Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

1.	Положим		ох,	(2)
	У=		ох,	(2)
где о —новая функция от х.		произведения:
2.	Найдем дифференциал	произведения:
	dy — xdu-\-v dx.			(3)
3.	Подставим значения	у	и dy из равенств	(2) и (3)
в уравнение (1):
	(x-\-vx) dx —x(xdv-\-v dx) = 0.			(4)

4.Произведем в уравнении (4) упрощения:

xdx-\-их dx —х%dv —xvdx = 0, xdx —хг du = 0 .

Сократим на x:
		dx —xdv —0.	(5)
Получили	уравнение с разделяющимися переменными.
5. Разделим переменные:
		d u = % .	(6)
6 . Проинтегрируем обе части уравнения (6):
^ dv =	^	и = 1пд: + 1пС или ѵ= \п(Сх).	(7)
7. Подставим		выражение (7) в подстановку (2):
		у — х\п (Сх).	(8)
Получили общее решение дифференциального уравне
ния.	Найдем дифференциал общего решения		(8):
Проверка.	Найдем дифференциал общего решения		(8):
dy —x ^ C d x + dx In (Сх) = dx-{-dx ln (Сх).			(9)
Подставим	в	уравнение (1) общее решение (8) и его
дифференциал	(9):

[х + x In (Сх)] dx —x [dx + dx ln (Ос)] = 0, x dx + x ln (Cx) dx —xdx —x ln (Cx) dx = 0.

Получили тождество.

1494.		(x + y) d x x dy = 0.
1495.		(х + у) dx-\~(y — х) dy — ö.
Р е ш е н и е . Уравнение
		(x+y)dx + (y —x)dy = 0			(1)
однородное первой степени.
1.	Положим				(2)
		У —	ѵх.		(2)
2.	Найдем дифференциал		равенства	(2)j
		dy — vdx + xdv,			(3)
3.	Подставим значения		у и dy из	равенств	(2) и (3)
в уравнение (1):
		(х + vx) dx + (vx —х) (ѵdx + X dv) — 0.			(4)
4.	Произведем в уравнении (4) упрощения:

xdx-{- vx dx + v2x dx + x2v dv —v x d x —x2 dv — 0;

xdx-\-v2xdx-\-x2u dv —x2dv —0 ;

x(l V2) d x x 2 (v — 1) dv — 0.

(5)

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

5.Разделим переменные, для чего разделим все члены

уравнения на произведение д:2 (1 + ц 2):

dx ,	v — 1	(6)
x	1 + D2 dv = 0	(6)

Представим второй член уравнения в виде разности:

.	1 È L ___ - о		п\
X '	1 +	1 + Ѵ 2

6. Проинтегрируем обе части уравнения (7):

V ил I	V и ио	\ ии Г'	(8)
I	} ï + ï 5' -	) Т+& — Ь і’
ln x + у	ln (1 -f v2) — arctg v = Cx;		(9)

2 ln x + ln (1 -f v2) — 2 arctg v = 2СЪ

( 10)

7. Из пункта (1) ѵ=-~; подставим это значение ѵ

в уравнение (10) и положим 2Сі = С:

	2 1n * + l n ( l + g ) —2 arctgf-= С;
	1пл:2+ 1іі^-~^— 2 arctg-j = C
	или In (х2+ г/2) — 2 arctg-j — С.
1496.	(x —у) dx + (х-\- У) dy — 0.
1497.	(2 V x y — x) dy + y dx = 0.
Р е ш е н и е . Уравнение
	(2 V x y - x)dy + ydx = 0				(1)
однородное первой степени.
1. Подстановка
	у = ѵх.				(2)
2. Найдем дифференциал функции (2):
	dy — vdx + xdv.			■	(3)
3. Подставим значения		у и	dy из равенств	(2) и	(3)
в уравнение (1):
	(2 Ухѵх —х) (ѵ dx-\-x dv)-{-vx dx = 0.				(4)
4. Произведем в уравнении (4) упрощения:
2х}/'ѵ vdx + 2х2У~ѵ dv — vxdx —x2do + toc cfx= 0 ;
	2v VV d x - i - x (2 y ra — l)dv = 0.				(5)
5. Разделим переменные в уравнении (5):
	Т +		3 dv = 0.		(6)
6 . Интегрируем уравнение (6):
	1пх+1пп + ^ =	С1,	\пу — Сі — Y -		(7)
	_ у Т	v T

или у —ес'е у или уе у = С.

1498. (* — у) dx + x dy — 0.

1499. X cos	(y dx-\-xdy) — y sin— (л: dy —ydx) — 0.
X		X
Р е ш е н и е .	1. Подстановка
	У	ѵх.	(1)
2. Найдем дифференциал функции (1):
	dy = vdx-\-xdv.		(2)
3. Подставим значения		у и dy из равенств	(1) и (2)
в данное уравнение:
Xcos Y [vxdx-\-x (v dx+xdv)] ~
— vx sin ~ [x (v dx-\-x dv) — их dx] — 0 .			(3)

4.Упростим уравнение (3):

,x cos v (2vx dx + x2 dv) — vx sin v (x2 dv) — 0 ;

2vx2 cos vdx + x3 соsu dv — vx3 sin v dv = 0;

	2v cos v x2dx-\- x3(cos v — v sin v) dv = 0 .				(4)
Получили		уравнение с разделяющимися		переменными.
5. Разделим переменные в уравнении (4):
2^	(cosv- ѵ ш ^		2 —- f — — tg цdu = 0 .		(5)
X 3	1	Ü COS V	X 1 V	fe	V '
6 . Интегрируем уравнение			(5):

2 ^ j

^ ^

^ tg и dv = In C, 2 In x -f- In и+

+ln cos u = lnC.

7.Пропотенцируем уравнение (6):

x2v cos v = C

или

x2 — cos — = С, или xycos — = C.

(6)

(7)

1500. x cos lJ dy — y cos — dx-\-xdx —0.

X X

Найти

частные

решения уравнений

1501.

—, —

у2-,

если

у — — 1 при х — \.

Реш ен ие .

1. ~/х = ^ ÿ 2- или ж2 dy =

(ху + у2) dx.

(1)

Подстановка

у =

ѵх.

(2)

Найдем дифференциал равенства (2):

dy = V dx +

X dv.

(3)

Подставим

значения

и dy из равенств

(2)

и (3)

в уравнение (1):

X2 (и dx -+-X dv) =*(хѵх-\- ѵ2х2) dx;

(4)

х2 (ѵ dx +

X dv) = X2(ѵ+ V2) dx.

Сократим на х2 и произведем упрощения:

vdx + xdv = vdx + v2dx или xdv = v2dx.

(5)

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные

уравнении (5):

d v

d x

(6 >

6 . Проинтегрируем уравнение (6):

С d x

„

но так

как

- -- = \пх +

с,

v = f ,

т о ----- = 1пх + С.

(7)

Найдем

по

начальным

данным:

х = 1

у = — 1

постоянное С:

— j-= ln 1 + С ,

откуда С = 1, тогда частным решением будет:

= ln* +

(8)

\пх = -

- 1

х+у

х — е

х + у

УУ

1502. ху2 dy = (х3 у3) dx, если у = 3 при х = 1 .

§ 81. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида / (х) у + у (х) = 0 называется ли нейным дифференциальным уравнением первого порядка.


В	частном случае / (х) и ф (х) могут быть постоян
ными	величинами.			переменными
Это		уравнение с неразделяющимися
приводится к уравнению с разделяющимися					перемен
ными посредством подстановки y = uz, где и				и	г —новые
функции от X.			уравнения надо найти и и г .
Для		решения
Найти общие			решения уравнений.

1 5 0 3 . ^ —2у —3 = 0. Р е ш е н и е .

	1.	- g - 2 y - 3 = 0 .				(1 )
В	уравнении (1) /(х) = — 2		и ф (х) = — 3.			Положим
		У = иг,				(2)
где и и г новые функции от х.				Необходимо найти эти
функции и поставить их в равенство (2), получим иско
мую функцию у.
2.	Продифференцируем равенство (2) по переменному х:
	du	dz .	2	du		(3)
	dx	dx 1		dx *
	"л—' == W — 1“			—
3)	Подставим значения у		и ^		из равенств (2) и (3)
в уравнение (1):
	“ s +	* s - 2“z -		3 = 0-		<4>
Чтобы найти первой функцию г,					сгруппируем члены,
содержащие функцию и, и вынесем эту функцию за скобку:
	“ ( а -	2г) + г т	~ 3 =°-			<5>

Если будем первой находить функцию и, то сгруппи руем члены, содержащие функцию г, и вынесем эту функ цию за скобку:

“ l + z ( s - 2“) - 3 = ° -

(в)

Какую из этих функций находить первой, значения не

имеет.

4. Будем находить первой функцию и, тогда в равен стве (6) приравняем нулю выражение в скобках:

~ — 2и = 0.

(7)

5. Разделим переменные в уравнении (7):

— - 2 d x = 0.

(8)

6. Проинтегрируем обе части уравнения (8):

Найдем одно из частных решений уравнения (8), по этому при интегрировании обеих частей уравнения (8) произвольное постоянное С примем равным нулю, т. е.

откуда		In и = 2х,					(9)
откуда		и = е2х.					(10)
		и = е2х.					(10)
7. При условии (7)		уравнение (6) примет вид:					(И)
		dx					(И)
		u j - 3 = 0.
8 . Подставим в уравнение				(11) значение и из уравне-
ния (10):				з= 0.
		dx		з= 0.			(12)
9.	Разделим переменные в			уравнении (12):
		,		3dx			(13)
		dz = e,x-.					(13)
10.	Проинтегрируем	равенство			(13):
	$dz = 3 $ £ = 3				г = - \| е - з *	+ С.	(14)
11. Подставим значения			и и г		из равенства	(10) и (14)
в равенство (2):
у=егх[— -\|-0' 2+ c j =			— у e°-j-Ce2== Се2- —у .				(15)

Проверка. Найдем ^ из равенства (15);

dx = 2Се2х.

Подставим значения dy из равенства (16) и у из равен

ства (15) в уравнение (1):

2Се2х— 2 ( Се2

■3 = 0; 2Се2х — 2Се2х+ 3 — 3 = 0.

Получили тождество, следовательно, уравнение (15) является решением уравнения (1).

1 5 0 4 . ® - » - ! =0.

Р е ш е н и е .
1	dy	2у^	( * + 1)3-						(1)
	dx	*4-1	( * + 1)3-						(1)
В уравнении (1)			f (х)			Ï + Ï ,	Ф М = — (х + 1 ) 3		Поло-
жим					y = uz.				(2)
					y = uz.				(2)
2.	Продифференцируем равенство (2) по хі
				dy.		dz .	du		(3)
				dx	U ~dx^~Z T x'				(3)
3.		Подставим значения у					и ^	из равенств	(2) и (3)
в уравнение (1):
			dz	,	d u	2иг	= (*+ !)•		(4)
или		U d x '		Z~dx		X+ 1	= (*+ !)•		(4)
или		dz ,			du	2и			(5)
		dz ,			du	2и	= (X + 1)3.
		“ E + z dx				x + î	= (X + 1)3.
4.	du	2и	~						(6)
4.	dx	* + 1 —							(6)
5.	Разделим		переменные в уравнении (6);
		du	2dx			или	du	2dx	(7)
		и	* - f 1			или	~u	~ J+T*	(7)

6 . Проинтегрируем обе части уравнения (7):
	\ т = 2 \ ^ Г \ > 1пи = 21п ( * + 1).								(8)
Произвольное постоянное С принимаем равным нулю,
т. е. находим одно из частных решений:
		и = (*+1)».							(9)
7. При условии (6) уравнение (5) примет виді
		и % = (х+1?.							(Ю)
8 . Подставим в уравнение					(10)	значение и	из уравне
ния (9):
	( x + \ y f x = ( x + i r				или	g = * + l .			(11)
9. Разделим переменные в уравнении (11):
		dz = {х + 1) dx.							(12)
10. Проинтегрируем обе части уравнения (12):
	^ dz = ^ (х+ 1)dx,				z —^ ~ ^ - + C .				(13)
11.	Подставим	значения			и и г	из равенств (9)		и	(13)
в равенство (2):
	У — (х-\- I)2		+	с] ==		+ £(■*+	1)а.		(14)
Проверка. Найдем			из	равенства (14):
	\|	= 2 ( х + 1 )3+ 2С (*+1).							(15)
Подставим значения			—, из равенства (15)				и у	из	ра
венства (14) в уравнение (1):
2	(X+ I)3+ 2С (X +		1) -			+ С (*+	I)2
			=	( * + 1)3;
2 (X+ I)3 + 2С (X + 1) - (к +					I)3 -	2С (X + 1) = (X +		I)3;
		( х + 1)з =			( х + 1)3.
Получили тождество.

1506.

1) x (~ —xi -Jr2y = 0;

й - г | т ' = < * + 1)*-

Найти

частные

решения уравнений.

X —0.

1507.

cos X dy-\- у sin xdx —dx,

если у = 1

при

Р е ш е н и е .

Все

члены уравнения

cos X dy + у sin X dx — dx

(1)

разделим

на cos xdx:

COS X *

(2)

В уравнение (2)

f(x) = tgx, 4>(x) = — ~ .

Положим:

У ~ uz.

(3 )

Продифференцируем равенство (3) по х:

(4)

= U dx + ZTX-

Подставим значения у

и ^

из

равенств

( 3 )

(4)

в уравнение (2):

dz »

du «

U-J-+ Z-J-+ uz t g x =

----

(5 )

или

dx 1

cos*

dz .

(du .

(6)

U Tx+ Z[Tx + u ië

4 . % + u t g x = 0 .

(7 )

Разделим

переменные

уравнении

(7):

du .

-f tg X dx = 0,

— = — tg Xdx.

(8)

6 . Проинтегрируем равенство (8):

$ т г = -

$ •* * * •

(9)

ln U = ln COS X ,

U= COS X .

(10)

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4843 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ