Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

220

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4844 45 46 47 48 > Следующая >>>

7. При условии (7) уравнение (6) примет вид:

		d z _			1					(И)
		dx		cos X'						(И)
8 .	Подставим в	уравнение				(11) значение и			из	равен
ства (10):			dz		1
			dz	=	1					( 12)
	cos X -j-			=	----- .					( 12)
			dx		cos X
9.	Разделим переменные в				уравнении		(12):
	d z			dx						(13)
	d z		cos2		X '					(13)
			cos2		X '
10.	Проинтегрируем	равенство				(13):
										(14)
11.	Подставим значения				и	и г из	равенств(10)		и	(14)
в равенство (3):
	у = cos X (tg X + С) =				sin X -j- С cos X.					(15)
12.	Проверка. Найдем		--	из равенства (15):
			dx
	dy_	cosx — C sin*.								(16)
	dx ’
Подставим значения		~	из равенства (16)					и у из	равен
ства (15) в уравнение (2):
	cos X —С sin х +	(sin х +			С cos х) tg х —			;
	cosX— С sinx-H------- PC smx = ---- ;
		1	cos	X			cos X
	cos2 X		sin2 X __			1
		cos X			cos X '

Получили тождество.

13.Подставим начальные условия х — 0 и у — 1 в общее


решение	(15):	1 = sinO + Ccos0, откуда С =1 .						Следова
тельно,	частное		решение будет: ÿ = sinХт(-cosx.
1508.	1)	~	\ ~+Нр — ПРх2		=	если у = 3		прих = 0;
	2) d ~ x ~ ^x ~ еХх3’			если	У = е ПРИ		х==1>
	3^ fx + 4 ==^>			если	у ==1	при	* = 2 -

§ 82. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение, содержащее производные или дифферен циалы второго порядка, называется дифференциальным

уравнением второго порядка. Уравнение вида ~ =

= f[x, у, dydx называется полным дифференциальным

уравнением второго порядка.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Имеются следующие пять видов неполных уравнений

второго порядка: I)		I I		\<Ру —
	d*y	1	4	d x * ~ ' \dx
IV)		/ (уУ
	dx2			ѵ	>	5 = ф . \|
Рассмотрим решения	случаев		I,	II	и	III.

I. Решение уравнения вида dx2 = f(x)

По определению второй производной следует:

— É. (dy)	'	(I)
dx2 dx \dxj	'	(I)
тогда
d №		І2)
		І2)
откуда
d { ï ) = f ( x) dx-		(3)

Проинтегрировав ббе части равенства (3), получим:

	(4)
откуда
% = ] f { x ) d x = F{x) + C1	(5)
или	(6)
dy = F {x) dx -фCi dx.	(6)

429

Проинтегрировав обе части равенства (6), получим

общее

решение:

у — $ F (х) сД+

$ Сх dx =

г|> (х) + Сгх + С2.

Для получения частного решения нужно найти число

вые значения произвольных

постоянных

С2,

но для

этого должны быть заданы начальные условия, т. е. чис

ловые

значения х и

у.

уравнений.

(

Найти

частные решения

1509.

если у = 2 при

х — 0 и у = 3 при

лг== 1.

Р е ш е н и е .

По условию / (х) = 0, так

как

S = ° -

<»

По определению второй производной имеем:

)

= °

илиd { ï ) = ° - dx’

(2)

Интегрируем

равенство (2):

J 0 - dx;

ÿx = Clt

откуда

dy = Сг dx. (3)

4 3.

Интегрируем

равенство (3):

^ d y ^ C ^ d x ,

y = Ctx + C2.

(4)

Получили общее решение уравнения (1).

начальным

Найдем

частное

решение по

данным

условиям, подставив их в общее решение (4).

Имеем си

стему

уравнений

первой

степени:

I 2 = С10 + С2,

12 = С2,

I 3 = е д + с 2

и л и ( з = с 1+ с , .

Откуда

Сх= 1

и С2==2.

Частное решение

имеет вид

У = х + 2.

d2u

если у = 0 при .х = 0 и у — 1

при х — 1.

1510. — =

d2tf

если у = 0 при х = 0 и у = 1

при х — 1.

1511. ~

= 4,

Р е ш е н и е . По условию f (х) = 4, так как

&У — 4 dx* ~

' •	е ( е ) = 4 и л и d ( I ) “			4 ‘' * -	<2 >
2-	И ® =4^		æ = 4 jt+ c ‘’ откУда
		dy — ixdx-\- Схdx.			(3)
3.	^dy — i ^ x d x + C ^ d x ,			y = 2x2 + C1x-\-Ci.	(4)
Получили общее решение.					(4)
4.	Найдем частное решение, подставив в уравнение
начальные данные:
		f 0 = 2-02+ Сі -0 + С2,
		( 1 = 2	• 12 +	Cj • 1 + С2,
откуда Сх = — 1		и С2 — 0.
Частное решение имеет вид у==2х2 —х.
1512. d2u		если у = 0		при х = 0 и у = 3 при л;= 2 .

1513. —- = 6С если s = 0 при ^ = 0 и ~ = 1 0 .

Р е ш е н и е . По условию f (t) — 6t, так как

	£ = « •
1.	я ( І ) = « ™ d ( § ) = « * ■
	я ( І ) = « ™ d ( § ) = « * ■
2.	S „ ( § ) - e S * Ä . откуда § = 3*> + С,;

ds = З/2 d/ + Схd/.

3.$ds = 3$*2d/ + Cx$d/,

s = /3 + Cx^ + C2.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4.	Найдем частное решение, подставив в уравнения
(6) и (3) начальные данные:
	f	0 =	03+ Сх0 + С2,
	\	10 =	3-02+ Сі,

откуда С і= 10 и С2= 0.

Частное решение имеет вид s = ^3+10^.

1514.	1) jp= 12t, если s = 2 при						t = О и	^	= 20;
1515.	2) ~ \| = sin;t, если				у = О	при х — 0 и			— = 2.
~ = = 1 8 / + 2,			если	при / = 0 s = 4 и ^				= 5.
Р еш ен и е .
			\|l = 1 8 f + 2.				.		(1)
1.	\|( j f ) = i 8 / + 2 , d ( § ) ~ m d i + 2 d t .								т
2.		И £	) в	1 8 $ ' Л + 2			$ Л ;		(3).
		^ = 9/*+			2/ + Сх,				(4)
откуда		ds = 9fad/ +			2/d/ +	C1rff.			(5)
		ds = 9fad/ +			2/d/ +	C1rff.			(5)
3.		5ds = 9j/*d/ + 25/rf/ + C1jÄ,							(6)
		s = 3/3+ /2+ C1/ + C2.							(7)
Получили общее решение.							подставив		в уравнения
4.	Найдем частное решение,						подставив		в уравнения
(7) и (4) начальные			данные:
		J 4 = 3-03+ 02+ С1-0 + С2>
		\ 5 = 9-02+ 2-0 + Сь
откуда Cj = 5 и С2= 4.
Имеем частное решение 5 = 3/3+ *2+ 5/ + 4.
1516.	=	1,	если s = 0 при			/ = 0 и ^		=	— у .
1517. Ускорение			свободно падающего тела
		§	= & (g ^ 9 ,8 м/с2).
Найти закон		движения		свободно		падающего тела за te,
если при	t = 0	s = s0 и ~		= и0.
Р е ш е н и е .				cPs
				cPs					(1)
				dt» ~					(1)
1.				d [ i i ) =		e dt-			(2)

2 .

l d ( Ë - ë [ d f , S - g t + Ci,

(3)

откуда					ds = gt dt + Ci dt,						(4)
					ds = gt dt + Ci dt,						(4)
3.					\ds = g [ t d t + C ild t ,						(5)
					s =	f +	C!/ +	C2.			(6)
Получили общее решение.								подставив		в уравнения
4.	Найдем			частное		решение,		подставив		в уравнения
(6) и (3)		начальные данные:
					I So = у • О2 4- СіО+ С2,
				Д ѵй= g ■0 + Сі,
откуда Сі = у0				и С2= So-
Имеем частное					решение s = ^- + ^				+ s0.
1518.		^	= со2,		если	при	ю = 0	Ѳ= 0 и		=	12.
			II. Решение уравнения вида						=
Найти			частные		решения уравнений.
1 5 1 9 - 0			= 2 І .		е с л и У =		Р и л = = 0 И І = 1 '
Р е ш е н и е .				1. Положим
						dy					(1)
Тогда						dx — г.					(1)
Тогда						d^y	dz
						d^y	dz				(2)
						dx2	dx’				(2)
2.	Подставим значения ~						и ~	из	равенств		(1) и (2)
в данное		уравнение:				dz
						dz	2г.				(3)
						dx =	2г.				(3)
Получили уравнение						первого		порядка с разделяющи
мися переменными.
3.	Произведем разделение переменных:
						—— 2 dx.					(4)

Интегрируем равенство

(4);

^ у = 2 ^ dx,

lnz = 2х -\-Съ

откуда

г = е2*+с‘.

(5)

5. Произведем обратную замену в равенстве (5) из

равенства

(1):

^У — р2х + С{

(6)

откуда

d x ~ e

’

dy = e2x+c*dx.

( 7 )

6 .

Интегрируем равенство

(7):

^ dy=

^ е2х+с>dx,

y = Y e2x+Ci + C2.

(8)

Получили общее решение.

подставив

уравнения

(8)

Найдем

частное решение,

(6) начальные данные:

= ^_е2.о+с1+ Са)

f - 4 < * + с „

или

_ е 2-0 + С,

1 —ес\

откуда Сі = 0 и С2==1.

Имеем частное решение у-

-е2х+ \ .

1520.

% = %,

если при у = 2, х = 0 и

1521.

Гибкая однородная нить подвешена за два конца

в точках А и В (так подвешиваются

провода, канаты, це

пи).

Составить

уравнение

кривой, по которой распо

ложена

нить,

под

дей

ствием

соответствующего

веса

(рис.

182).

ка

Р е ш е н и е . Пусть точ

С (0;

Ь)

самая

низкая

точка нити,

Л4 — ее произ

вольная

точка.

Рассмот

рим

равновесие

правой

части нити СМ. Эта часть

нити находится в равнове

сии под действием трех сил:

1) натяжения Т, действующего по касательной

в точ

ке

М',

составляет с осью Ох угол

а;

2) натяжения Н в точке С, действующего горизон


тально;	нити		/б, направленного	вертикально вниз, где
3) веса
/ — длина	дуги		СМ, б —линейная плотность нити.
Разложим		натяжение Т на две		составляющие — гори
зонтальную и		вертикальную: Т cos ос и Т sin а.
Получим уравнение равновесия:

7’sina = — /б, T cosa = — H.

Разделив первое равенство на второе, получим:

tg a = 7j l ,

по

Обозначив -g- = û» получим:

dy _ J_ dx a

Продифференцируем обе части равенства (3) по х:

но

(1)

(2)

( 3 )

( 4 )

	( 5 )
Подставив значение	из равенства (5) в равенство

(4), получим дифференциальное уравнение:

Заменим % = г , тогда g = § . Уравнение (6) примет вид:

Z = ~ V T + ? .

(7)

Получим уравнение с разделяющимися переменными:

dz	dx.	(8)
а

I T T W = « S dx; M * + K l + * ■ > = + + <* (9)

Найдем частное решение, зная, что при х-=

(производная в точке С). Подставим эти уравнение (9):

0 г = ~ —0 ах

значения в

	In (0 + у Т + 0 * ) = 1 . 0 + Сі,
откуда	Сх=	In 1 = 0 .
	Сх=	In 1 = 0 .
Частное	решение будет:
	In (2 + У 1 + г 2) = 1 л ;		(10)
ИЛИ
	X		(И)
	е а = г +	У 1 + г 2,	(И)
ИЛИ
	е а — г — У 1 + г 2.		(12)
Возведем	равенство (12)	в квадрат:

	2х	X
	е а — 2еа		z +		г2=	1 + гг
ИЛИ	х						2х
2х	х					X	2х
е а	—2еа 2 =	1,	или		2еа г — е а — 1.
					X
Разделим	равенство	(14)		на еа :
	X				X	— е	X
	2г— еа --------1			=	е °	— е	а
или		е
или
	г = , і ( Д _ е - т ) .
Произведем обратную замену г = ~ \|:							•

(13)

(И)

(15)

(16)

(17)

гіг/= у ( е а — е а ) dx.

Проинтегрируем уравнение	(18):
у = ~ ( а е а +ае~ а )-f-Ca или	у = ~ { е ° ~ + е~ + С2.

(19)

Найдем частное решение, зная, что при * = 0 у = Ь:

Ь = Y (е° + е°) + С2 или 6 = а + С2, откуда С2 = Ь-г-а.

Тогда уравнение (19) примет вид:

		у = ~ \ е а + е а ) + Ь - а .									(20)
Если Ь — а,		то уравнение			цепной			линии	(20)		прини
мает наиболее		простой вид:
				+	е	~	а )•
III.	Решение		уравнения		вида			=	^
,522- ѣ	=		если		у==2 ПРИ				и	І	= 8 -
Р е ш е н и е .		1. Положим
			- У —		г						(1 )
			d x		г >						(1 )
тогда			d 2y		dz
			d 2y		dz						(2)
			dx2		d x ’						(2)
			dx2		d x ’
2. Подставив значения				~	и ^		из	равенств		(2) и (1)
в данное уравнение,			получим:
			dz		1	„					(3 )
			d x	х + 2							(3 )
			d x	х + 2

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4844 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ