Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4841 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Подынтегральное выражение в формулах (11.31) и (11.32) есть произведение элементарной площади dF на

соответствующую				координату		центра	тяжести площа
ди	dF (рис.	176).
	I. Вычисление центра тяжести дуги плоской
				(однородной)		кривой
=	1454.	Найти		центр тяжести дуги окружности х2-\-у2 —
	а2, ограниченной			точками	М (а; 0) и		УѴ(0;		а).
	Р е ше н и е .		Пусть (х,		у)	координаты			центра тя
жести дуги		dl	(рис. 177).		Известно,		что	дифференциал
				дуги	выражается			соотношением:

Дифференцируя уравнение ок

ружности, получим 2х + 2у ~ = 0,

	d u	X
	откуда f x =	— —, тогда
	d i ^ Y x+ { - f ) d x =
	— л Г у. Thf ..dx = — dx.
	У	у2	у
Статический момент относительно оси Ох найдем по
формуле (11.27), взяв пределы интегрирования			от 0 до а:
а	а

Sx = \ y ^ d x ^ a \ d x = ах = а‘

Длина дуги равна четвертой части длинй окружности,

поэтому 1 = ~^2ла = ~ , тогда по формуле (11.26) найдем:

Ус =	S*	а*	2а
Ус =	I	па	п '
		2

Аналогично, в силу симметричности фигуры, получим:

	(2а '	2а\
	\ п ’	п ) ’
1455.	Найти центр тяжести полуокружностей х2+
-(- у2 — а2,	расположенной над осью Ох.

II. Вычисление центра тяжести плоской фигуры

Произведем вычисление статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой y — f(x) (У> 0), осью Ох и двумя ординатами (рис. 178).

Пусть поверхностная плотность фигуры А^АВВъ т. е. масса, приходящаяся на единицу площади постоянна. Приняв плотность равной единице, массу любой части фигуры будем измерять ее площадью.

Для вычисления статических моментов Sx и Sy этой фигуры разделим ее на полоски, параллельные оси Оу. Выделим одну из полосок, приняв ее приближенно за прямоугольник. Массу этой полоски будем выражать тем же числом, что и площадь. Элементарная площадь будет dF — у dx, где у —ордината точки кривой y = f (х).

Для вычисления статических моментов dSx и dSy эле ментарной площади dF мы полагаем массу полоски сосре доточенной в ее центре тяжести (в центре прямоуголь

ника).	Центр	тяжести	прямоугольника		будет	в точке
і^х,\ Y ) *	где	х “ расстояние		прямоугольника от		оси	Оу
,	это	расстояние	^	, dx		„	dx
(точнее			будет х + у ,		но величиной		у

ввиду ее малости, пренебрегаем) и у половина высоты

прямоугольника.

Статический момент элементарной площади dF отно сительно оси Ох есть произведение ординаты центра тяжести площади на величину элементарной площади:

dSx = ^ y d x = ^ d x .

Статический момент элементарной площади относи тельно оси Оу есть dSy — xydy.

Просуммировав эти элементарные статические моменты, получим:

Sx = у § у2 dx>

S y = J xydy.

Центр тяжести соответственно находится по форму лам (11.29) и (11.30):


1456.	Найти		центр тяжести полукруга					х2-\-у2 = а2,
расположенного		над осью Ох.
Ре ше н и е .		Центр		тяжести в		силу симметричности
фигуры лежит на оси Оу,					следовательно, хс = 0 (рис. 179).
Разделим полукруг			на		полоски,	параллельные		оси Оу.
Элементарная	площадь			dF будет: dF — ydx,			где у — орди
ната точки	окружности.				Центр	тяжести	элементарной

площади находится в точке іх\ у ) .

Статический момент относительно оси Ох найдем по формуле (11.31):

	а		а			а
S* =	jj !	dF =	jj		ydx =	y <\) y2dx =
	— a		—	a		— r.
a
	•a
Площадь	полукруга					По	формуле (11.30)
найдем ус-
Ус		Sx			4а	СО;	4а
Ус		F	1	2	Зя»	СО;	Зя
			2 м

Эту же задачу можно решить, разбив площадь на полоски, параллельные оси Ох (рис 180).

Элементарная	площадь dF	будет dF — 2xdy, где х —
абсцисса точки окружности.
Найдем статический момент относительно оси Ох по
формуле (11.31):
	Sx = \ y d F =	\ у2х dy.
Из выражения	х2-\-у2 — а2	х = У а2— у2, тогда	=
а

= 2	$ Y a2 —y2ydy. Положим: а2 — у2 = г, тогда —2у dy =
	о

= dz, ydy = — £ dz. Находим новые пределы интегриро

вания: гн = а2, 2В= 0;

	О	а2 2		а‘
S , =	-	г 2		о
				о
Площадь	полукруга F —		По формуле (11.30)			най
дем координаты центра тяжести:
	2	3	4а
	Sx		4а
	Ус = ~ f — па?		Зл,
	~2
			1457.	Найти центр тя
			жести четверти		площади
			эллипса	-2 + J# =	1,	рас

С	ии~ гг С
	3 и

положенного в первой четверти.

Р е ше н и е .

Вычислим статические моменты относительно осей Ох и Оу (рис. 181) по фор мулам (11.31) и (11.32).

3 .

Площадь четвертой			части		эллипса равна F = ~abn
(см. задачу	1358).	(11.29)		и	(11.30)	найдем	координаты
По формулам
центра тяжести:
_	Sy	4а	__	Sx	4b	M a	4b \
Xc	~F~ ~~ "Зя ’		У с ~	T "	~ Зл ’	С \ З л ;	Эд/ -

1458. 1) Найти центр тяжести площади, ограниченной: 1) параболой у2 — 4х, осью Ох и прямой х = 4; 2) осью абсцисс и параболой у^= 2х — х2.

§ 78. Смешанные задачи
1459. Дано уравнение	скорости движения	точки ѵ =
= (24/ — 6t2) м/с. Найти:	1) путь, пройденный	точкой за

З.с от начала движения; 2) путь, пройденный точкой за третью секунду; 3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

1460. Прямоугольный резервуар, основанием которого служит квадрат со стороной 3 м и с высотой равной 2 м, заполнен водой. Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из резервуара.

1461. Вычислить работу, совершаемую при выкачивании воды из наполненного доверху котла, имеющего форму парабалоида вращения (с вершиной внизу). Глубина котла Н — I м, радиус основания R = 2 м.

1462. Вычислить силу давления воды на дно и стенки аквариума, стороны основания которого 0,8 м и 0,5 м и высо та 0,3 м. Аквариум доверху наполнен водой.

Контрольная работа

I в а р и а нт

1463. 1. Дано уравнение скорости движения точки ц= (3^2 —2 /— —3) м/с. Найти путь, пройденный точкой за вторую секунду.

2. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 10 Н.

3.Вычислить работу совершенную при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,02 м была затрачена работа 40 Дж.

4.Вычислить работу, совершенную при выкачивании воды из резервуара цилиндрической формы (Я = 2м, Я = 1 м), наполненного

доверху водой (вес воды в'объеме 1 м3 приблизительно равен 9807				Н).
5. Вычислить силу давления воды на вертикальную площадку,
имеющую форму треугольника	с основанием	5 м и с высотой		3 м.
Уровень воды совпадает с вершиной треугольника.
II в а р и а н т
1464. Дано уравнение скорости движения точки п= (36<— Ш 2)				м/с.
Найти путь, пройденный точкой	от начала движения до ее остановки.
2. Вычислить работу, совершенную при		растяжении	пружины
на 0,05 м, если для растяжения	ее на 0,02 м нужна сила в		40 Н.

3.Для растяжения пружины на 0,03 м необходимо совершить работу в 12 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совер шив работу в 48 Дж?

4.Вычислить работу, совершенную при выкачивании воды из резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда (раз меры: основание 3 м х 4 м и высота 2 м), наполненного доверху водой

(вес воды	в объеме 1 м3 приблизительно равен		9807 Н).
5. Вычислить силу давления		воды на вертикальную площадку,
имеющую	форму треугольника	с основанием	6 м и высотой 2 м.

Уровень воды совпадает с основанием треугольника.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§79. Дифференциальные уравнения первого порядка

сразделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записы вается так^


F(x,	у,	у') = О,
Fix,	у,	у") — О,
F(x, у, у',	у",		уп) = 0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной (или дифференциала) вхо дящих в данное уравнение.

Степенью дифференциального уравнения (алгебраичес кого относительно производных или дифференциалов) назы вается степень высшей в нем производной (дифференциала).

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это урав нение в тождество.

Общим решением или интегралом дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка содержит одно произвольное постоянное.

Частным решением дифференциального уравнения назы вается решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения прозвольных постоянных находятся при опре деленных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравне ния называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соот ветствует совокупность (семейство) всех интегральных кри вых.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят произ водные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися пе ременными называется уравнение вида

= / (х) Ф (у).

Решение уравнения с разделяющимися переменными выполняется в следующем порядке:

1. Выполнить разделение переменных:

m~ Hx)dx■

2.Проинтегрировать обе части уравнения:

\ѣ ~ \ , і х) йх-

Найти частные решения уравнений и проверить их

решения.		у — 4	при х — 2.
1465. dy — dx, если
Р е ш е н и е		dy — dx.
				( 1)
1.	Интегрируем обе части уравнения:
	\dy = \dx,		у = х + С.	(2)
2.	Проверка общего	решения. Взяв дифференциалы от

обеих частей равенства (2), получим уравнение (1): dy = dx. 3. Найдем частное решение. В частном решении произ вольное постоянное С имеет определенное числовое значение. Чтобы найти частное решение, подставим в общее решение (2)

значения	х = 2 и у — 4:
	4 = 2 + С, откуда С — 2. .
Подставив значение С = 2 в уравнение (2),		получим
частное	решение:
	У — х-\- 2.	(3)

4. Проверка частного решения. Взяв дифференциал от обеих частей уравнения (3), получим уравнение (1):

dy — dx.

1466. 1 ) d s — d t, если s = 5 при t =	1 ; 2) d s =	(3/3 — 21) d t ,
если s = 4 при / = 2. .
1467. 3y2dy = x2dx, если y = l при x = 3.
Р е ш е н и е		(1)
3y2dy — x2dx.		(1)
1. Интегрируем обе части уравнения (1)і
3 ^ y 2 d y = ^ x2dx, y * =	x~ + C.	(2)

2. Проверка общего решения. Взяв дифференциалы от обеих частей уравнения (2), получим уравнение (1)! 3y 2 d y —

= X2 d x .

3. Найдем частное решение. Подставим в уравнение (2) значения х — 3 и у=1\

13 = Y +С, откуда С== — 8.

Подставив значение С —— 8 в уравнение (2), получим:

4.	Проверка	частного				решения		производится	так же
как и проверка общего решения:							3у2 dy — x2 dx. Получили
тождество.					у — 4 при			х = —2; 2) 3y2dy=
1468. 1) ydy = xdx, если
— X dx, если у — 1 при х = 0.
Уравнения 1465 — 1468 называются								уравнениями с раз
деленными	переменными.
1469. xdy = ydx, если у — 6 при х — 2.
Решение .		xdy = ydx.							(1)

1. Произведем разделение переменных, для этого обе части
уравнения	(1) разделим		на	произведение ху\
	X dy	_ у dx				dy	_ dx		(2)
	ху	~	ху		'	~у	~х ‘
2. Проинтегрируем			обе	части уравнения (2):
	J у - =	^ ~		,	In у == Іпх + ІпС.				(3)

Произвольное постоянное С может принимать любые числовые значения, поэтому для удобства потенцирования вместо С пишут In С.

Пропотенциировав					равенство (3), получим!
					У = Сх.		(4)
3. Проверка общего решения. Взяв						дифференциалы от
обеих частей уравнения (4), получим:
					dy —C dx.		(5)
Подставим значения dy из равенства (5) и у из равен
ства	(4) в уравнение (1), получим тождество:
					хС dx —Cxdx.		(6)
4. Найдем частное решение. Подставим значения							х — 2
и ÿ = 6 в		уравнение (4): 6 = С-2, откуда С = 3. Подставив
найденное значение С в уравнение (4),						получим:
					У = Зх.		(7)
5.	Проверка			частного решения. Из		решения (7)	имеем:
					dy = 3 dx.		(8)
Подставив значения dy из равенства (8) и у из равен
ства	(7) в уравнение (1), получим тождество:
					Х'З dx = 3x dx.
1470.		1) t ds —sdt, если s = 18 м при t = 3 с; 2) Y х dy =
= If y dx,		если	у — 1		при х — 4.
t л	и	dy	-	3 dx	» если у — 9 при	'
, 4/ I* Y T			-	Y Y	» если у — 9 при	x = 1.
Р е ш е н и е .
					V * ~ Ÿ ÿ '		K)

1. Произведем разделение переменных, для этого обе части уравнения (1) умножим на произведение У~х\^уі

VU dy = ЗУх dx или y 2dy = 3x2dx.

2. Проинтегрируем обе части уравнения (2)і

^ y 2dy — 3 ^ x 2dx;

X2 -j- С.

(3)

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4841 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ