книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений
.pdfнайдем точки пересечения параболы и прямой: 0 (0 ; 0) и À (4; 4), следовательно, пределы интегрирования а = 0 ; Ь —4. Объем тела вращения представляет собой разность
объемов |
параболоида, образованного |
кривой у2 = 4х(Ѵ^, |
||
и конуса, |
образованного прямой |
у —х(Ѵ 2): |
||
|
|
4 |
|
|
|
ІД = я § 4х dx - п2х2 = 32я; |
|||
|
|
о |
|
|
|
'=я$X2 dx —я - |
64л |
=2 1 у я ; |
|
|
!Г |
|||
|
о |
|
|
|
V = Vj— Ѵ2= 32л — 21 | я |
= ю |
| я (куб. ед.). |
||
1386. |
у2 = 9х и |
у = 3х. |
|
|
1387. |
у2 = 9(л; + |
3) и х - у + 3 = 0. |
|
|
Реш ен ие . Выполним построение фигуры (рис. 161). Для вычисления пределов интегрирования решим систему
Гу2 = 9(х + 3),
\ Х - У + 3 = 0.
Точки пересечения параболы и прямой А (—3; 0) и В (6 , 9). Пределы интегрирования а = — 3 и b — 6.
Объем искомого тела есть разность объемов парабо лоида, образованного кривой у2 = 9(х + 3) (Ѵ^), и конуса,
О |
|
|
|
VI = ix ^ |
9 (х + 3) dx = 9л ( Y |
+ Зхj -з |
: 364,5JT, |
V2 = л |
(х + З)2dx — n jj |
(х3+ 6х + 9) dx — |
|
|
—з |
|
|
|
= it (у + Зх2+ 9х |
= 243л; |
|
1/ = У*—К2= 364,5л ~ 243л = 121,5л |
(куб. ед.). |
||
1388. #2= 4(х + 2) и х - у - \ - |
2 = 0. |
|
|
§ 70. Длина дуги плоской кривой
Пусть дуга AM плоской кривой y = f (х) имеет длину I [/ = ф(х)] (рис. 162). Дифференциал длины этой дуги dl выражается формулой:
где |
а и |
b |
значения |
независимой переменной х в точках |
|||
А |
и В. |
кривая задана уравнением x = F(y), |
то |
||||
|
|
Если |
|||||
|
|
|
|
|
а |
_______ |
|
|
|
|
|
L « ‘ = S V ' i + { % f “ е - |
( 1 1 -7> |
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
где |
т и п |
значения |
независимой переменной |
и в точках |
|||
А |
и В. |
|
|
|
|
|
|
1389. |
Найти |
длину окружности х2+ i f |
= г2. |
||
Р еш ен и е . Дифференцируя |
уравнение |
окружности |
|||
(см. § 41), |
найдем: |
|
|
|
|
|
2.t + |
2 j,.g = 0, |
dy |
X |
|
|
dx |
J ' |
|
||
|
|
|
|
||
По формуле (11.6) вычислим длину дуги четверти окруж ности, взяв пределы интегрирования от 0 до г:
L= i V *+(-f? * - № * ¥ * - |
|
|||||||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. X |
г |
л г |
|
= |
І Ѵ і’ |
Л х = г І |
у Г2—X2 |
г arcsin — |
о |
2 |
’ |
|
|
г |
|||||||
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
Откуда длина окружности: C = 4L = 4 -^- = 2пг. |
|
|||||||
1390. |
Найти |
длину |
дуги параболы |
у = У-х2 |
между |
|||
точками: 0 (0 , 0) и А^УЗ;
Р е ш е н и е . Дифференцируя уравнение параболы, полу
чим: ^1 ~ х . По формуле (11.6) вычислим длину дуги:
Ѵз
L = $ У l-\-x2 dx. Интеграл вычисляется по формуле
о
(см. задачу 1240):
L = [ ^ x V ^ T Î + ^ \ n ( x + V ^ + ï ) ] ^ 3^ 2 A |
(ед. дл.). |
|||||||
1391. |
Найти-длину |
дуги параболы у —х2 между точ |
||||||
ками 0 (0 , 0) и |
|
|
-j- |
|
|
|
|
|
1392. |
Вычислить длину дуги |
параболы |
у2 = 4х между |
|||||
точками |
О (0 , 0) и |
^ |
; У~Ъ^ ■ |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Для |
вычисления |
длины |
дуги |
применим |
|||
формулу |
(11.7), |
т. е. з а . аргумент примем переменную у: |
||||||
|
|
|
1 |
2. |
dx |
1 |
|
|
|
|
Х |
4 |
У ’ |
dy |
2 У’ |
|
|
|
V 5 ____________ |
ѴЪ |
|
|||||
L — |
|
|
|
|
§У ^ У УгйУ' |
|||
|
$ |
|
|
|
|
о |
|
|
Пусть* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vs |
_____ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ = |
S V l + tfdy. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле |
(см. задачу |
1240) |
получим: |
|
|
|
|
||||||||
/ = [ у У Ѵ ¥ + 4 + |
4 i n ( у + V W T Ï ) } f |
* |
: 5 ,2 8 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
L = у 7 = у |
■5,28 = 2,64 |
(ед. дл.). |
|
|
|
|||||||
1393. |
Вычислить |
длину |
дуги |
параболы |
уі = х между |
||||||||||
точками О (0 , 0) и |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1394. |
Найти |
длину |
|
дуги |
полукубической |
параболы |
|||||||||
у2 = х? между точками: 0(0, 0) |
и А |
^-у-^ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
J |
4_ |
_____ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
Р еш ен и е . |
у = х 2 , |
^ |
= у * 2, L = ^ |/ " |
1 + y*d.v. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Подстановка |
1 -\-^-х —z, |
dx = |
dz, |
za= 1 + 0 = 1 , |
|
za = |
|||||||||
= 1 4 . 1 . 1 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 ‘ |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
з 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
T S |
г 2 dz ■ |
4 |
|
2 ..Ö- |
= |
2 27 (ед. Д Л .). |
|
|
|||||
|
|
|
9 |
' |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
І395. |
|
Найти |
длину |
дуги |
полукубической |
параболы |
|||||||||
9у2 = 4х3 между |
точками |
0(0, |
0) |
и |
А (3; 2 1/”3). |
|
X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
* |
|
|
1396. |
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
( -? . |
|
||||
|
длину дуги цепной линии г/= у |
\еа + е а |
|||||||||||||
между |
точками |
Л (0, |
а) |
и |
|
й^ 2е~^)' |
|
|
|
|
|||||
Р еш ен и е . |
Из |
уравнения |
цепной линии |
находим: |
|||||||||||
d x~ 2 \е |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конуса с радиусами оснований у |
и y-\-dy |
и |
образую |
щей dl: |
|
|
|
dS = J ?ÿ± 2^(y+ Ф ) , dl = n фу + dyj d[ f^ |
2пу dt |
||
(слагаемым dy пренебрегаем в виду |
его малости |
по срав |
|
нению с 2у).
Площадь поверхности, образованной вращением дуги
AB, |
вычисляется по |
формуле |
|
||
|
|
ь |
ь |
ь |
________ |
|
S = |
J dS — 2л |
Ç ydl = 2 j t ^ y |
у \+ (ç £ )d x , (11.8) |
|
|
|
а |
а |
а |
|
где |
а я |
b значения |
независимой |
переменной х в точках |
|
А и В. |
вращении дуги AB |
вокруг оси Оу имеем: dS я« |
|||||||
При |
|||||||||
гы 2лх dl, |
откуда |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ь |
|
ь |
________ |
|
|
|
|
|
S = 2JT J х dl = 2л j j x ] / l + ( ~ ^ d y , |
(11.9) |
|||||
|
|
|
|
а |
а |
|
|
|
|
где а |
и b |
значения |
независимой |
переменной у в |
точках |
||||
А я |
В. |
|
Найти |
площадь |
поверхности |
шара, |
образован |
||
1398. |
|
||||||||
ного |
вращением |
окружности |
х2+ г/2= /-2 вокруг |
оси Ох. |
|||||
Р е ш е н и е . |
Дифференцируя |
уравнение |
окружности |
||||||
**+ Уг = г\ |
получим: 2х + 2у d£ = 0, £d = - j . |
|
|||||||
Найдем дифференциал дуги |
|
|
|
||||||
|
dl-- |
Y |
i 4 ? x i dx= |
V |
i + { - j ï dx~ |
|
|||
|
|
|
|
- |
y'l+ ^ dx==rJX' |
|
|
||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
Подставив значение дифференциала dl в формулу (11.8), |
|||||||||
и взяв пределы |
интегрирования от — г до г, получим: |
||||||||
|
S = 2n ^ |
у • ~ |
— 2пг |
dx = 2л гх |
= 4лг2. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
I—г |
|
|
1399. |
|
Найти |
площадь |
поверхности |
шарового пояса |
||||
свысотой Я, образованного вращением окружности1 х2+ г/2= гг вокруг оси Ох.
Р е ш е н и е . |
Как и в задаче 1398,имеем: |
dl = |
|||
Пределы |
интегрирования |
возьмем |
от |
а до а-\-Н |
|
(рис. 164). |
|
(11.8) получим: |
|
|
|
По формуле |
|
|
|||
а + Н |
а + Н |
dx — 2л гX |
а+ Н |
||
■2я |
^ |
у • ~ — 2пг ^ |
|
= 2пгН. |
|
1400. Найти площадь поверхности шарового сегмента
свысотой Н, образованного вращением окружности х2+
+у2 — г2 вокруг оси Ох.
Р е ш е н и е . |
Как и в задаче 1398, имеем: |
dl —~ . |
|||||||||
Пределы |
интегрирования |
возьмем |
от |
г — Н |
до г |
||||||
(рис. |
165). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (11.8) |
получим: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
г |
|
|
г |
|
г |
|
|
|
|
5 = 2я |
^ |
у - ~ — 2лг |
^ |
dx = 2nrx |
|
—2лгН. |
||||
|
|
г - Н |
|
|
г - Н |
|
г — Н |
|
|
|
|
1401. Найти площадь поверхности шарового пояса, |
|||||||||||
образованного вращением |
окружности х2-\-у2— 16 вокруг |
||||||||||
оси |
Ох |
и_ заключенного |
между точками |
А |
(2 ; |
2 | / з ) |
|||||
и В (З; |
1/7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1402. Найти площадь поверхности, образованной вра |
|||||||||||
щением вокруг оси Ох дуги окружности |
(х —4)2 |
у2 —36, |
|||||||||
взятой между |
точками |
Л (2, |
А}/~2) и 5(4, |
6). |
|
|
|||||
|
§ 72. |
Смешанные задачи |
|||
Вычислить площади фигур, ограниченных указанными |
|||||
линиями. |
1) у —х2— 8лг — 18, |
у = —2х+18; 2) у = — х2 + |
|||
1406. |
|||||
-f- 10х — 16, у = х - j-2 . |
|
|
|
|
|
1407. |
1) у = х2, у = 2 —X2; 2) у = х2, х = у2. |
||||
Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг |
|||||
оси Ох площадей, ограниченных указанными линиями. |
|||||
1408. |
у2 = 4(х —2), |
у = 0, |
х — 3 и |
х = |
6 . |
1409. |
у = —х2-\- 5х, |
у — 0, |
х — 0 и |
х — 3. |
|
1410. |
у2 = 4(х + 2) и х — у + 2 = 0. |
|
шарового пояса, |
||
1411. |
Найти площадь поверхности |
||||
образованного вращением окружности х2+ і/2= 25 вокруг оси Ох и заключенного между точками А (—3, 4) и В (4, 3).
Контрольная работа
I в а р и а н т
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
2 |
4х dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3dx |
||
1412. |
Вычислить интегралы: |
1) |
V 1 + |
2х2 |
2>$я 2 cos2 у |
||||
|
|
|
|||||||
3 > $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уз |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной линиями: |
|||||||
4. |
|||||||||
у — 4 —х2 и у = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти объем тела, образованного вращением вокруг |
||||||||
оси |
Ох |
фигуры, |
ограниченной |
линиями: |
у 2- х - \ - 1 = 0 , |
||||
X— 2 = 0 , у —0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
II в а р и а н т |
|
|
__ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1413. |
Вычислить |
интегралы:. 1) |
\ (]/2х + ^ х ) dx\ . |
||||||
JL |
|
|
Уз~ |
|
|
|
о |
|
|
2 |
cos X dx . |
|
з |
|
|
|
|
|
|
Г |
q\ |
f |
d* |
|
|
|
|
||
J |
j / 2 s i n * + l ’ |
J |
Y 4 |
—9хг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у —
—X2 —6х + 9 и Зх — у — 9 — 0.
5.Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у = — х2+ 2х и
У = 0.
|
|
|
§ 73. Путь, пройденный телом |
|
|
||
за |
Путь, |
пройденный телом |
при |
равномерном |
движении |
||
время |
/, |
вычисляется по |
формуле |
|
|
||
|
/ |
|
s = vt, |
|
(11. 10) |
||
где скорость |
ѵ— постоянная |
величина. |
|
|
|||
|
При неравномерном движении скорость ѵ—величина |
||||||
переменная, зависит от времени /, |
т. е. v = f ( t ) . |
|
|
||||
за |
Путь, пройденный телом при неравномерном движении |
||||||
время /2—/1( вычисляется по формуле |
|
|
|||||
|
|
|
^2 |
|
|
(11. 11) |
|
|
|
|
s — \ l(t) dt. |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
ѵ — |
|
1414. Скорость движения тела задана уравнением |
||||||
— (3/2-j-2/ — 1) м/с. Найти путь, пройденный телом за |
10 с |
||||||
от |
начала |
движения. |
|
дано: /і = 0, |
/2= 1 0 с , |
||
|
Р е ш е н и е . В условии задачи |
||||||
|
|
|
|
|
|
іо |
|
/(/) = 3/2+ 2/ — 1. По формуле (11.11) получим: s= § (3 /2 -f-
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
+ |
2/-1)с// = (/3+ /2- / ) | ‘° = 103+ |
ІО2- |
10=1090 (м). |
|||||
|
1415. |
Скорость |
движения |
тела |
задана |
уравнением |
||
H = |
(6/2-f4) м/с. Найти путь, пройденный телом за 5 с от |
|||||||
начала движения. |
движения |
тела |
задана |
уравнением |
||||
|
1416. |
Скорость |
||||||
v — (9t2 —8t) м/с. Найти его путь |
за |
четвертую секунду. |
||||||
|
Реш ен ие . В условии задачи |
дано: |
^ = 3 с, /2= 4 с, |
|||||
/(/) = 9/2—8/. По формуле (11.11) |
получим: |
|
||||||
|
|
4 |
8/) dt = (3/3 - |
|
|
|
|
|
|
|
s = $ (9/2 _ |
4/2) I4 = 83 |
м. |
||||
|
|
з |
|
|
|
3 |
|
|
|
1417. |
Скорость |
движения |
тела |
задана |
уравнением |
||
V — (2/ + |
м/с. Найти его путь |
за |
вторую секунду. |
|||||
|
1418. |
Скорость |
движения |
тела |
задана |
уравнением |
||
V — (12/ — 3/2) м/с. Найти путь, |
пройденный |
телом от на |
||||||
чала движения до его остановки. |
|
нулю в |
моменты на |
|||||
|
Р еш ен и е . Скорость тела равна |
|||||||
чала его |
движения |
и остановки. |
Найдем момент оста |
|||||
новки тела, для этого приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно /:
1 2 / - 3 /2= 0, /(4 — /) = 0, /х= 0, /2= 4 с.