Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4836 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

С	находится как абсцисса точки пересечения кривой у =
=	/ (х) с осью Ох, для этого необходимо решить систему

уравнений

( y = f(x).

Ь = о .

IV. Площадь S ограничена двумя пересекающимися кривыми y = f(x) и у — ер (х) ( a s ^ x ^ b ) (рис. 131); Si —

= площ. aAMBb, S2 — площ. aANBb:

b	b
S = 5x —52; S i= \f{ x ) d x ,	S2= $ <p (x) dx;
a	a

b b

S — ^fix) dx — ^(f(x) dx.

a a

Пределы интегрирования a и b находятся из решения системы уравнений

( y = f(x),

\ У — У (х),

Фигура, ограниченная двумя пересекающимися кри выми, может быть расположена, как в случае II или III.

Площади фигур, прилегающих к оси Оу, вычисляются аналогично.

I. Вычисление площади фигуры, ограниченной осью

г Ох, линией y = f (x) \ f ( x ) ^ 0 ]
	и двумя прямыми х = а и х = Ь
Вычислить площади фигур, ограниченных указанными
линиями.	у — 0 и х = 3.
1322. у — 2х,
Ре ш е н и е .	Выполним построение фигуры. Из усло

вия задачи видно, что фигура ограничена прямой, прохо

дящей через начало координат				(у — 2х), осью Ох(у = 0) и
ординатой	х — 3	(рис. 132).	по	формуле (11.1). Имеем:
Площадь вычисляется
f(x) — 2x,	а — 0 ,	Ь — 3.
	S	3	,з
		= $2XCÛ:= X2\|O= 9 '(KB. ед.).

Заданной фигурой является прямоугольный треуголь ник с основанием 3 и высотой у ~ 2 х — 2-3 — 6. Для про верки вычислим площадь этого

треугольника обычным путем:

SA= y а/г = у*3- 6 = 9 (кв. ед.).

1323. 1) у — х,	у —0 и л = 4;
2) // = —Зх, у = 0	и JC= —2.

1324. я + 2// —4 = 0, //= 0, х = —3 и х = 2.

Ре ш е н и е . Выполним построение фигуры (рис. 133). Строим прямую х-\-2у — 4 = 0 , у — 0 , х — 4, А (4; 0); х = 0, у ~ 2, В (0; 2). Выразим у явно через х:

// = —у х + 2 .

Имеем:

/(*) = — у * + 2 , ß = —3, 6 = 2 ;

S = ^ у * + 2^с?л:= ^— ^- + 2л: ^_з = 11,25 (кв. ед.).

Проверка. Имеем трапецию УИЛДЛц/Ѵ. Основание

ЛДЛ4 = / (—3) = —	у • (—3) + 2 = у .	Основание Nj_N =
= / (2) = — у • 2 +	2 = 1. Высота	—3 1+ 2 = 5:
S трапеции	•5=11,25	(кв. ед.).

1325. 1) л:—// + 2 = 0, у = 0, х = — 1 и х — 2; 2) 2х— —3// + 6 = 0, у — 0 и х = 3.

1326. X — 2y-\-4 = 0, x-\-y —5 = 0 и y — 0.									(рис.
Р е ш е н и е .			Выполним построение фигуры						(рис.	134).
Построим прямую X — 2 y - f 4 = 0; у = 0, х — — 4;									А (— 4; 0);
H= 0;	у = 2,		В(0; 2). Построим				прямую х-\-у— 5= 0;
ai= 0,	х = 5,	С (5;		0); х = 0,	у = 5,		D (0;	5).
Найдем		точку		пересечения		прямых,		решив систему
уравнений:
	х - 2 у + 4 = 0,
	х + у — 5= 0, х = 2,					у — 3, М (2; 3).
Для вычисления искомой					площади разобьем треуголь
ник АМС на два треугольника AMN и NMC, так как при
						изменении х от А до N
						площадь		ограничена		пря
						мой	X —2г/ + 4 = 0 и			при
						изменении х от N до С
						прямой х + у — 5 = 0.
						Для треугольника АМN
						имеем: х — 2у + 4 ==0;				у —
						= Т х + 2>
							f(x) = ~ х + 2,
							а — —4 и b = 2.
Для треугольника NMC					запишем: х + у — 5 = 0,					г/ =

=—х + 5, f{x) = —х + 5, а = 2 и &= 5. Вычислим площадь каждого из треугольников:

	2
5длмл/= ^ ^“2 " * 2 jdx =		-f- 2л:j	=	9	(кв. ед.);
	О
>/\NMC	$ (—х + 5) dX :	L + 5xj 2=		4,5 (кв. ед.);
■S— S&AMN + 5дл^мс = 9 + 4 ,5= 13,5					(кв. ед.).
Проверка: S&AMC = у ЛС-ЛШ = у -9-3=13,5 (кв. ед).
1327.	1) х - у + 3 = 0,	х + у	- 1 = 0		и	у — 0;
2) X — 2y-j- 4 — 0, х-\~2у — 8 = 0, у = 0,				х = —1		и х — 6.
1328.	у —х2, у — 0, х — 2 и х — 3.

Р е ш е н и е .	Параболу	у = х 2	построим по точкам
(рис. 135):
X	0	+ 1	+ 2	+ 3
У	0	1	4	9
-*•

Из условия задачи следует, что фигура ограничена параболой у — х2, ординатами х = 2 ил: = 3и осью Ох (у — 0).

Такая фигура называется криволинейной трапецией, так как одна из боковых сторон ее парабола. Имеем: f(x) = = х2, а —2 и 6 = 3:

	5 =	X2 dx — у X3	(кв. ед.).
1329.	1) у ^ х 2, у —0 и х — 3;		2) у*=3х2, у = 0, х — —3
и х — 2.	у —х2-\-1, у = 0, X ——1 и х — 2.
1330.	у —х2-\-1, у = 0, X ——1 и х — 2.			(рис. 136).
Р е ш е н и е .		Выполним построение фигуры		(рис. 136).
Из условия		задачи следует,	что f (х) — х2-J-1, а = —1
и Ь —2:
S = (х2+ 1 )dx =			і== 6 (кв.	ед.).
	—і

1331. 1) у = ^ х 2 + 2 , у — 0,			х = 1	и	х =	3; 2)	у =
= Зх2+ 3, у == О, X = — 2 и х = О.
1332. у = —х2+ 4 и 0 = 0.			построение			фигуры
Р е ш е н и е .	Выполним		построение			фигуры
(рис. 137). Искомая площадь		заключена между пара
	болой у — — х2+ 4				и	осью	Ох.
	Найдем точки			пересечения			па
	раболы с осью Ох. Положив у = О,
	найдем х = :± 2 .
	Имеем: f (х) = —х2+ 4, а = — 2 и
	b = 2:
		+ 2
		^	(—X2+ 4) öfx=
	х»	,	. \	“	10 Т <кв- <‘Я' 1•
	" з +		to )	“	10 Т <кв- <‘Я' 1•

Парабола симметрична относительно оси Оу, поэтому можно вычислить площадь, ограниченную параболой и осями Ох и Оу и полученный результат удвоить:

51= jj (—X2 - f 4) Û(X = ^ — у + 4xj * = 5 у (кв. ед.);

S = 2Sx = 2 •5 ~ = 10 -f- (кв. ед.).

1333. 1) г/= — у х2+ 3 , у —0, х = 0 и х = 3 ; 2) у = —Зх24-

+ 8 , у = 0, х = 0 и х = 2 .				и х = 4 (площадь ограничена
1334.	у2 = х,	у = 0,	X = 1
верхней	ветвью параболы).			построение фигуры. Парабола
Р е ш е н и е .		Выполним
симметрична относительно				оси Ох. Для построения ее
верхней ветви (рис. 138) соста
вим таблицу:
X	0	1	4

У 0 1 2

4 j

з_

2х2 S = У х dx — ^ X 2 dx — Д Г

(8 - 1) = 4 Т (кв. ед.).

1335. у2 = х, у — 0, х = 0 и х = 3 (площадь ограничена верхней ветвью параболы).

1336. у = — ~ х 2 + х + 3, у = 0.

Р е ш е н и е .	Для	построения				параболы			найдем коор
динаты ее вершины		и	точки		пересечения				с осями коор
динат:			пересечения				параболы с осью Ох:
1) вычислим точки
у —0, —■~ х2-\-х-\-3 = 0,						X2 — 4х — 12 = 0;
		Х\ = —2,			х2 = 6;
2) найдем вершину параболы:
	■„	Хі + *2			—2-f-6			0>
	в—		2	—		2	~	'
У.	= -	\	-	22+ 2 +		3 = 4,		(2;	4);
3) вычислим точки			пересечения				параболы с осью Оу:
X — 0, у = — • 0 + 0 + 3 — 3,

(0 ; 3 ).

Имеем таблицу точек, по которым строим параболу:

X	—2	0	2	6
У	0	3	4	0
Искомая		площадь		заключена между параболой

у = — ^ х 2-\-х-\-3 и осью 0х(г/ = 0) (рис. 139).

12 Богомолов R . В,

353

S =	-^х* + х + 3^ dx = -		ye
S =	-^х* + х + 3^ dx = -	12 +	~о~ 4" Зл:
	2 1 ^1- (кв.	ед.).
1337.	1) у = — х2- 2 х + 8,	у = 0;	2) ÿ = ---- \|-л:2-\|-

+ 3-*, У = 0; 3) у = — х2 + 6 х ~ 5, // = 0, * = 2 и * = 3.

	1338.	ÿ —	У	X = 1		и ж = 3.
	Р е ш е н и е .		Выполним			построение	фигуры. Имеем
равностороннюю			гиперболу,			отнесенную	к	асимптотам.
По	условию задачи			рассмат
риваем ветвь, расположенную
в I	четверти (рис.			140).
X	1	1	1	2	3
X	3	2	1	2	3
	3	2
У	3	2	1	1	1
У	3	2	1	2	3
				2	3
	Имеем: / (х) — ~ , а — 1				и	Ь = 3.
		з
	S =	^ - jd x = l n jt ^ = ln 3 — ln 1 — 1,0986						(кв. ед.)

1339. у ——, у = 0, х — 2 и х — 4.

1340. у = йпх, у = 0, л:=0 и х = л.

Р еш ен и е . Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (рис. 141).

Имеем: / (л:) — sin д:, о = О				и Ô= JT;
	П
S = \j sinxdx —— cosx\|"== — cos я + cos О =
	о	=	1 + 1 = 2	(кв. ед.)

• 1341.	1) y — cosx,		у —О,	л:=	О и х = у ;	2)	y — tgx,
У = О, х = 0 и х = ~ \			3) у = tgx,		у = О, х = -£- и		* = - - .
II. Вычисление площади фигуры, ограниченной осью Ох,
	линией y = f (х) [f (х) ^ 0J
	и двумя прямыми х — а и х = Ь
Вычислить площади фигур, ограниченных						указанными
линиями.	у — — 6л:,	у = 0 и х = 4.
1342.
Ре ш е н и е . Из		построения видим, что фигура располо

жена под осью Ох (рис. 142). Имеем: f(x) = — 6х, а = 0иЬ = 4:

	4
S = J	— ^ 6л: dx J = ] — Зхг \|* =
	о
=	J — 481=	48 (кв. ед.).
1343.	1) у — — Зл:, у = 0 и л:= 2;
2) у —2х, у —0		и л = — 3.

Рис.	142	Рис. 143
1344. 2л;+	3# + 6 =	0, у —0 и л:= 4.
Р е ш е н и е . Фигура расположена под осью Ох (рис. 143).
Имеем:
y = — j X		—2, /(*) = — - \|х —2.

Прямая		пересекает ось Ох в точке А ( —3; 0), а = — 3
и 6 = 4:		4
					_і_	4
S =		-\|-x —2^ dx =
					3	х2 — 2х —3
			= 1	6	(кв. ед.).
1345.	х — 2у — 6 = 0,		г/= 0,	%=	1	и х = 5„
1346.	X — 2у — 5 = 0,		у — — 2х, у —0.

Рис. 144

Р е ш е н и е . Выполним построение (рис. 144): х — 2у —

— 5 = 0 ,

y = Y x ~"i> * = 0 ’ у==~ 4* с {0; — у );

г/ = 0 , х = 5 , А (5 ; 0 ).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

( х — 2у —5 = 0,

\ У —— 2х, х — \\ у —— 2; A4 (1; —2).

Для вычисления искомой площади разобьем треуголь ник ОМА на два треугольника ОМВ и ВМА:

	1
SA омв =	I — J 2х dx J =	1 (кв. ед.),
	О
5
S & B M A = J §	( у x — ^ j d x	= 4 (кв. ед.);
\

S = SA омв -Ь 5д выл — 1 -J- 4 = 5 (кв. ед.).

1347. г/= — X, X — 2у —6 = 0 и у —0. 1348. у —— х2, у —0 и л;— 3.

Р еш ен и е . Выполним построение фигуры (рис. 145):

з
S = I — 5 X2 dx [ =	9 (кв. ед.).
о
1349. 1) у = — Зх2, у — 0, х =	1 и х — 2;	2) г/ = — х2— 1,

у — 0, х = — 2 и х =1 ; 3) у —х2~ 4 и (/= 0.

III. Вычисление площади фигуры, расположенной над осью Ох и под осью Ох

и ограниченной линией y = f(x) и двумя прямыми

х — а и х = Ь

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

По этим точкам строим кривую (парабола 3-го порядка) (рис. 146):

X *

S — ] jj у х3dx | ^ х3dx =

4- ~

-1

I _

Н , 16

3 , 16

. 5 ,

12 П"

(* ® '

ВД-)*

1351. 1)

у = х3,

у = 0,

х = — 2

х = 2;

у = 4х3,

у = О, X — — 1 и х = 2.

х = — 1 и х =

1352. у — х3 —х,

у = 0,

Решён ие .

Из

графика функции у = х3 —х (рис. 147)

видно, что

фигура

состоит из двух

равных

по

площади

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4836 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ