Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4842 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Умножив обе части уравнения (3)					на	и положив
С = Сі,		получим:
			1	1		(4)
			У2 = 3 х 2+ С Х.			(4)
3.		Проверка	общего	решения.	Взяв	дифференциал
от обеих		частей уравнения (4), получим:
		~ y 2dy = 3-~x'*dx
или			Y ydy = 3 xdx,
или			Y ydy = 3 xdx,
или			dy	Ъйх
			dy	Ъйх
			Yx	F T
Получим уравнение			(1).
4.	Найдем частное решение. Подставим значения х= 1
и у —9 в уравнение			1	1
и у —9 в уравнение			(4): 9 2 = 3 - 1 2-(-Сь откуда Сх = 24.
Подставив значение Сі в уравнение					(4), получим:
			з	з
			у 2 = З х 2+24.			(5)

5. Проверка частного решения. Дифференцируя ура нение (5), получим, как и в п. 3, уравнение (1).

1472. Y - ÿ - = y - , если у = 2 при х = 0; 2)

=	, если У — 4 при х = 0.
	1473. (х — 1) dy = (у-\-1) dx, если у = 3 при	х = 2.
	Р е ше ние .
	( x - \ ) d y = (y+l)dx.	(1)

1.Производим разделение переменных, разделив об

части уравнения (1) на произведение (х — 1) (г/+ 1):

(X— 1) dy	(г/ +	1) dx	или	dy	dx	(2)
(X— 1) ( У + 1) (X— 1)(У+1)				y + 1	x — T ‘

2. Проинтегрируем обе части уравнения (2):
С	dy	_ Ç	rf*			(3)
3	y + 1	3 *	- i	;

ln (ÿ -f 1) = ln (л — 1) -f- ln C

(4)

или

ln (y + l) = ln [ C ( * - ] ) ] f

(5)

откуда

у + 1 —С (х— 1)

или

г/= С( х —1) —1.

(6)

Проверка

общего

решения.

Взяв

дифференциалы

от обеих частей уравнения (6), получим:

dy — Cdx.

(7)

Подставив в уравнение (1) значения

из

равенства

и у из равенства

(6),

получим

тождество:

(X— 1) Cdx = [С(х — 1) — 1 + 1] dx,

(х— 1) Cdx = (х — 1) Cdx.

(8)

4. Найдем частное

решение. Подставим значения х — 2

и у = 3 в уравнение

(6):

3 = С(2 — 1) — 1,

откуда С = 4.

Подставив значение

С = 4

в уравнение

(6),

получим:

г/= 4(х — 1) — 1, или

г/= 4х —5.

(9)

5. Проверка

частного решения.

Взяв дифференциалы

от обеих частей

уравнения (9),

получим,, как

и в п. 3,

тождество.

если у = 3 при х = —2.

1474. 1) (1 + у) dx='(l — х) dy,

(1 +лс) //öfx+

(l — ÿ)xdy~Q ,

если

у = 1

при х = I.

1475. stg t dt-\-ds — 0,

если

при ^ = у

s = 4.

Р е ш е н и е .

s tg t dt + ds —0.

(1)

1. Разделим

переменные:

t g

^ + -^- = 0.

(2)

Проинтегрируем обе части уравнения (2)!

$ t g f d f + $ - £ - =

lnC;

(3)

или

— In cost + Ins = In С

(4)

ln s = ln С + ln cos t,

s —C cos t.

(5)

Проверка общего решения. Из уравнения (5) имеем:

ds = — С sin t dt.

(6)

14 Богом олов H . В .

409

Подставим в уравнение (1) значения s из равенства (5) и ds из равенства (6):

Сcos t t ^ t dt —С sin i dt = 0 или C cos t ^ ~ dt — C sin t dt = О

или C sin t dt — C sin t dt —0.

4. Найдем частное решение. Подставим значения t —

= "- и s = 4 в уравнение (5)! 4 = C coSy,	откуда С = 8.
Подставим значение С = 8 в уравнение (5)і
s = 8 cos t.	(!)
5. Проверка частного решения. Из	равенства (7)
имеем!	(8)
ds = — 8 sin t dt.	(8)

Подставив из равенств (!) и (8) значения s к ds в уравнение (1), получим тождество.

1476. "œ/xœl j == — ctSx sinУ йУ’ если при * = у у = п. Найти общие решения уравнений.

1477. (х2 —ух2) dy + (у2+ ху2) dx = 0. Р е ш е н и е . 1. Разделим переменные!

x * ( \ - y ) d y + y 4 \ + x ) i x = 0, î l f l r ÿ * + t i W l = o,

(1 — y)dy	(1 + * )		dx _	Q
#J2	I	v2
2. Проинтегрируем:
f (1 — y)dy , f (1 + д :)dx	^	f	dy	f dy , f dx ,

+ Sv-c.								f= c .
-—	ln г/— — + ln.			=C. или		-i—J—i- + ln г/ — ln* — C
y	a	X	1	x+y
			или	x+y	•l n T “ C-
				xy	•l n T “ C-
1478. x yd x — (1 + x 2)					0.
1479.	г/2й!х +	(л:-2)о(г/ =			0.
Р е ше н и е .		1.	Разделим		переменные:
	У2 dx		(х — 2)dy		n	dx	dy	п
	y2( x - 2 )		y2( x - 2 )		’	x — 2	~	'

2.	Проинтегрируем!
	$ ï = 5 + $ f l = C , \ ^ \ y - > ä y = C,
	ln (л: — 2) — у	= С,	1 п (х -2 )= Д + С.
І + с	i	l	1
ey	— x — 2, еУес = х —2,		е«Сі = х —2, х = Сіб^ + 2.

1480.	X2 dy — (2ху -J- Зу) dx = 0.
1481.	У 1 — X2 dy — У 1 — у2 dx = 0.
Р е ше н и е . 1. Разделим переменные!
	1^1 — x2 dy	'	у	1 —у2 гід;
	р Т ^ х 2" р Т = ^	—	]/Г Г ^ 2		ут~Гу*
	dy_________ dx			_	n

ѴТ=7

2.Проинтегрируем:

Г	rfÿ...	— Г	— = С,, arcsin у —arcsin х- =С.
J	Ѵ і - у 2	J	р 1 —X2	у
	1/1	J	р 1 —X2

Выполним следующие преобразования:

sin (arcsinу — arcsin x) = sin C= Cp

sin (arcsin y) cos (arcsin x) — cos (arcsin y) sin (arcsin x) : C,.

'Вычислим каждый из членов:

1)sin (arcsinу) = у,

2)cos (arcs in x).

Пусть	arcsin x = z, тогда sinz = x,	a cos z = \ — x2,
следовательно, cos (arcsin x )= V 1—x2;		3)	cos (arcsin г/).
Диалогично, cos (arcsin y) = V 1 — y2; 4)			sin (arcsin x) — x,
тогда sin (arcsin у — arccos x) = у У~1 — x2 — x				1 — y2= Ci.
Общее решение: t/V^l — x2 — x ] / l — у2 — Сг.
1482.	(\-\-yi) d x ~ y rxdy = Q.		тела	по оси Ох,
1483.	Составить уравнение движения

если тело начало двигаться из точки М (4, 0) со скоростью

o=>2t + 3tK

Р е ше н и е . При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через x, имеем:

ѵ = тогда ^ = 2^+ 3/2 или dx = 2tdt + 3t2 dt. Проинтег рировав, получим: x = t2-\-t3-{-C. Из начальных условий

найдем С. В условии задачи дано, что при / = 0 х = 4. Подставив эти значения в общее решение, получим: С = 4.

Уравнение прямолинейного движения тела по оси Ох имеет вид

= +	+	I,
1484. Составить уравнение движения тела			по оси Оу,
если тело начало двигаться	из	точки М (0,	6) со ско

ростью v = 4t — 6t2.

1485. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2, —3) и имеющей касательную с угловым коэф фициентом k = 4x —3.

Р е ш е н и е . В условии задачи дано:

d^ = k — 4x — 3 или dy = 4х dx —'3 dx.

Проинтегрировав, получим у = 2х2 — Зх-\-С. При х — 2


и у — —3 С = —5,					тогда у — 2х2 —3х — 5.					через
1486.		Составить			уравнение кривой, проходящей
точку	М (2, —1) и				имеющей касательную с угловым ко
эффициентом k — ~ .
1487.		Вода в открытом резервуаре вначале имела тем
пературу			70° С,	через		10	мин	температура	воды	стала
65° С,	температура				окружающей			резервуар	среды	15° С.
Найти:		1)	температуру			воды в резервуаре через 30 мин
от начального момента;						2)	в какой момент времени тем
пература		воды в		резервуаре			будет 20° С.
Р е ше ние .				1. Составим функцию закона охлаждения
воды,	как		функцию времени /,					обозначив	переменную

температуру воды через Т. Скорость охлаждения воды

есть	скорость		изменения функции,	связывающей t		и Т,
т. е. это		будет	производная
		dT	пропорциональна	разности	температур
Скорость ~
воды	в	резервуаре и окружающей		резервуар	среды,	т. е.

k (Т — 15°), где k — коэффициент пропорциональности. Тогда

~ = k ( T - 15°).			(1)
Разделив переменные,	имеем:
	dT	kdt .	(2)
Г	- 15

2. Проинтегрируем уравнение (2):

5 fZTi5= 5 k d t , \ n ( T - 15°) = k t + С

или

T — \b = ekt+ с ~ емес = еь‘Съ откуда T — Cxekt + 15 . (3)

Получили закон охлаждения, где t —время и Г —темпе ратура воды — конечные переменные.

3. Найдем постоянную величину Сх при начальных дан ных: при t — О, 7’ = 70°С.

Имеем:

70° = Схе ^ + 1 5 ° или 55° = Схе° = Сх• 1 *±= Ci, Сі = 55°. (4)

Подставив значение Сх из равенства (4) в равенство (3), получим:

Т = 55°е*г + 15°.

(5)

4.Найдем постоянную величину k. В условии задачи

дано,	что	через	t — 10 мин Т = 65°С. Подставив эти значе
ния в	уравнение (5), получим:
или			65° = 55Ѵ -10+ 15°
или			50° = 55°е10*,
или			50° = 55°е10*,
или
					(6)
Прологарифмировав равенство (6), запишем
откуда			lg 10 — lg 11 =	10* lg<?,
откуда
.		1 — lg 11	1 — 1,0414	0,0414 _	0,009532. (7)
Й —		lOlge	“ 10-0,4343 “	4,343 "	0,009532. (7)

Подставив значение k в уравнение (5), получим закон охлаждения, связывающий переменные t и Т:

Т = 55°е-°>°°9532/ + 15°.

(8)

5. Найдем температуру воды через 30 мин от началь ного момента. В уравнение (8) подставим значение t = 30 миш

T — 55Ѵ-0,009532'30 + 15°,

откуда

T = 55°e~0'286 + 15°.

Произведем вычисления!

х =

55-е~0'286 ,

lg X = lg 55 -0 ,2 8 6 lg е =

1,7404 -0 ,2 8 6 X

X0,4343 =

1,7404 -

0,1242 =

1,6162,

х = 41,32 ^

41,

тогда

Т = 41° +15° = 56°.

6 .

Найдем,

через

сколько

времени температура воды

резервуаре

будет иметь 20° С. В уравнение

(8)

подста

вим значение Т = 20°.

20° =

55ое-°'009532/ +

15°

или

5° =

55Ѵ-°'009532/,

откуда

е-о.009532^^^0,0909

или

—0,009532/lg е =

- l g

0,0909 = 2,9586,

2,9586

1,041

о .

0,009532-0,4343

—4 ч 11 мин.

за

1488.

Температура

воздуха

20° G.

Тело охлаждается

мин

от 80° С до 30° С.

Какую

температуру будет

иметь тело через 30 мин после первоначального измерения?

1489. Опытом установлено, что скорость распада радия

в каждый данный момент времени пропорциональна началь

ному

количеству

радия.

начальный

момент

времени

(/ = 0)

имелось R0 грамм

радия.

Составить формулу

для

вычисления

количества радия в любой момент времени t.

Р е ш е н и е .

Составим функцию закона

распада

ра

дия.

Пусть

коэффициент

пропорциональности

известен

(k >

0).

Количество нераспавшегося радия в момент вре

мени t

обозначим через R. Требуется

найти R

как функ

цию от /. Скорость распада радия есть скорость измене

ния функции,

связывающей t

и к,

а это есть производная

г,

условии задачи

дано,

что

( ! )

Знак минус показывает, что функция R —убывающая, следовательно, dR < 0, a kR > 0, так как k > 0 и R > 0.

Из	равенства	(1)	имеем*
2.	Интегрируем		обе части уравнения			(2)і
откуда			\nR = — kt-\-\nC				(3)
или			\nR = — kt-\-\nC				(3)
или			ln — ln С = — kt,
откуда			ln — ln С = — kt,
откуда
			ln § = — kt.				(4)
Пропотенцировав			равенство	(4),	получим*
	E . ~ e-kt или			R — Ce~kt.			(5)
Получили общий закон распада радия,							где / — время
и R —количество		нераспавшегося			радия	в	этот момент
времени.
3.	Найдем постоянную величину С при начальных дан

ных: при / — О, R —R0. Подставив эти значения в уравне ние (5), получим:

=C = R0.

Тогда искомая функция будет*

R = Rae~ki.

1490. Радий распадается со скоростью, пропорциональ ной начальному его количеству. Через какое количество лет произойдет распад половины наличного его коли чества в настоящий момент. Установлено, что для радия коэффициент пропорциональности k = 0,00044 (единица из

мерения		времени — год).
1491.		Вращающийся в жидкости диск замедляет свою
угловую		скорость за счет трения. Установлено,				что тре
ние пропорционально угловой скорости. Найти:						1) с ка
кой	скоростью будет вращаться диск в момент / = 1 2 0 с,
если	при	/ = 0	он вращался со скоростью 12 рад/с, а при
/ = 10 с,		его	скорость стала	8 рад/с; 2) в	какой	момент
времени он будет вращаться				со скоростью	1 рад/с.

	Р е ш е н и е .		1.Составим		функцию	законавращения
диска		какфункцию		времени t. Пусть		ш —угловая	ско
рость		вращения	диска, тогда		замедление вращения диска
под	воздействием сил			трения	будет
По условию задачи				имеем:
				da	и		,,,
				W =			( 1)
где	k — коэффициент			пропорциональности. Разделив			пе
ременные, получим:
				~ = kdt.			(2)
	2.	Интегрируем обе части уравнения				(2):
		^ —			In (n = kt-\-C,		(3)
откуда			(v = eki+ c,		a>= ektec ,
			(v = eki+ c,		a>= ektec ,
			<a = ektC\ или (o = Cleki.				(4)

3.Найдем постоянную величину Cî при начальных

условиях:		t = 10 с и			а» = 12	рад/с. Подставив		эти значе
ния в уравнение				(4), найдем		Су.
				12 = Схе*-°,		12 = Сі.
	Подставив		значение		Сх в уравнение (4), получим:
					<й= 12<?*'.			(5)
/ =	4.	Найдем числовое значение k					по начальным данным:
	10 с и ш = 8			рад/с. Подставим эти			значения в уравне
ние	(5);				8 = 12е*-10,
откуда

			е10*= - \|,		10£lge = l g 2 - l g 3 ,
t	lg 2 —Ig 3			lg 3 —lg 2		0,4771-0,3010		0,0405.
R	10 lg e			10lg e		10-0,4343
	Подставив		значение k в уравнение (5), получим:
				ю = \2е~°'отА

5. Найдем скорость вращения диска в момент вре мени г?= 1 2 0 с. Подставим в уравнение (6) значение / = 120 с:

» = I2e-o.o405.i2o = і2е -4,9 = о,09 рад/с.

6 . Найдем момент времени, когда диск будет вра щаться со скоростью 1 рад/с. В уравнение (6) подставим значение со = 1 и найдем t:

1 =

12е~°'т ы ,

откуда е-0-0405' = ~ ;

0,0405/ Ige = lg I — lg 12,

<-^5

= 6 1

с.

1492.

Замедляющее действие трения

на диск,

враща

ющийся

в жидкости, пропорционально угловой скорости.

Найти

момент

времени,

когда

диск

будет

вращаться со

скоростью

2 рад/с,

если

при / = 0 он вращается

со ско

ростью

рад/с, а

при / = 8 с — 16 рад/с.

§ 80.

Однородные дифференциальные уравнения

первого порядка

Однородной

функцией

переменных f (х,

у) называется

функция,

все

члены которой имеют одинаковую степень.

Например:

У) = 2х2 — Ъху — однородная

1) /

(*'>

функция

второй

степени;

у) = х2у + ху2— однородная

функция

третьей

2) /

(х;

степени;

у) = 2х-\-Ѵх* + уг - З у - однородная

(*;

функция

первой

степени.

/ (х,

y)dx — q>(x,

у) dy,

где / (х, у) и

Уравнение

вида

9 (х,

г/) — однородные функции

одной

и той же

степени,

называется однородным.

Однородное

уравнение посредством подстановки у — ѵх

приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Найти общие решения следующих однородных урав

нений.

1493. (x + y)dx —xd y —0. Ре ш е н и е . Уравнение

(x-\-y)dx —xdy = Q

(1)

однородное первой степени относительно переменных хм у.

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4842 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ