Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf
Скачиваний:
219
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
18.34 Mб
Скачать
☆

частей, поэтому найдем площадь фигуры над осью Ох п полученный результат удвоим:

 

и

 

 

о

 

 

«Si=

^ (х3 — х) dx -- -------

= т (кв-

еД-);

—1

 

—і

 

 

 

 

 

 

 

:2Si = 2 - ^ = ^r (кв.

ед.).

 

1353. у = х3 — 4х, у = 0,

х —— 2 и х = 2.

 

1354. у2 — 4х, х = 1

и х — 9.

 

148).

Р е ш е н и е .

Выполним

построение фигуры (рис.

Искомая площадь состоит из

 

 

двух

равных

частей,

поэтому

 

 

найдем

площадь

фигуры,

расположенной

над осью

Ох: у2 — 4х,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = + 2}/1с—2х2;

 

 

9

 

_з

 

 

і.

1

 

 

-

9jC2

9_ А

 

 

 

 

 

 

 

2x 2 dx = - j -

 

92 — 12

 

 

1S

 

Т

і ~ з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«=34-|- (кв. ед.),

S =

2Si =

 

2-34-|- = 69-i-

(кв. ед.).

1355.

у2 = 9х и х — 4.

 

 

 

 

 

1356.

х2 + у2 = г2.

 

 

 

Из уравнения окруж­

Ре ш е н и е . Дан круг радиуса г.

ности имеем: у = уѴ2— х2.

Найдем одну четвертую часть площади круга, взяв пределы интегрирования от 0 до г:

Г

S i = jj У г 2 — X2 d x .

о

Интеграл этого вида был вычислен в примере 1224:

 

 

 

arcsin у + у У г2 —X2

г

 

Г2

. .

=

 

 

 

о

= -сг arcsin 1

 

 

г2 я

 

 

 

2

 

 

 

 

г‘л

S = 4Si = 4 •

Г 2 Я

лг2.

 

 

 

У

І

 

~

 

1357.

х2 + у2 = 9.

 

 

 

 

 

 

 

1358.

4

+

ÿ =

l.

 

 

 

 

 

 

 

а2

'

о2

 

 

 

 

 

 

 

тую часть

площади эл­

 

 

 

 

 

до а:

липса, взяв

 

пределы

интегрирования от

0

 

 

 

 

а

 

 

 

 

а

 

 

Sx =

Ç у У а2 —X2 dx — ~

^ 'Уа2— х2 dx.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

о

 

 

Интегрируя

по формуле

^ У а2— х2 dx = ~

arcsin у +

4 - ~ У а2 —X2+

С, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

Si

 

 

аь_ у

arcsin у

+ у У а2 —X2

а

 

Ь_

 

 

О

 

к

аа

. . .

а

 

 

 

 

 

а

 

 

arcsin 1 + у

0

-

arcsin 0 -f О

 

^ у

 

 

 

 

 

а2

я

 

„

аЬщ 1

 

 

 

 

 

 

 

У У ~ и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 4Si =

4

1 аЬп = аЬл (кв. ед.).

 

у2

 

 

jj2

 

 

 

■*

 

 

 

1359. 7ё' +

- |- ==І-

 

 

 

 

 

 

1360. y = ünx, у = 0,

х = — Y

и х = л.

 

 

 

 

 

 

и

 

 

п

 

п-

Решение.

5 = J

$

sinxdx| + $sinxdx = I — cosxj0

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

■COS* о =

 

■cos О +

COS

— COS Л +

COS 0 : - 1

-Ь

+ 0 + 1 +

1 = 3 (кв. ед.),

(рис.

149).

 

 

1361.

у ~ sinx, у = 0,

х = 0 и х — 2п.

 

 

IV.

 

Вычисление площади фигуры, ограниченной

 

двумя

пересекающимися линиями y = f(x)

и </= <р (я)

 

Вычислить площади фигур,

ограниченных указанными

линиями.

у = х2 и у — 2х.

 

 

 

 

1362.

 

 

 

 

Реш ен ие .

Выполним

 

 

 

построение

(рис. 150)

па­

 

 

 

раболы и прямой.

пере­

 

 

 

Найдем

точки

 

 

 

сечения параболы у — х2 п

 

 

 

прямой у — 2х. Для этого решим систему уравнений относительно х:

fУ = **'

\у = 2х, хг — 2х — 0, х(х — 2) — 0; хл = 0 , х2= 2.

Следовательно, пределами интегрирования будут

а ==

= Хі — Ь и Ь —х2 = 2.

пло­

Искомая площадь S представляет собой разность

щадей 5і и S2.

 

Имеем:

 

 

 

 

 

 

М 2х dx-

2х2

-А (кв. ед.), S2=

^ х2dx

X 3

= -3

(кв. ед.);

S = St — S2 = 4-

8

4 ,

,

т

= T (кв-

еД-)-

1363.

г/= х2 и ?/= — 3x.

 

 

 

1364.

y = x2 и г/= 2х + 8 .

 

 

 

Р е ш е н и е .

Выполним построение фигуры (рис. 151).

Для нахождения точек пересечения

параболы

у —х2 и

прямой у = 2х + 8 решим систему уравнений относительно х:

{ У =

х2,

\ Ï/ =

2X + 8 , х2= 2х + 8 , х2—2х — 8 = 0, х2= — 2, х2= 4.

Искомая площадь 5 представляет собой разность пло­ щадей: 5л,лвв,— 5 л,ловв,. Пределы интегрирования: а = = Хі = — 2, 6 = х2= 4.

«■^Лілвв, — $ (2x + 8)dx = (x2+ 8x)|l2= 6 0

(кв. ед.),

—2

P*

 

 

 

 

5л,ловв, =

*3

4

24 (кв. ед.);

\,x2dx = -j-

_ 2 =

 

—2

 

 

 

 

S = 60 - 2 4 = 36 (кв. ед.).

 

1365. 1) г/= х2

и

г/= х + 2;

2)

г/= х2

и у — Ъх— 6;

3) г/= х2+ 2 и у — 6.

1366. */= уХ 2— 4х+10 и у = х + 2.

Р е ш е н и е . Выполним построение параболы и прямой (рис. 152). Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему:

г/ = у х2 — 4х +

10,

у — х + 2,

у х2 — 4 х + 1 0 = х + 2; у Х 2 —5х + 8 = 0;

х2 — 1 0 х + 16 = 0; Хі = 2 и х2 = 8.

Следовательно,

й = х1 = 2 и Ь = х 2 = 8.

Искомая

площадь

S

равна

разности

площадей

Si = S A 1A B B I

и

S A I A C B B I I т. e.

S = Si~S%:

 

 

8

 

 

 

 

 

Si =

§ (* +

2) dx =

-b 2x) ®= 42 (кв. ед.);

ö

 

 

 

 

 

 

S2= § (± - x * - 4 x + \0 )d x = ^ - 2 x 2+ \0 x

 

2

 

=

24 (кв. ед.);

 

 

 

 

S = Sx — S2— 42 — 24 =

18 (кв. ед.).

 

1367. 1) г/= х2—2x-|-3

и у — Зх— 1; 2) у =

х2 — 2х +

+ 4, у —— х+10;

3) у —-—хг-\- 2х + 4, у — х-\- 8 .

1368. 7х2-9 г/ + 9 =0 ; 5х2-

9г/+ 27 = 0.

Р еш ен и е . Выполним построение фигуры. Перепишем

 

7

 

5

уравнения в таком виде: У = -у

х2+ 1 и г/ = -д-х2+ 3.

Вершина первой

параболы

лежит в

точке А (0; 1) и

второй в точке В (0;

3).

 

 

Для нахождения точек пересечения парабол решим

систему:

 

 

 

' 0 = 1 * 4 - 1,

 

 

 

У ~ ~д ^24“3» *і = 3, 0і = 8 ; *2=

3, f/2 —8 ,

Зная

вершины и точки пересечения, построим эти пара­

болы (рис. 153).

 

 

 

 

Фигура расположена симметрично относительно оси Оу,

поэтому найдем половину

площади фигуры,

взяв пределы

интегрирования от 0 до 3:

 

 

 

 

S i =

^ ( 4 ^ + 3 ) dx=rz{ ^ f +

З х )

о = 14

(к в - еД-)>

 

\)dx = [ ^ - + x

= 10 (кв. ед.);

S = Si — S2= 14— 10 = 4 (кв. ед.),

2S = 2-4 = 8 (кв. ед.).

1369.

1) у = 2х2+1,

у = х2 + 10;

2)

ÿ ==—-§-** +

+ 9х —

у = — х2 + 6х — 5.

 

 

 

§ 69. Объемы тел вращения

 

 

Объем тела вращения вычисляется по формуле

 

 

ь

 

 

 

 

V = n ^ y 2dx,

 

 

(11.3)

 

а

 

 

 

 

где y = f{x) —функция,

график которой есть кривая (пря­

мая), вращающаяся

вокруг оси Ох (рис. 154)

и образующая поверхность искомого тела

вращения;

а и

b

пределы

интегриро­

вания.

 

 

 

х,

 

Если у не выражено в явной форме через

то его

надо найти из уравнения кривой.

 

оси Оу, то

Если вращение тела

производится вокруг

 

ь

 

 

 

 

Ѵ = л ^ х 2 dy,

 

'

(11.4)

 

а

 

 

 

 

где х = (р(у)— функция,

график которой есть кривая (пря­

мая), вращающаяся

вокруг оси Оу и обра­

зующая поверхность искомого тела враще­

ния; а п

b пределы интегрирования.

 

I. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной кривой

y — f (х), осью Ох и двумя ординатами

Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох площадей, ограниченных указанными линиями.

Рис. 155

1370. у2= 4х, у = 0 и х = 4.

Р е ш е н и е . Выполним построение (рис. 155). Тело вра­ щения параболоид. Пределы интегрирования а — 0 и Ь — 4.

По формуле (11.3) вычис­ лим объем тела:

V —я ^4xdx — 2ях2

1371.

1) у2= х,

у = 0, х = 1 и х = 2; 2) у2= 2х, у = 0,

х = 2 и х = 4; 3) у2= 6х, у = 0, х = 1 и х = 3; 4) у2 =

— 2(х + 2),

у —0 и х =

0 (рис. 156).

1372. у = х2- 9 и </ = 0.

Р е ш е н и е . Выполним построение (рис. 157). Пределы интегрирования в силу симметричности фигуры относи­

тельно оси Оу возьмем от 0 до

3,

а

затем

полученный

результат удвоим.

 

 

получим:

 

 

 

 

По формуле

(11.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

о

 

 

w

 

 

V1 = n \ ( x 2- 9 ) 2dx = n \ ( x i - 18л:2+ 81) dx

 

 

 

 

= я (4—

 

6х3+ 81х

=

129,6л;

 

 

 

 

V= 2 Ѵх = 2 *129,6я = 259,2я

(куб. ед.).

1373.

 

1)

г/ = х2- 1

 

и у = 0;

2)

у —Зх — х2 и у —0;

3) £/==— X2— X и у = 0.

 

 

 

 

 

 

1374.

 

 

х —2г/ + 6 = 0,

 

 

 

 

г/ = 0 и X = 2.

Выпол­

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

ним

построение фигуры

 

 

 

 

(рис. 158).

Прямая

х —

 

 

 

 

— 2г/+ 6 = 0

пересекает

 

 

 

 

ось

Ох в точке

А (—6 ; 0).

 

 

 

 

Пределы

интегрирова­

 

 

 

 

ния

а = — 6

и

ö = 2 .

 

 

 

 

По

формуле

(11.3)

вычис­

 

 

 

 

лим

объем

конуса,

обра­

 

 

 

 

зованного

вращением тре­

выражается

уравнением

угольника

АВС,

в

котором AB

У-

1-х + 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1/ = л

jj

х +

з у ^ х = я Ç f y x 2 +

3x + 9^dx =

 

 

 

-6

 

 

 

—6 ^

 

 

 

 

 

=

 

л (і+

+

 

+

9*) |1 5 =

42 у я

(кубед.).

 

1375.

х + 2г/ —4 = 0,

г/ = 0, х =

0.

 

 

 

 

1376.

х? + г/2= /+ г/= 0.

 

 

Для

вычисления

Р е ш е н и е .

Тело

вращения— шар.

точек пересечения окружности и оси Ох, решим систему:

I х2 + У2 = г2,

 

\ у — 0 ,

откуда Хі = — г и х2 = г.

Пределы интегрирования можно взять от а = 0 до Ь — г, так как фигура симметрична относительно оси Оу, и полу­ ченный результат затем удвоить:

Ѵ1

 

 

 

х2) dx = n ( r2x —

—

__тт/*3»

 

 

 

 

 

о

3 яг •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = 2Ѵі —2 ’~ п г ъ = - \п г 3 (куб. ед.).

 

 

1377.

х2 +

у2 = 4,

у = 0.

 

 

 

 

 

1378.

£

 

+ - g - =

1, £ = 0.

 

 

 

 

 

Р еш ен и е .

Тело вращения — эллипсоид.

Данный

эл­

липс пересекает

ось

Ох

в точках xt = — а и х2 — а.

Из

уравнения

эллипса имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і/2 =

|г (я2- * 2)-

 

 

 

 

Эллипс

симметричен

относительно

оси

Оу,

поэтому

пределы интегрирования

можно

взять

от 0

до а

и полу­

ченный результат удвоить:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аЬ2л\

 

 

1/ = 2 Ѵ'1= 2 *-|-а02л = у

аЬ2л (куб.

ед.).

 

 

1379.

~

+

 

1, х — 0.

 

 

 

 

 

Решение . Эллипс вращается вокруг оси Оу. С осью Оу эллипс пересекается в точках Уі~ — Ь и у2 = Ь. Пределы интегрирования возьмем от 0 до Ь. Из уравнения эллипса имеем

и

 

6* ф2- у 2У,

 

 

 

 

 

 

 

ah/' b

 

9

 

Ѵі = п Jj

(b2 -

y2) dy = л

a-у -

=

dlbn;

 

 

 

 

n

 

3

’

V — 2 Vi =

2 • -f- а2Ьл =

~ a2bn (куб.

е д .) .

 

1380. ~ +

= 1. ÿ = 0.

1381. —а

р- =

1, у —0,

х — а, х — 2а.

 

Р е ш е н и е .

Тело вращения — гиперболоид. Из

урав-

нения гиперболы

имеем:

у2= Ь2 (я2— а2) (рис.

159).

2а

v= * \ ^ - b * ) d x =

 

 

8аЬ2— баб2 — а6* + 3а62

 

 

 

 

 

= Я ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4лаЬ2

(куб. ед.).

 

 

 

 

 

 

~т~

 

 

 

 

 

1 3 8 2 . 1) * 2 - # 2 = 4 , г/ = 0 , х = 2 ,

 

 

 

* =

4 ; 2 ) у

— - f =

1 , у = 0 , х

=

3,дс = 6 .

 

 

 

 

1 3 8 3 . у = sin*, X = 0, х = я и у — 0.

 

от

0 до л:

 

Р е ш е н и е .

Пределы

интегрирования

 

 

ffl

 

 

JT

 

 

 

 

 

V —я ^ sin2xdx — я ^

-~ c°s-— dx = ^ n х —

 

 

•а

 

 

 

X■ 1

1 sin2x

 

 

 

И cos 2х dx —я ( Y

 

=

я ( у я — ~ 8Іп 2я ^ = я

 

я — -Г •o j

= у

я2 (куб. ед.).

 

1384.

у = cosx,

у = 0,

х = 0, х = у

(смпРимеР 1208).

 

 

II. Вычисление объема тела, образованного

 

 

 

вращением вокруг оси Ох фигуры,

 

 

 

ограниченной кривой y = f (х) и прямой Ах-\-Ву-\-С= 0

оси

Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг

Ох

площадей,

ограниченных указанными

линиями.

1385. у2 = 4х и у = X.

Решение . Выполним построение фигуры (рис. 160). Решив систему

У2= 4х,

У = х,

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности