11; —2).

48.

(—4/3; —4/3).

(—2;

1);

(—2/3;

2).

52.

(2; 1). 54. (—2;

3).

56.

(4;

—1).

57.

1) (2; 3); 2) (—2; 3); 3) (2; —3);

(—3; —2).

58.

1)(3; —1)

и(1; - 7 ) ;

2) (- 3 ;

- 1 )

( - 1 ;

- 7 ) ;

(3;

и (1;

7);

4)( - 1 ; 3)

(-7;

1).

(1;

59.

1) (—3; - 2 ) ,

( - 7 ;

- 4 )

и (- 1 ;

6 );

2) (3; - 2 ) ,

(7, —4)

6 );

3) ( - 3 ; 2),

( - 7 ;

4) и(-1 ;

6 );

(2;

3),

(4;

и (6 ; 1).

65.

60.

13.

61.

10.

62.

А ( - 8 ;

—3). 63.

(—3;

—3).

64.

D (6 ; —3).

D (—2; —2);

6 6 .

С (5;

—5)

D (1;

—7).

67.

С(1;

D ( - 2 ; - 4 ) .

6 8 .

1) М (0; - 3 ) ;

2) ( - 1 ;

(1;

2);

А (4;

4);

С(11;

5);

Му (2;

—2),

М2(10;

— 10).

69.

Му (—10;

10),

М2(6 ;

10);

С (4;

- 3 ) ;

(5;

(8 ;

3);

4) В (7;

4); 5)

С (8 ; - 2 ) .

80.

75.

і/ + 4 =

76. лг +

6 =

77.

(кв.

ед.)

78.

(кв.

ед.).

{/ =

х = — 4;

у — — 3

х =

81.

х = 2; 1 у — 0;

х = 5;

У = з.

Точки Л (9;

—3)

ß ( —1;

1/3)

принадлежат,

точка

С (8 ; 4)

85.

не

принадлежит.

87.

1) х +

у =

4х — у — 0.

89.

- у

(30°)J

2) - у (120°); 3) 78°4Г; 4) 108°26'. 91.

1) /Злг —г/=

0; 2) / З х - З г / =

3) * +

г/=

0; 4) Зх—у = 0; 5 )5 х + у =

93.

1) 2х+г/ = 0; 2) 5л:—{/= 0.

95. Р

(4; 3). S6 . (0; 0), (12; 0), (12;

16)

(0;

16).

Точки М и N

98.

1) (2; 0) и (0; 4); 2) (—5; 0)

(0;

—5).

101.

принадлежат, точка

Р не

принадлежит.

102. Точки

и В

принад

лежат, точка С не принадлежит.

104‘

У—■§-*— у .

*4106-

У— - у --X —2;

г/ = —х—2;

3) у = 2л: —2. 107. 1) а=*=81°52'; 2) а =

135°; 3) а=22°18'; 4) а^=109о05'.

109.

г/ =

— 2х— 12.

111. у = — 2 х + 3 .

112.

г/= — X—5. 114.'1) (—4; 0)

и (0;

—5);

(—2;

и (0;

7).

117.

Точки

Л,

С и D

принадлежат,

точка

не

принадлежит.

119.

1) у = ----g -x — g-;

г/= -уХ +

1 2

1 .

1 ) 149°02';

70°59\

123.

15.

125.

М (2;

- 1 ).

126.

( - 4 ;

- 2 ) .

446

129. Третья точка не принадлежит прямой, остальные принад

лежат.

131.

1) у

- | = і ;

—-J

у —=

-g— 1—

1 ;

~~3

- ^ . + - | - =

1 .

133.

5 х + 2 |/- 1 0 =

А х - З у -

12=

2х +

3{/ — 1 = 0 .

135.

- ^ -

£ = 1 ;

2) -у - +

^ = » 1 ;

- у

+ - § - = ! • 137.

«! =

- 5 ;

ÿ =

- i - x + 2; 3)

г/ = - - | _

х +

139.

2 +

|- = 1 ;

2) у

^ 4 = 1 .

141. 1) 10; 2) 20.

143.

1) 158°12'і

75*58'.

y-{-2 = k (*+4).

х — у = 0.

145.

147.

1 )

(—1;

—4);

(2;

0).

149.

150. 2х + у — 4 = 0.

152. Зх +

г/—7 = 0.

153.

1 )

х —{ /+ 1 = 0 ;

2) х +

у — 5 = 0.

0; 2) 4х +

3 { /- 12 =

156.

1) AB : 7х— Ау+

13 =

155.

1) X — {/ =

ßC : 9х +

7{/ — 44 =

и ЛС : 2 х + 11{/ +

28 = 0;

2х— у — 1 = 0 ,

5х +

{/ — 20 = 0 и Зх— 5у— 12 = 0.

157.

1) х + { / - 1 = 0; 2) х — 2{/— 2 = 0.

159.

1) arctg 0 ,8 «й 38°39';

2) arctg (—3) «= 108°26'; 161.

о =

6= — 5.

162.

(0; 3).

164.

х — у + 3 = 0.

165.

х + { / - 2 =

(5; 2)

( - 5 ;

0)J

167.

( - 1 ; - 3 ) ;

(4; - 2 ) .

169.

1) ( - 2 ;

- 4 ) ,

(4;

1),

( - 3 ; - 3 )

и (1;

6 ).

171.

arctg 2 «s 63°26';

arctg

37°52';

arctg ~

31°20'.

173.

arctg 2,4 «== 67°23',

arctg 1,5 «= 56°19'

arctg 1,5 ^

56°19'j

2) arctg ^ = a 76°16', arctg ^|«=43°45'и arctg ||^ 5 9 ° 5 9 '.

175.

arctg

^4 6 °5 Г .

ок

«s49°58'.

178.

Л«=+5°46',

ß =

23°38',

176. a rc tg ~

C=^130°3G';

2) Л «= 67°23',

ß = C=«59°19'.

180.

arctg 0,75 «s36°52\

182.

arctg о 5

48°22'.

183.

arctg 8 =« 82°52'.

185.

arctg47

29°53\

187.

arctg

35°32'.

188.45°.

190.

2x —{/+

9 = 0,

Пх — 2y +

32 =

191.

г/=

(—1;

0);

x = 0 ,

(0;

1).

193.

y = — Зх

У =

- у

;

{/ =

-----у х

и ÿ

- | r .

195.

{/+ 2 =

197.

5х — 3{/ +

21 = 0 .

198.

Зх +

4{/+19 =

199.

7х + 5 ы + 2 6 =

200.

X —бу — 25 = 0.

201. х — 4 {/+ 6 = 0.

202. х — 2 {/+ 2 = 0.

204. 2х +

5{/ +

7 = 0.

205.

5х +

6{/ +

14 =

206.

Зх— 2г/ =

207.

5х— 9{/+

26 =

208.

х + {/ + 3 = 0

и X — у — 3 =

0. 209.

х + 3 {/ =

210. х —

— {/ — 5 = 0.

211. 2х— 3{/+10 = 0.

213. 2х— 3 { /+ 1 = 0 .

214. 7х+3{/ +

+20 = 0.

216.

10х +

3{/+ 2 =

5 х + 9 г /+ 2 =

5х— 6{/ =

Оз

2) х + { / + 10 = 0,

15х +

4{/— 18 = 0

10х— г/— 6 8 = 0 .

218.

1) 2х —

— Пу — 29 = 0,

5х— Зг/+10 = 0

3x + 8ÿ + 39 = 0; 2) х + 2 {/— 5 = 0,

X — {/=

и 2х +

г/— 5 =

220.

5. 221.

10. 223. 1) 10; 2) 13.

224.

k = 2.

225.

(—2;

—7).

226.

х — 6{/=

Зх— 2г/ = 0.

227.

X— 6{/ = 0,

2х— 3у = 0.

228.

8х — 11{/+2 = 0,5х — 2у — 15 = 0,.

2х+ 7{/ — 32 =

229. 9 х + 11^ +

24 =

230. (6;

2).

231.

5х -1 2 г/ =

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4845 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ