Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

По формуле (11.11) вычислим s;

	s =	4		3t2) dt =			13) \|- =
	s =	J (12/ -		3t2) dt =	(6/2-		13) \|- =		32	и.
		ü
1419.	Скорость движения					тела		задана		уравнением
v = (18t —3t2)		м/с. Найти путь, пройденный								телом от на
чала движения до его остановки.								в	один и тот же
1420. Два		тела		начали	двигаться			в	один и тот же
момент	из одной точки в одном направлении по прямой.
Одно тело двигалось со скоростью ѵ=							(6/2+ 2t) м/с, другое —■
со скоростью		н= (4/ + 5) м/с.				На	каком		расстоянии они
будут друг от друга через 5 с?
Реш ен ие .			По формуле (11.11) вычислим пройденный
путь первым и вторым телом:
		5						5'
	Sl =	$ (6/2 + 2/) dt =			(2t3+		/2)	=	275	M,
		U	Г)					о
			Г)					5
	s2=		(4/ -f 5) dt =		(2/2+ 5/)			=	75	M ,
			о					о

s x — s 2 = 275 — 75 = 200 M .

1421. Два тела начали двигаться в один и тот же момент


из одной точки	в одном направлении по прямой. Первое
тело двигалось	со скоростью о= 3/2 м/с, второе — со ско
ростью V= (6/2 — 10) м/с. На		каком расстоянии	они будут
друг от друга через 10 с?		по прямой из одной	и той же
1422. Два тела движутся

точки. Первое тело движется со скоростью ѵ= (З/2— 6/) м/с, второе — со скоростью н= (10/ + 20) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

	Р е ш е н и е .	В условии задачи дано, что тела начали
двигаться из одной и той же точки,					поэтому их пути до
встречи будут		равны. Найдем		уравнения пути		каждого
из	тел:
		si =	5 (З/2 — 6/) dt = t3— З/2;
		s2=	$ (10/+ 20) Л = 5/2+ 20/.
/ =	Постоянное	интегрирование		при	начальных	условиях:
	0, s = 0 будет равно нулю.			Встреча этих тел		произой

дет при Si = s2, откуда і3 — З/2— 5/2+ 20/ или t3 — 8t2—

— 20t = 0.

Решим это уравнение:
	t (t2— 8/ — 20) = 0 ,
откуда ^ = 0 ,	/2= — 2 , /3= 10.		после
В момент	t = 10 с	произойдет встреча этих тел
начала движения.
Путь, пройденный		каждым из тел, найдем из уравне
ний пути: s2= Sx= ІО3 — 3 - 102= 700 (м).			и той
1423. Два	тела движутся по прямой из одной

же точки. Первое тело движется со	скоростью ѵ— (З/2+
+ At) м/с, второе — со скоростью ѵ—	(Ы-\-12) м/с. В какой

момент и на каком расстоянии от начальной точки про изойдет их встреча?

1424. Тело брошено с поверхности земли вертикально

вверх со скоростью		ѵ= (39,2 — 9,8/)	м/с. Найти		наиболь
шую высоту подъема тела.
Р е ш е н и е . Тело достигнет наибольшей высоты подъема
в момент	времени	t, когда н= 0,	т. е.	39,2 —9,8/ = 0,
откуда / = 4 с. По формуле (11.11)			находим:
			4
s =	J (39,2 - 9,8/) dt = (39,2/ - 4,9/2)			= 78,4	м.
			о
1425.	Тело брошено с поверхности			земли	вертикально
вверх со скоростью		ѵ = (29,4 — 9,8/)	м/с.	Найти	наиболь
шую высоту подъема тела.

§ 74. Работа силы

Если на тело действует постоянная сила F и оно пере мещается по направлению этой силы, то работа А силы F на отрезке пути I будет:

				A= F l,		(11.12)
где F выражается в ньютонах (H), I — метрах						(м), А —
в джоулях	(Дж).				от точки А (а)
Пусть	тело	перемещается по оси Ох
до точки В ф)		ф >. а)	под действием переменной силы F,
направленной по оси			Ох и являющейся		функцией от х:
F — Î(x).				произведенную силой F при пере
Вычислим работу Л,
мещении тела		от точки		А ф) до точки	В ф).	Разобьем

отрезок AB на п равных частей. Пусть ~ =

Ах.

Работа, произведенная силой f (х) на участке Ах, выра зится произведением f (х) Ах. Назовем это произведение элементарной работой. На каждом из участков Ах значе ние f (х) будет различно. Вычислив элементарную работу / (х) Ал: на каждом из участков Ах и сложив все получен-

ft
ные величины, получим сумму ^	f (х) Ах,	выражающую
а	принять,	что длина Ах
искомую работу А силы F. Если	принять,	что длина Ах
каждого из участков стремится	к нулю,	силу f (х) на

таком малом перемещении можно считать постоянной и элементарная работа / (х) Ах будет также стремиться

кнулю. Вся работа на участке AB выразится пределом,

ккоторому стремится сумма бесконечно большого числа (п->со) бесконечно малых слагаемых ( /(х) Ах-> 0), а пре дел суммы такого вида есть определенный интеграл

ь6

А — Пт		2 / ( х ) Ах =	$/(х) dx.	(11.13)
	Дх-*0	д	д
В ы ч и с л е н и е	работы, с о в е р ш е н н о й			на у п р у
гое	р а с т я ж е н и е		(сжатие)

Пусть упругий металлический стержень длиной I под вергается растяжению (сжатию) силой F, в результате которого его абсолютное удлинение оказалось равным А/. Вычислить работу, совершенную на упругое растяжение (сжатие).

Деформация стержня является упругой, поэтому между абсолютным удлинением At и силой F, вызвавшей это удлинение, имеет место линейная зависимость, аналити чески выражаемая формулой Гука:

А/ = ^ ,

(11.14)

где В — сила (Н); / — длина стержня до растяжения в м;

S — площадь поперечного сечения в м2;

Е — модуль Юнга— постоянный для каждого матери ала в Н/м2.

Величина элементарной работы

dA —Fxdx

равна площади прямоугольника с основанием dx и высо той Fx (рис. 166) (трапецию ввиду малости dx принимаем за прямоугольник). Пусть х — абсолютное удлинение стер

жня, вызванное силой Fx.						Выра
зим силу Fx через данные вели
чины F, А/ и переменную х.
Из	подобия			треугольников
ОАхА и ОВхВ имеем:
ОА,	ОВх			X	д/
	— ß^ß		или	Fx	: F ’
откуда
	г		F			(11.16)
	F*~~ ы х’
Подставив		значение			Fx из вы
ражения	(11.16)			в	равенство
(11.15),	получим:
	dA — дjxdx.					(11.17)	Рис. 166
Интегрируя			равенство			(11.17),	найдем величину ра
боты А:		&і
	л	&і	F	,	F	X2
	л	С*	F	,	F	X2	A = ?g-. (11.18)
			ü x d x =Xi--2				A = ?g-. (11.18)
			ü x d x =Xi--2
Подставив значение АI из формулы (11.14) в равенство
(11.18),	получим:
					А = 2E S ’		(11.19)

Если вместо упругого стержня имеем цилиндрическую винтовую пружину и производим ее растяжение (сжа тие), то

Л = у х ,

(11.20)

где X —величина растяжения или сжатия пружины в мет рах (осадка пружины).

На основании закона Гука для пружины имеем:

F = kx,

(11.21)

т. е. осадка пружины прямо пропорциональна действу ющей на нее силе.

Если F в ньютонах, х в метрах, то k (жесткость пру жины) выразится в Н/м:

		* =		(11.22)
Подставив значение F из выражения (11.21) в фор
мулу (11.20),	получим:
		А = ~		(11.23)
Пусть для	осадок	пружины хг и х2 были затрачены
работы Аг и А2, тогда		по формуле		(11.23) получим ра
венства				kx\
		и	Л2 =
				АГ'
Поделив первое равенство			на второе, получим:
		A t _ x I		(11.24)
		А2	х \ '

т. е. отношение работ, совершенных при осадке пружины, равно отношению квадратов осадок этой пружины.

1426. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжа тии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Р е ш е н и е . 1-й способ. При Fc— 10 Н х = 0,01 м. По формуле (11.21) найдем k: Î0=Æ-0,01, откуда Æ= 1000 Н/м. Подставив найденное значение k в формулу (11.21), полу

чим: JPC= 1 ОООлс,	т. е. / (х) =	ЮООх.
По формуле (11.13), взяв		пределы интегрирования от 0
до 0,04, вычислим работу:
0,04
- S	ЮООх dx= 1000- 0,04 = 0,8 (Дж).

2-й способ. Осадка пружины и сила, вызвавшая эту осадку, находятся в линейной зависимости. Сила 10 Н производит осадку 0,01 м. Сила F производит осадку 0,04 м. Имеем пропорцию

іо _ 0,01

F ~ 0,04 >

откуда

10-0,04 = 40 (Н).

0,01

По формуле (11.20) найдем работу, совершенную на сжатие пружины: _

40 • 0,04

0,8 (Дж).

1427. Вычислить работу, совершенную при сжатии пру жины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 20 Н.

1428. Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы в 60 Н. Какую работу она производит, растягивая

еена 0,12 м?

Ре ш е н и е . 1-й способ. При Fp = 60 Н х — 0,02м. По

формуле (11.21) найдем k :

60 = Æ-^0,02,

откуда

^ =

60 =

= 3000

(Н/м).

Подставив найденное значение k в формулу (11.21),

получим:

Fp = ЗОООх,

т.

е.

f (х) = ЗОООлг. По

формуле

(11.13),

взяв пределы

интегрирования

от 0 до

0,12, вы

числим

работу:

0,12

А =

j ЗОООх dx = 3000- у |°,12 =

1500-0,0144 = 21,6

(Дж).

2-й способ. Сила 60 Н создает растяжение 0,02 м.

Сила

создает

растяжение 0,12

м.

Имеем

пропорцию

0,02

ѵ - 60-0,12

ОСЛО

гт л.

/і і оп\

Т = 0Л2’ откУда

Р = ~ 0 Ж ~ ==360 Н -

По формуле (11.20)

найдем

работу,

совершенную

на

рястяжение

пружины:

Fx _

360-0,12

21,6

(Дж).

2 ~

1429.

Пружина

растягивается

под действием силы

в 100 Н на 0,02

м. Какую работу она совершает, растя

гивая ее на 0,1 м?

пружина растягивается на 0,02 м.

1430. Силой в 80

Первоначальная длина пружины 0,15 м. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м?

Р е ше н и е . 1-й способ. По формуле (11.21) найдем

k:80-k-0,02, откуда k = щ^- = 4000 (Н/м). Подставив най

денное значение k в формулу (11.21), получим: Fp = 4000х,

т. е. / (л:) = 4000л:.

Применим формулу (11.13), взяв пределы интегриро вания от 0 до 0,05, так как 0,2 — 0,15 = 0,05 (м):

0,05

А = Ç 4000х dx — 4000х~ 0,05 = 2000 • 0,0025 = 5 (Дж).

2-й способ. Сила 80 Н растягивает пружину на 0,02 м. Сила F растягивает пружину на 0,05 м, так как 0,2 — 0,15 = = 0,05 (м). Имеем пропорцию

				80 _ С02
откуда				Т ~ р 5 ’
откуда			80 • 0,05
			80 • 0,05		200 (Н).
				0,02	200 (Н).
				0,02
По формуле	(11.20)			найдем:
		,	200 • 0,05		5 (Дж).
	А	~		2	5 (Дж).
	А	~		2
1431. Силой	в	40	Н	пружина растягивается на 0,01 м.

Первоначальная длина пружины 0,18 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,24 м?

1432. При сжатии пружины на 0,04 м затрачивается работа 20 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

Р е ш е н и е . 1-й способ. По длине сжатия пружины на 0,04 м и совершенной работе по формуле (11.13) найдем:

0,04			0,04
20	kxdx = k'		0,04	: 0,0008£,
откуда	20
~	20	= 25 000		(Н/м).
~	0,0008

Теперь по этой же формуле вычислим А :

А = jj 25000л:dx = 25000у J°’*=25000 Ä = 125 (Дж).

2-й способ. По формуле (11.20) найдем:

2Д 2,20

1000 (Н).

0,04

Сила 1000 Н сжимает пружину на 0,04 м. Сила F сжи мает пружину на 0,1 м. Имеем пропорцию

1000 _ 0Д)4

откуда		F	0,1	*
откуда
	F = 10Qq° \| 0'1 =		2500 (Н).
По формуле	(11,20)	вычислим
,	Fx	2500 - 0,1		10г	/п ч
A = Y =		---- 2---- =		125	(Дж)*

1433. При сжатии пружины на 0,05 м совершается ра бота в 30 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,08 м?

1434. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растя нуть пружину, совершив работу в 80 Дж?

Ре ше ние . 1-й способ. По длине растяжения пружины 'на 0,04 м и совершенной работе 20 Дж по формуле (11.13) найдем ki

	0,04	0,0016
20і	kx dx =	0,0016	0.0008Æ,
	kx dx =	2	0.0008Æ,


откуда
	Æ==ô »	= 25000 № ) •
По k и A найдем

A = § kx dx,

где Xi — длина, на которую растянута пружина при совер шенной работе в 80 Дж:

80= \	25000х dx = 25000 • -			=	12 500x1,
откуда			4	„
а	80	16	4	„	. .
Хі ~	12 500	— 25ÖÖ ’	Хі ~ кй ~		(м) •

Ѵ 21 3 Богомолов Н. В,

385

2-й способ. Имеем: Лх — 80 Дж, Л2 = 20 Дж, х2 = 0,04 м. Применим формулу (11.24):

				Лі	х‘\ _ 80
откуда					~4'		2Ö	(0,Û4)2 >
откуда				80 • (0,04)2
		Х і =		80 • (0,04)2			2-0,04 = 0,08		(м).
		Х і =			20		2-0,04 = 0,08		(м).
					20
1435. Для сжатия пружины на 0,02 м необходимо со
вершить		работу		16 Дж.		На какую длину можно сжать
пружину, совершив работу в 100 Дж?
1436. Пружина в спокойном состоянии имеет длину
0,2 м.	Сила		в 50 Н		растягивает ее на 0,01					м.	Какую
работу	надо		совершить,			чтобы		растянуть	ее	от	длины
0,22 м до длины 0,32 м.
Р е ше н и е .				По формуле (11.21) найдем k\ 50^=0,01,
откуда	k — 5000			Н/м.	Пределами интегрирования						будут:
ха= 0,22 — 0,2 = 0,02					(м),	*„ = 0,32 —0,2 = 0,12				(м).
По формуле				(11.13) получим;
0.12							0,12
		5000* d* = 5000.					0,12	=2500(0,0144-0,0004) =
0,02		5000* d* = 5000.					0,02	=2500(0,0144-0,0004) =
0,02				=2500(0,014 = 35 (Дж).
				=2500(0,014 = 35 (Дж).
1437. Пружина в спокойном состоянии имеет длину
0,1 м.	Сила		в	20 Н	растягивает ее на 0,01					м.	Какую
работу	надо совершить, чтобы растянуть ее от-длины 0,12 м
до длины 0,14 м?
1438.		В цилиндре заключен атмосферный воздух, объем
которого		Vj = 0,4 м3. Цилиндр						находится в среде меньшей

плотности, поэтому воздух, заполняющий цилиндр, рас ширяясь, выталкивает поршень. Вычислить работу, совер

шенную воздухом	при расширении ее до объема 1/2 = 0,8 м3
(температура воздуха поддерживается постоянной).
Р е ш е н и е по	с х е м е I. Объем газа в закрытом со

суде и производимое им давление р при постоянной тем

пературе связаны формулой	Бойля—Мариотта;
рѴ — k = const.		(1)
Сила давления на поршень по мере выталкивания его
будет изменяться.	поршня равен х.	Разделив
Пусть путь движения

путь * на п равных частей, получим ^ = Дх.

Будем считать давление воздуха на каждом из отрез ков Ах ввиду малости Ах постоянным и изменяющимся скачком от одного отрезка Ах к другому. Объем цилиндра с высотой Ах и с площадью основания поршня S будет:

A V = SAx.

Элементарная работа силы давления на отрезке Ах приближенно равна:

ЛА	pSAx,	(2)
где р —давление воздуха	на единицу площади.
k		равен
Из формулы (1) Р — у , подставив значение р в		равен

ство (2), получим:

A A ^ y S A x = y A V = k ~ .

Мы получили выражение элементарной работы АЛ на любом участке Ах; значение АЛ на каждом из участков Ах будет различно.

Складывая элементарные работы АЛ, получим прибли женную величину работы силы давления воздуха при из

менении его объема			от	Ѵі до Ѵ2:
		А	іА			Ѵі
		А	1	м	-	I
			1	м	-	I
			=	V.		V = I
При	п - усо (А V -> 0) имеем:
	Л =					= k\nV		Vi
								v,
		= k (ln V2— ln Vi) = k							(3)
Для	вычисления k			применим формулу (1) pV — k. По
лагая в начальный' момент					объем воздуха			^	= 0,4 м3 и
давление	его	р — 101325 Н/м2 нормальным						и	подставив
эти значения		в формулу (1),				найдем:	&= 101 325 • 0,4 =
= 40 530. Подставив			значения			k, Vt я	Ѵ2 в равенство (3),
получим:
		Л = 40 530 In Л				= 40 530 In 2 =
	= 40 530 • 0,6931 я» 28091,3						(Дж).

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ