книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

начало координат, необходимо знать k.

о

k находим из соотношения (2.7): k — — у ; подставив зна-

чение k в

уравнение (2.5),

з

Зх-f-

получим у = — уХ или

+ 2г/ = 0.

вычислить k,

подставив

координаты

точки

Можно

фициент прямой,

проходящей через

начало

координат и

ѵ

3

и точка А

удалена от

начала

через точку А, равен у

координат на

10 единиц длины.

з

Р еш ен и е .

В условии задачи дано: k = у , d = ОА — 10.

Найти

А (хА; уА).

у

3

Из

соотношения

(2.7)

По

формуле

получим: — =-т-.

(1.2) выразим длину

ха

’

отрезка ОА\

V Хл + У'2а = 10.

Решив систему

(Ул_ = 1

\ ХА

4 ’

найдем:

\у х>а+У2а= 10,

Хд = ± 8 ;

уА —± 6 ; Ах (8; 6),

Л2(—8;

—6).

координат и точку Р, равен

з

Найти точку Р.

у — kx + b,

(2.9)

где X

и

у — текущие

координаты — координаты

любой

точки прямой;

равный тангенсу угла

наклона

k — угловой

коэффициент,

прямой к оси Ох: k = tga,

b—начальная ордината —орди­

ната точки пересечения прямой с осью Оу.

Если

а = 0,

то

и

k = 0,

прямая параллельна оси

Ох(у = Ь).

Если

а = 90°,

то

k не

существует,

прямая

перпендикулярна

оси Ох(х = а).

Если

b >. 0, то прямая

пересекает ось Оу выше начала

координат,

если

b <

0,

то прямая пересекает ось Оу ниже

начала

координат.

При

Ь — 0

имеем

уравнение

прямой,

проходящей через начало

координат:

y — kx.

Р е ш е н и е .

Пусть точка Л —точка

пересечения пря­

мой с осью Ох.

Положив в

данном уравнении у = 0, най­

дем х = 2, А (2;

0).

Пусть точка

В —точка

пересечения

прямой с

осью

Оу. При х = 0 у = —6, В ( 0; —6). Точки

пересечения

пря­

мой с осями Ох я Оу А (2; 0) и В (0; —6).

Р е ш е н и е .

1-й способ.

Построим прямую у = 2х. Пря­

мая у = 2х + 8

проходит

параллельно'

прямой

у —2х

(рис.

19) на 8 единиц выше на­

чала

координат.

2-й способ.

(Построение пря­

мой по двум точкам.)

Найдем

точки

пересечения

прямой с осями координат. Точка

пересечения прямой с осью Ох

имеет

ординату, равную нулю;

положив

в

данном

уравне­

нии

у —0,

находим:

х ——4,

А (—4; 0).

Точка

пересечения

прямой с осью Оу имеет абсцис­

су, равную нулю; положив х = 0,

находим: у = 8 , Б(0; 8). Строим

точки А и В и проводим через

них искомую прямую (рис.

19).

Второй способ практически

более удобен,

поэтому

его

101.

Проверить,

принадлежат ли

точки М ( —1; —6),

N (3; 10), Р (— 2;

3) прямой у = 4х — 2.

102. Проверить,

принадлежат ли точки Л (0, 5; —1 ,Ь),

в { ~ ; — 1-i-j

и С (0,5)

прямой

у = х — 2.

IV.

Составление уравнения прямой по данным

угловому коэффициенту и начальной ординате

103.

Составить уравнение прямой, если ее угловой

коэффициент k = —3,

а начальная ордината b = 2.

прямой

Р е ш е н и е .

Для

составления

уравнения

достаточно в

уравнение (2.9) подставить

данные числовые

значения k n

b. Имеем: у = —Зх + 2.

если ее

угловой

104.

Составить

уравнение

прямой,

коэффициент

2

а

начальная ордината Ь —

1

6 = -g-,

^ .

111. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку (5; — 7) и образующей

с осью Ох угол arctg (—2).

112. Составить уравнение

прямой, проходящей через

точку (— 1; —4) и образующей с осью Ох угол

135°.

§ 7. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой имеет вид

А х + В у + С = 0,

(2.10)

где А, В

и С —постоянные коэффициенты;

X и у — координаты любой точки

прямой.

Частные случаи общего уравнения прямой:

1) при

С = 0

Ах-\-Ву = 0 ,

(2. 11)

ло координат ^уравнение вида y = kx, где

k = — g-j;

2) при 5 = 0

Ах + С = 0,

(2.12)

т. е.

получим уравнение прямой, проходящей параллельно

оси

Оу (^уравнение вида х = а,

где а = —

3) при А = 0

5г/ + С=

0,

(2.13)

Ах = 0 или х = 0,

(2.14)

Ву = 0 или у —0,

(2.15)

113.

Найти точки пересечения прямой 4х — Зу — 12 = 0

с осями

координат.

Р е ш е н и е . Пусть точка Л —точка пересечения пря­

чим: Ах— 12 = 0, откуда

х = 3, А (3; 0).

Пусть точка Л —точка пересечения прямой с осью Оу.

При х = 0 получим:

— Зг/ — 12 = 0,

откуда

г/=

— 4,

В (0; — 4). Точки пересечения прямой

с осями

Ох и

Оу

Н.

Построение прямой,

заданной

уравнением Ах-\-Ву-\-С = 0

115. Построить

прямую

Зх + 4у — 12 = 0.

Р е ш е н и е . Для

построения прямой найдем коорди­

наты

точек

пересечения с

осями

Ох и

Оу.

Положив

у —0,

полу­

чим:

Зх— 12 = 0,

х = 4, Л (4; 0).

При

х = 0

получим:

4у— 12= 0,

117.

Проверить,

принадлежат

ли точки

Л (3; 14),

Л (4; 13), С( — 3; 0), D (0;

7)

прямой

7л: — Зг/ + 21 = 0.

IV. Преобразование

прямой Ах -р By -f- С =0

к виду y=kx-\-b

118.

Преобразовать

прямую Зх — 5г/+10 = 0

к виду

у = кх + Ь.

уравнение относительно у\

Р е ш е н и е . Решим данное

5г/ = 3х+ 10,

г/ = |- х + 2.

119.

Преобразовать прямые: 1) 3 x -f5 i/+ 1 = 0 ;

2) 5х —

— 2г/4 -6 = 0 к виду y = kx-\-b.

V.

Вычисление угла наклона

прямой

Ах-{-Ву-\-С — 0

к оси Ох

120. Вычислить угол

наклона

прямой 3x-f2«/-f 6 = 0

к оси Ох.

Решив уравнение

Зх + 2г/ + 6 = 0 относи-

Р е ш е н и е .

тельно

у,

получим:

г/=

— у3 х —3,

откуда, k — — 3 =

=

— 1,5,

но k = tg а; следовательно, tg а = — 1,5.

По таблице

находим:

а — 180° — 56° 19' =

123° 4Г.

1)

121.

Вычислить

угол

наклона

к

оси

Ох

прямой:

Зх + 5г/+20 = 0;

2) 2 9 х -1 0 г /+ 10 = 0.

VI.

Вычисление длины отрезка прямой

Ах + By + С = 0,

заключенного между осями

координат

122. Вычислить длину отрезка прямой Зх + Ау — 24 ч=0,

заключенного между

осями

координат.

точек

пересечения

Ре ш е н и е .

Найдем

координаты

прямой

с осями

координат: у = 0 , х = 8 , Л (8 ; 0) и х = 0 ,

у —6 ,

В (0;

6).

По

формуле (1.1)

вычислим

длину от­

резка

AB:

ЛВ = 1^64 + 36= 10.

123. Вычислить длину отрезка прямой 4х + 3г/ — 36 = 0,

заключенного между

осями

координат.

VII.Вычисление координат точки,

лежащей

на прямой Ах-\-Ву+ С = 0, равноудаленной от двух

данных точек, лежащих вне прямой

124. На

прямой 2х + г/ —-6 = 0 найти точку М,

равно­

удаленную

от точек

Л (3;

5)

и В (2;

6)..

через

Р е ш е н и е .

Обозначим

координаты точки. М

(хм‘, Ум)-

По формуле (1.1) имеем:

МА = У (хм — З)2+ (Ум — 5)2,

МВ = У (хм ~ 2)2+ (ум — 6)2,

но

МА = МВ, тогда

V(хм - З)2+ (Ум~ 5)2= V(хм -

2)2+ (ум -

6)2.

3) (5; 3)

и 4) (6;

1) прямой ~

= 1.

III. Преобразование

X

V

прямой Ах-\-Ву-\-С = 0 к виду у

+

130.

Преобразовать прямую

Зх — 4г/ + 2 — 0

к виду

Зх — 4у = — 2 ;

1 ;

+ f = 1-

~ Т

Т

431. Преобразовать следующие прямые к виду

^ + ! = 1 ; 1) х + у - 3 = 0;

2) 2х + 3 г/+ 1 = 0 ; 3)

2 х +

+ 3у — 6 = 0;

4)

Зл: — 4г/+ 12 = 0.

IV. Преобразование прямой

X

*и

к виду А х -f-By +

С = 0

— +

- |- = 1

данного

уравнения

к целому виду:

=

\,Ьх-{-4у~

=

20, 5л; + 4у — 20

= 0.

к виду

Ах -f-

+

133.

Преобразовать следующие прямые

ß*/ + C = 0.-

!) | + | = 1; 2) | - | = 1; 3) y + f = 1.

V.

X

и

1

Преобразование прямой y — kx + b к виду —

у =

134.

Преобразовать прямую у = 2х—5 к виду ^

~ — 1.

2х — у = 5,

2х -у= 1

3L + X

= 1.

5

5 ^ - 5