Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf
Скачиваний:
219
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
18.34 Mб
Скачать
☆

1300,

1301.

2

cos X dx

3*2rfx

n f

J

2 + sinx ’

T+F*

о

 

 

 

b

j ea du, где « = ф (x)

IV. Интегралы вида

a

5.

6

$esin* cos x dx.

о

Р еш ен и е .

Положим

sinx = M,

откуда cosxdx — du.

Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

 

MH= sin 0 =

0 ,

ив= sin

л

2 '

 

 

7Г

Находим интеграл:

 

 

 

 

 

 

2

£

 

 

 

 

 

 

 

2

 

- 6 ° = Ѵ е - 1.

 

 

§ e“ du — еи о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2

е~гхdx;

 

 

 

1302.

1)

^

2) §e*2xdx.

 

 

 

о

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

V. Интегралы вида

^ sin и du,

где и = ф(х)

 

 

 

 

 

а

 

 

1303.

$

sin2xdx.

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

Ре ш е н и е .

Положим

2х = и, откуда

2 dx — du, dx =

ÿ du. Вычисляем новые пределы интегрирования:

лл __о л __ л

иа — 2- 12 ¥* “в — Z'!T — Т*

Л

8

 

 

 

1 f

Я

$ sin 2X dx —~2 $ sin и du =

— ÿ

cos « |

- 2

C0S4

К]сЗ

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

| ( К З - К

2 ).

 

 

П

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1304.

1) ^ sin y с/л;;

2) ^

sin ^2x — ^ d x .

 

VI. Интегралы вида ^ cos и du, где и = ф (х)

л

7

1305• Л Scos ( 2х — у ) dx.

б"

Р е ш е н и е . Положим 2х — ~ = и , откуда 2 dx-=du,

dx= Y

du. Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

 

п я

я

я

л

Я я

я

 

 

иH~ z ‘¥

— 6" ~

6"

ив —Z‘T — ¥

— Т ‘

Находим интеграл!

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

_Л

 

 

 

4

 

cos (2х — -т^ dx =

3

cos и с/ы ==у sin«

^

 

1 ^

 

 

 

6

2

 

 

 

 

Л

 

 

 

Я

 

 

 

 

6

 

 

 

6"

 

 

 

 

 

1

Л

я \ _ 1 / Ѵ з __ 1

| ( К з - і ) .

= 2 l Sln T “

Sln 6

J \

2

¥

 

 

 

 

Я

 

4я

 

 

 

 

 

]2

 

3

 

 

 

 

 

я

 

2я

 

 

 

 

 

ІЗ

 

3

 

 

 

ь

VH. Интегралы вида \ — 2— , где u~ rç (х)

COS Ы'

п

в

dx

1 3 0 7 . jj cos2 2х *

я

¥

Р е ш е н и е . Положим 2х = и, откуда 2 dx — du dx -l-du. Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

 

 

 

Я

_

Я

 

 

__ г ,

л ____ Я

 

 

 

 

"8 ~

Т ’

 

—

^ ‘ '6 ~

3 *

Находим интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

6

dx

 

 

3

du

 

 

 

 

 

 

С

=

L Ç

— J_ tö

 

 

 

'

cos2 2x

2

'

cos2 и

 

2

 

,

 

 

Я"

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І2

 

dx

 

 

 

1 3 0 8 •

!)

^

~ ~ Г >

 

2)

^

 

 

 

 

 

cos2 Здг *

 

 

 

 

„ I

„Лс2

Л

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

COS“

- 7 Г

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

VIII. Интегралы вида

^

 

'

где

и = сР ^

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"9

rfjc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 0 9 .

С

-si:sin2 Здс

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ts

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ре ш е н и е .

Положим

3х —и,

откуда 3dx = du, d.

3~du.

Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

 

 

о

Л

 

Л-

 

 

 

л

Л

д

«u = o-Jg = >'» и* — 0 ' Т ~ Т '

ÎX

9

 

dx

 

 

С

 

1

Ç

sin2 2>х

3

3

)

п

 

 

 

я

Тв

 

 

 

6

-и c g i - - c t g f )

 

я

 

 

 

 

12

dx

 

 

1310. 1)

С

 

 

 

 

 

 

о sin2^f -

)

’

du sin2 U

N

= -

l

3

Я

2) f3

Я

2

3

У ctg « я "в

- У з )

2 ] /Т ~ 9

dx sin2 Уя

 

 

 

 

 

 

D

du

 

 

 

 

 

IX.

Интегралы вида

{*

г, где

u =

q>(x)

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

J У 1— «2

 

 

 

 

 

Уз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1311.

f

У 4 —9л:2""

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

Уз

 

 

 

 

Уз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реш ен ие,

з

 

М х

 

 

 

з

 

dx

 

jj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х»

V2

 

 

3*\2

 

 

Ѵ2

 

 

 

] Л

 

 

 

 

 

2

 

 

3 Ѵ Ч -

 

~3

 

 

 

Положим

\

=

откуда

dx — ^-du. Вычислим новые пре­

делы интегрирования: ии — А . К 2- — ŸJL ?

ь. _ 3

Аз _

Гз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уз

 

 

 

 

 

Уз

 

 

 

 

Уз

 

3

 

 

 

3

2

2

 

 

 

 

 

[ .

 

dx

 

Г

du

— arcsin и

 

 

 

 

2

3

)

 

 

 

2

 

У2

 

 

 

у \

 

 

 

‘/2

 

 

 

 

 

 

У2

 

 

 

2

 

3

 

.

j/з

 

 

2

/ 2

 

 

 

 

 

=

 

 

 

•

Я

Я

 

П

 

arcsin

 

—arcsin-—-

“3 ~

4 ~

12'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1312.• »

$д

а 2)

і

Ѵ І dx

Ÿ 9 —2xa

 

 

 

 

О

 

 

X. Интегралы

вида ^

 

где и = <р(х).

2 / 3

djc

 

 

 

1313,•

S

 

 

 

4 + л:2

 

 

 

2 / 3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

j1

2 / 3

 

 

 

Р е ш е н и е ,

l*

d*

 

Положим: -гг—и, откуда

 

 

 

9/3

* +

 

 

dx = 2du. Вычислим новые пределы интегрирования:

 

“

1

2 / 3

 

Ѵз

 

1

0-./-Ö

 

- I / Q -

 

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

Находим интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/ з

 

 

 

 

/з

 

 

 

 

 

/з

1 C

 

d*

1 о С

 

du

1 „ . ,

4

)

. ,

/ х \ 2 ~

4

*2

\

I + и2

2

arctg

и

/3

2 /Лз3

!+

 

 

 

/з

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

= ~ (arctg уТ* — arctg ~

 

1

/ я

яЯ

\ _ я

 

І \ 3

~ 67

~ Ï2 *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з/з

 

 

/ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

6

 

dx

 

 

 

 

І314-

»

s 5W ,

2)

$

 

 

 

 

1 + 2 х 2 '

 

 

 

 

 

 

§ 66. Смешанные задачи

 

 

Вычислить интегралы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

5

dx

 

 

 

1315.

1)

\ Ѵ З х + Г dx;

2)

 

§

 

 

 

 

 

 

 

 

У ^ + З ? '

1317.

1318.

1319.

1320.

1321.

 

Уз

 

 

 

/з

 

 

 

 

0

$

 

 

 

2> J 6 V F + I 6 ^

 

 

 

 

Уг

 

 

о

 

cos z dz.

3)

 

 

J

 

;

4) ^

V 1 + sin z

 

П

 

 

 

VT

 

 

 

 

 

3

sin

^ dt

 

 

 

 

»s

2)

Зе*’л:2dx.

 

 

1 +COS* ;

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

«_

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

з

 

 

[)

^ sin ^3* — ~ j dx;

2)

^ cos — dx.

 

 

2Я

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

') S - f ï - :

2) S û r e -

 

 

 

 

я_

COS2 -7-

й

 

 

 

 

 

 

 

 

Jt

 

 

 

 

 

2

 

 

 

IS

ЗѴ2

 

 

 

 

2УЗ

 

 

 

 

 

 

»

3

l

ï

№

4

d x

2>

S.

 

 

 

Уз

Уз

Ѵ^З-гл:2'

 

з

 

 

 

2

 

 

 

£У2

2

2,

3

d x

1)

5

2 + 9A:2

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

§67. Схема применения определенного интеграла

квычислению различных величин

Определенный интеграл широко применяется при вы­ числениях различных геометрических и физических ве­ личин.

Представим величину и в виде площади, ограничен­ ной осью Ох, кривой у — f (х), которая может быть задана

или найдена из условия задачи, и прямыми х —а и

( a ^ x ^ b ) (рис.

124).

 

определенного интеграла

Вычисление и

с помощью

выполняется по следующей схеме (схема I):

1. Разбиваем

величину

и

на

большое число п малых

слагаемых Аи,.

 

 

 

П

 

 

 

 

и — Аіі\ “I- Ам2

.. *“РАип=

Аи,.

 

 

 

 

;=і

 

2. Выражаем

приближенно

каждое

слагаемое Ащ

произведением Aut = f (хі) Ах, где

b—ci

Ах = ------.

3. Представляем приближенное значение и интеграль­ ной суммой:

и І ] / (xd Ах.

і= 1

Если из условия задачи следует, что погрешность этого приближенного равенства стремится к нулю при п-> со, то искомая величина и будет выражаться опре­ деленным интегралом:

 

ь

ь

 

 

 

 

=fM

и — lim 2

/ (*) Ал:= / (х) dx.

 

 

 

Ах -*0

л

п

 

 

 

 

 

Приведенная выше

схема

 

f(x)Au

может быть заменена другой,

 

 

 

более удобной для

практиче­

 

 

 

ского

применения

(схема

II):

~0\

_

\лх

1. Пусть величина и полу-

чает приращение Аu ^ f

(х) Ах,

 

 

Рис. 125

соответствующее

изменению

 

 

X на

малую величину

Ах;

 

или

определяемая из

f (х)

рассматривается

как данная

условия задачи функция

от х

(рис.

125).

2.Заменив приращение Аи дифференциалом du

(главная

часть

приращения

Аи)

и

Ах

дифференциалом

dx (Ах = dx),

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du = f (х) dx.

 

 

 

 

 

3.

Интегрируя

это

равенство в пределах

от х = а до

х — Ь, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

§ / (х) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 68. Площади фигур

 

 

 

Площадь

всякой

плоской

фигуры,

рассматриваемая

в прямоугольной

системе

координат,

может быть состав­

лена из

площадей

криволинейных

трапеций, прилежащих

к оси Ох или к оси Оу.

 

 

S,

ограниченной

кривой

Найдем

площадь

фигуры

у = /(х),

осью

Ох

и двумя

прямыми

х = а

и

х — Ь

(криволинейная

трапеция),

причем

a ^ x ^ b ,

f(x)SsO

(рис. 126).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал переменной площади 5 есть площадь

прямоугольника

с

основанием

dx

и

высотой / (х),

т. е.

dS — f(x)dx

(схема

II).

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя

это

равенство

в пределах от

х — а до

х — Ь, получим:

 

 

 

 

 

 

S = \f(x)dx.

(ИЛ)

 

 

а

 

 

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу

(справа от оси

Оу)

(рис. 127),

то дифференциал

перемен­

ной площади S

будет:

 

 

откуда

 

dS — f (у) dy,

 

 

 

 

 

 

 

S = \f(y)dy.

(11.2)

 

 

а

 

 

При вычислении площадей фигур могут представиться следующие основные случаи:

I. Фигура расположена над осью Ох и ограничена

осью Ох,

кривой y = f(x) ( a ^ x ^ b , f (х) ^

0) и двумя

прямыми

х = а и х = І> (рис.

128).

 

Площадь S этой фигуры находится по формуле (11.1):

ь

ь

 

 

S — )’ f ( x ) d x w m S = ^ y d x \ y

находится из

уравнения

а

а

 

 

кривой.

II. Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой y = f(x) ( a s ^ x ^ b , f{x)<^0) и двумя прямыми х = а и х — Ь (рис. 129).

Площадь 5 находится по формуле: 5 = I Î (х) dx или

ь

\ у dx ; у находится из уравнения кривой.

 

 

 

ь

 

 

Если

/ (х) < 0,

то интеграл § / (х) dx будет

отрица-

тельным.

Площадь

 

а

 

 

же фигуры S по своей природе есть

величина

положительная, поэтому

интеграл, выражаю­

щий эту площадь, взят по абсолютной величине.

 

III.

Фигура расположена над

осью и под осью Ох и

ограничена осью Ох, кривой

y = f(x)

( a ^ x ^ b )

и двумя

прямыми х = а и X — b (рис.

130).

 

 

Здесь имеют место случаи I и II;

= площ. АаС,

52= площ. СВЬ:

 

с

 

S i = \ f ( x ) d x , S2~

 

а

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности