Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4840 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Р е ш е н и е

по с х е м е

II.

Пусть путь

движения

поршня

равен х

(рис.

167).

Полагаем,

что при

измене

нии

на

малую величину

испытываемое

порш

нем

давление остается

неизменным, при

этом

объем V

_________________

изменится

на

величину ДѴ.

Работа силы давления АА

на отрезке dx будет прибли

женно

равна:

ДЛ «=(pS dx,

но р — у

Sdx = AV,

Рис. 167

тогда

A A ^ y A V

Заменив

приращения ДѴ и

ДЛ

дифференциалами dV

и dA

(т. е.

взяв

главные части приращения),

запишем:

dA =

Проинтегрировав это равенство, получим;

A — k 1п Хг-. ѵі

Дальнейшие вычисления проводятся как и в первом решении.

1439. В цилиндрическом сосуде заключен атмосферный воздух, объем которого 0,2 м3. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать этот воздух до объема 0,05 м3? Температура воздуха поддерживается постоянной.

§ 75. Работа, совершаемая при поднятии груза

Работа, совершаемая при поднятии груза на некото


рую	высоту, равна произведению силы тяжести, выражен
ной	в ньютонах		(Н), на	высоту подъема, выраженную
в метрах (м). Работа измеряется в джоулях (Дж).						основания
1440.		Цилиндрическая цистерна с радиусом
0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу,
которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из
цистерны.			с х еме	I.	При вычислении	работы,
Р е ш е н и е по
совершенной		при выкачивании			воды из цистерны, необхо-

димо учесть, что вода поднимается не сразу вся, а частями, т. е. высота подъема воды будет переменной.

Разбив высоту цилиндра Н на п равных частей, полу

чим толщину элементарного слоя воды — = Ах. Пусть рас

сматриваемый слой находится на глубине х (рис. 168).

Обозначим объем слоя воды через АУ. Элементарный объем будет: АУ = яг2Ах. Вес слоя воды Ар в ньютонах в объеме

А У	(плотность воды 1000 кг/м3,	поэтому вес воды в объ
еме	1 м3: 9,807-1000 = 9807 Н),	будет:

ДР = 9807я/-2Дл:.

Чтобы выкачать воду из рассматриваемого слоя, его нужно поднять на высоту х. Работа, совершаемая при подъеме воды АУ на высоту х, будет:

АЛ = АРх = 9807ял2лАл:.

Этим равенством выражается работа при подъеме каждого из слоев воды. Для каждого из слоев х имеет свое значение в пределах от 0 до Н. Сложив элементар ные работы АЛ, получим приближенное значение работы, совершенной на подъем всей воды:

Л «s* 2 9807я/'2хАл:.

При стремлении п-*- со (А*-»-0) получим!

я я

А — lim V 9807лг2хАх = ( 9807яr2xdx-

о		о
= 9807яг2 у	Я = 9807яг2 у		>4903лг2Я2.
	о	2

1 3 Богомолов Н .- В ,

389

Подставив числовые значения г и Н, найдемі

А = 4903я • 0,25 • 22 = 4903я (Дж).

Р е ш е н и е по с х е м е II. На глубине х выделим го ризонтальный слой высоты dx (рис. 169). Работа А, со вершаемая на поднятие слоя воды весом Р, зависит от высоты его подъема х, т. е. А — Рх.

Изменение глубины х на малую величину dx вызовет

изменение объема V		на величину ДР = я r2dx и изменение
веса Р на величину		ДР = 9807я/-2Дл;,		при этом соверша
емая	работа А изменится		на величину dA = 9807nr2x dx.
Проинтегрировав это равенство при изменении х от 0
до Н,	получим:
	я
	А = 5 9807яr2x d x = 4903яг2Я2 =
	о
	= 4903я • 0,25 • 22 = 4903я			(Дж).
1441. Цилиндрический			резервуар	с радиусом основа

ния 2 м и высотой 3 м заполнен водой. Вычислить работу,

которую

необходимо

совершить,

чтобы выкачать воду из

резервуара.

работу,

которую

надо

совершить,

1442.

Вычислить

чтобы выкачать воду

из

резервуара конической

формы

с вершиной, обращенной

книзу. Резервуар

наполнен до

верху

водой.

Радиус

основа

ния

конуса

R =

м,

высота

конуса

2 м.

по

с х е м е

II.

На

Р е ш е н и е

глубине

выделим гори

зонтальный слой высоты d x

(рис. 170). Работа А, совершае

мая на поднятие слоя воды ве

сом Р, зависит от высоты его

подъема

х .

Изменение

глуби

ны

X на

малую

величину

d x

вызовет

изменение

объема

на

величину

AV — n r 2 d x

(1)

(элементарный слой принимаем за цилиндр ввиду мало сти d x , г —радиус слоя). Выразим г через переменную х и постоянные R и Н. Из подобия треугольников АОС и

AOiB имеем!

гН — х

Я ~ ~ н ~ ’

откуда

r = fВj {tuH - x )\ = Rп - ~ Вj j x .

Подставив значение г из полученного равенства в вы ражение (1), получим:

АѴ = я (R —~ XJ dx.

Вес слоя воды Ар в объеме ДѴ (плотность воды 1000 кг/м3) будет:

Ар = 9807л (R — ~ x j dx.

При изменении Р на величину АР совершаемая ра бота А изменится на величину

dA — 9&07n(R — ^ x ' f x d x .				(3)
Проинтегрировав	равенство	(3) при изменении х		от 0
до Н, получим:
н	н
А = [ 9807л (R ~ ~ XJ xdx = jj 9807яД2 (х -				dx =
о	о	н _ 9807
= 9 8 0 7 n S	* ( f - g	н _ 9807	nR2H2.
		о ~ "T2~

Подставив числовые значения R a H, найдем:

A = 9807л • l2 • yg = 3269л (Дж).

1443. Вычислить работу, которую нужно			совершить
на выкачивание	воды	из ямы, имеющей форму		конуса
(с вершиной на	дне),	высота которого Н = 1 м,	а	радиус

основания R = 2 м.

1444. Котел, имеющий форму полушара радиуса R, наполнен водой. Какую работу необходимо совершить, чтобы выкачать воду из этого котла?

Р е ш е н и е по с х е м е	I. Разбив	высоту йотла R на п
равных частей, получим	толщину	элементарного слояз


P	Пусть рассматриваемый слой		находится		на глу
■~ = Ax.
бине X	(рис. 171). Найдем радиус	г элементарного				слоя
	из	АО AB:		г2 = R2 — х2.
	Приняв		слой за		цилиндр
	радиуса		г,	получим		эле
	ментарный объем:
	ДV — яг2Ах = я (R2— X2)Ах.
	Вес		слоя	воды		Ар в
	объеме A V (плотность воды
	1000	кг/м3) будет:

Др = 9807я (R2- x 2) Ах.

Элементарная работа, совершаемая при подъеме слоя воды АѴ, будет:

АА — Арх = 9807л (R2— х2) х Ах.

Сумма	всех элементарных работ приближенно равна:
	R
	A ^ ^ 9 8 9 7 n { R 2- x 2)xAx.
При стремлении		оо (Дх-э-О) получим:
А = Ііш	R	R
А = Ііш	9807л (R2— X2) хАх = ^ 9807л (R2— х2) х dx ■
&х~>0
= 9807л	R 2x2	2452лR* (Дж).
1445.	Вычислить	работу, которую необходимо совер
шить, чтобы выкачать		воду, заполняющую котел, имею
щий форму полушара радиуса К = 1 м.

§ 76. Давление жидкости

Величина силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площад ки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости. *


Сила давления		в ньютонах на горизонтальную пло
щадку вычисляется		по формуле
		P = 9,807ôSx,
где Ô— плотность	жидкости		в кг/м3;
S — площадь	площадки		в м2;

X —глубина погружения площадки в м.

не	Если площадка,				испытывающая			давление	жидкости,
не	горизонтальна,			то	давление		на	нее будет	различным
на	разных	глубинах, следовательно, сила давления на
площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
	1446.	Вычислить силу давления воды на вертикальный
прямоугольный шлюз					с основанием 20 м и высотой 5 м
(уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).
по	Р е ш е н и е		по	с х е м е		I.	Разделим стенку			шлюза
по	ее высоте		Н на п горизонтальных полосок						(рис. 172)-
								н
	э		7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

								II
					2 0
					Рис.	172
и	выделим	одну из			них на глубине х. Пусть					— = Ах,
тогда площадь полоски будет;
					AS = 20Дх.
	Давление		жидкости по закону Паскаля передается во
все стороны			с одинаковой силой, поэтому сила давления

АР на всю полоску будет равна весу столба воды, имею щего основанием эту полоску и высоту, равную глубине х. Ввиду малости Ах будем считать, что все точки полоски находятся на глубине х.

Найдем силу давления воды АР в ньютонах на полос ку AS:

АР — 9,807ôxA5 = 9807х • 20Ах = 9807 • 20хАх,

где 6 = 1000 кг/м3 (плотность воды).

Каждая полоска испытывает различные силы давления в зависимости от ее глубины х.

Сложив элементарные силы давления АР, получим приближенное значение силы давления Р, испытываемого шлюзом:

Р ^ ' £ 1 9 8 0 7 - 2 0 х А х .

При стремлении п-> оо (Дл:->0) получим:

5 5

Р = lim 2]9807-2(кД* = 9807-20 5*Ле =

Л х - * 0	о	О
= 9807- Юл:2 g = 98070-25 = 2 451 750 = 2,45 (МН).
Р е ш е н и е	по	с х е м е II. На глубине х выделим

горизонтальную полоску шириной dx (рис. 172). Сила давления воды Р на стенку шлюза будет функцией от х. Изменение глубины л: на малую величину dx вызовет из менение силы давления Р на малую величину ДР. Про дифференцировав переменную Р, найдем приближенное значение (главную часть) dP приращения АР.

Приближенная величина силы давления воды на эту плоскость выразится, как и по схеме I:

AP ^ d P — 9807 •20л: dx.

Интегрируя dP при изменении х от 0 до 5, получим:

	5	,5	(MH).
Р = 9807 • 20 $ * dx = 9807 • 10х21 = 2,45
1447. Вычислить силу давления воды на вертикальную
прямоугольную стенку с основанием 2 м и высотой					4 м.
Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.
1448.	Вычислить силу давления воды на вертикальную
плотину,	имеющую форму равнобедренной трапеции				с ос
		нованиями:	верхнее а
		и нижнее b (a>b), и
		высотой h.		Пусть
		Р е ш е н и е .
		заштрихованная полоска
		расположена на глубине
		X (рис. 173) и имеет раз
		меры у и dx. Прибли
		женная величина			силы
		давления	воды	на	эту
	Рис. 173	полоску будет:
		AP (=&xydx = dp.

Выразим переменную у через х и размеры трапеции а,
b и h. Из подобия треугольников		ADE и ANM имеем:

D E	- А Е
.NM	A M ’

но
D		£ = ^ (	NM = y~	, AE —h u AM = h~—x.
Подставив эти			значения в пропорцию, получим:
			а —b	h
откуда			у —b	h — X’
откуда				a —b
			У = а	a —b
			У = а	-----jj-X,
тогда
			dP = x (a ——jf - x
Интегрируя dP при изменении х от 0 до h,						получим:
	h			ах2	а —b 31 л h2 (a-\~2b)
Р =	jj [ах-\-—jf-x 2^jdx =			ах2	а —b 31 л h2 (a-\~2b)
Р =	jj [ах-\-—jf-x 2^jdx =			~2	W X J o ~	6
	о	'
1449.		Вычислить силу давления воды на вертикальную
стенку,	имеющую		форму равнобедренной трапеции, верх

нее основание которой, совпадающее с уровнем воды,


равно	4,5		м	и нижнее				основание
равно 3 м. Высота стенки								2 м.	С
1450.		Треугольная					пластинка с
основанием			0,2 м		и	высотой			0,4 м
погружена вертикально в воду так,
что вершина ее лежит на поверх
ности	воды,		а	основание				параллель
но ей.		Вычислить				силу		давления
воды на		пластинку.
Р е ш е н и е по с х е м е И. На
глубине		X выделим				горизонтальную
полоску ширины					dx (рис. 174). Из
менение		глубины			X	на	малую вели

чину dx вызовет изменение силы давления Р на малую

величину dP. Вычислим	площадь полоски AS —у dx.
Из подобия треугольников	АВС и DEC имеем:
у	_ X
6 3	~ 0,4’
откуда

У — 2 Х’

тогда

AS — ' X Iix.

Элементарная сила давления в ньютонах будет:

dP = 9,807ôxAS = 9807л: - ^ x d x = 4903,5л:2 dx.

Интегрируя dP при изменении х от 0 до 0,4, получим:

0,4

Р = 4903,5 ^ x2dx = 4903,5- °'4 1634,5 (0,4)3 я« 104.6(H). b

1451. Треугольная пластинка с основанием 0,4 м и высотой 0,6 м погружена в воду вертикально, так что основание ее находится на поверхности воды. Вычислить силу давления воды на пластинку.

1452. Цилиндрический стакан наполнен маслом. Вычис

лить	силу	давления	масла	на боковую поверхность ста
кана,	если	высота	его h —0,08 м		и радиус	основания
г = 0,04 м. Плотность масла				900 кг/м3.		х выделим
Р е ш е н и е по			с х е м е	II. На	глубине

горизонтальную круговую полоску ширины dx. Изменение глубины X на малую величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую величину dP.

Вычислим площадь круговой полоски AS:

AS = 2nr dx = 2я • 0,04 dx — 0,08я dx.

Найдем элементарную силу давления в ньютонах на полоску AS:

dP = 9,807бл;А5 = 9,807 • 900л; • 0,08л; dx 2220л: dx.

Интегрируя dP при изменении л; от 0 до 0,08, по лучим:

°.°8

,0 08

Р = 2 2 2 0 5 x d x = 1 1 1 0 л:2 ' = 1 1 1 0 - 0 , 0 0 6 4 = 7 ,1 ( Н ) .

1453. Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычис лить силу давления ртути на боковую поверхность ста кана, если высота его 0,1 м и радиус основания 0,04 м. Плотность ртути 13600 кг/м3.

§ 77. Центр тяжести дуги плоской кривой и центр тяжести плоской фигуры

Координаты центра тяжести дуги плоской (однород ной) кривой находятся по формулам:

					*с = т		:		01-25)
					yc = Sf		,		(11-26)
где	хс	и ус —координаты				центра		тяжести дуги;		Sx и
Sy — статические			моменты			этой дуги			относительно осей
Ох и Оу; / — длина дуги					кривой.
Статические моменты дуги относительно осей Ох и Оу
находятся из выражений:
				-	в				(11.27)
				=	$ У dl		(см2);		(11.27)
					л
			Sy =		в	X dl	(см2),		(11.28)
			Sy =		$	X dl	(см2),		(11.28)
					А
где	dl — элементарная			дуга		кривой		(дифференциал		дуги);
X и	у —	координаты		центра тяжести					элементарной	дуги;
А я	В — пределы		интегрирования					независимой перемен

ной (точки, между которыми происходит интегрирование). Координаты центра тяжести плоской (однородной)

фигуры находятся аналогично по формулам:

ХС	-	р	I
X	-	S ÿ	-
$	II	ы ?

(11.29)

(11.30)

где F — площадь фигуры (рис.	175).
Статические моменты площади фигуры относительно
осей Ох и Оу вычисляются по формулам:
в
Sx = \ y d F	(см3);	(11.31)
А
В		(11.32)
Sy — ^xd F	(см3).	(11.32)

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4840 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ