ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 64. Определенный интеграл и его вычисление
7 Если F (х) + С — первообразная функция для f(x), то приращение F (b) —F (а) первообразных функций при изме нении аргумента хот х = а до х = 6 называется определен
ным интегралом и обозначается символом
b
$ f{x)dx, т. е.
а
b |
|
|
|
\ î (х) dx = |
F(b) - F(а), |
|
|
a |
|
|
|
где a —нижний предел определенного |
интеграла |
и Ь — |
верхний предел. |
|
|
|
Функция / (х) предполагается непрерывной в интервале |
изменения аргумента х от а |
до Ъ. |
ь |
|
|
|
|
Вычисление определенного интеграла |
§ / (х) dx |
выпол- |
няется следующим образом, |
находим: |
а |
|
|
|
1) неопределенный интеграл § / (х) dx = F (х) + С;
2) значение интеграла F(x)-j-C при х = Ь, т. е. вычис ляем F (b);
3)значение интеграла Е(х) + С при х — а, т. е. вычис ляем F (а)-,
4)разность F(b) —F(a).
Процесс вычисления виден из формулы
§ / (х) dx — F (х) |a = F (b) — F (a).
a
При вычислении определенного интеграла применяются следующие свойства определенного интеграла:
1) при перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный; 2) постоянный множитель подынтегрального выраже ния можно выносить за знак определенного интеграла:
ьь
5 С/ (х) dx = С $ f (х) dx;
3) определенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных инте гралов этих функций;
|
Ь |
|
|
|
b |
|
|
ь |
|
|
|
|
5 [/ (х) + Ф (x)]dx — (x) dx + |
$ ф (x) dx. |
|
|
Вычислить определенные интегралы. |
|
|
|
|
|
1 |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
1261. |
1) |
§xdx; |
2) §xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
j |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
1) |
^хй?х=уЖ2 |
= у (I2—О2) = у ; |
2) ^ * » 1 ^ Г = 1 ( 3 » - 2 « ) = І - 5 = 2 І-. |
|
|
2 |
|
1 |
|
21 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1262. |
1) |
\xdx\ |
2) |
$x2dx; |
3) |
§4x*dx; |
4) |
§x3 dx; |
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) ^ 3x2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1263. |
J (*«+ 2 * + l)d * . |
|
|
|
|
|
|
|
—l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
^ |
(x2-f 2x-f-1) tfx ==^y x3 + x2-fx j 2 1 = |
= [ i - • 2 S + 2 2 + 2 ] - [ 1 ( - 1 ) 3 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) ] = 9 . |
|
|
|
3 |
(4x3- 3 x 2+ 2 x + l )dx\ |
|
0 |
|
2x)dx. |
1264.1) |
$ |
2) |
$ (x3+ |
|
|
—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
äx_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 6 5 . 1) \ |
|
2 ) J x2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 6 6 . $ ] / X Ö ?X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . jj Y~x dx — ^ x 2 dx — x 2
1267. |
1) |
ÇVlfldxi |
2) f f ä d x ; |
3) |
|
|
1 |
|
|
0 |
8 |
1 |
|
|
|
6> . f * f r  |
|
|
|
|
|
1 |
|
1268. |
1) ] * * ± i d r , |
2) j ^ + |
d x . |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1269. |
\e?dx. |
|
|
|
|
|
—î |
|
î |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
1 |
|
|
|
|
\ e x dx — e |
|
|
|
|
%/ |
|
-1 |
|
|
|
1 |
— I |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1270. |
1) |
$e*dx; |
2) |
J <?v dx. |
|
1271.
î |
|
Р е ш е н и е . |
dx = 1пл: = ln e— ln 1 = 1 — 0 = 1. |
1272. 1) J |
2) j |
Решение. ^ ~ ^ - \ п { х - \ - 2 ) = l n (1- f 2) — ln(0 + 2)=
|
о |
|
|
= ln 3 — ln 2 = In y |
= 0,4055. |
1274. |
1) J j t ; |
2) J |
dx |
* + 3 - |
1275. |
l**dx. |
|
|
|
i |
|
|
Р е ш е н и е . ^ е2* dx —ÿ е2Х = y (e2-3-**■*) =
і
£>2
I
1276. $e3*dx.
0
1277. ^ cosxdx.
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
. |
n |
|
|
Р е ш е н и е . |
^ cos x dx — sinx |
2 |
à |
|
л |
= smT |
■sin- |
|
|
|
|
|
£L |
|
|
|
|
£ |
«л |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
l_ _ |
J_ |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ~ |
2 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я_ |
|
я |
|
|
|
|
я_ |
|
|
|
|
|
3 |
|
T |
cosxdx; 3) |
2 |
(cosx — sinx) dx. |
1278. |
1) |
^ sinлг ііл:; 2) |
§ |
$ |
|
|
|
О |
|
л |
|
|
я |
|
2 |
|
|
|
|
n_ |
|
|
~T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1279. $ cos 2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
^ cos 2xdx = |
*- sin 2л: jj |
= |
— ^sin 2 |
— |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2- о) = |
у |
sin у = у |
■ ^ “ |
у * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
1280. |
1) |
^ sin Axdx\ |
2) |
^ cos у |
dx. |
|
|
|
|
|
2. |
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1281. |
j |
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я
T
P e ш e и и e. $ â ïfe = - ctg*|® = - (ctg f - ctg n
4
(Vs |
|
,) |
= - |
-Vs |
|
\ 3 |
|
Я |
|
3 |
• |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
4 |
4 dx |
|
|
3 |
1282. |
1) |
Ç |
|
|
|
J |
COS2X ; |
2) |
j sin' |
|
|
0 |
|
|
|
я |
|
Я |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
l |
|
1283. |
І |
/ |
1 |
|
) dx. |
|
J |
\cos2 X |
sin2 X 1 |
Я
в
Решение- S ( ^ _^ ) ^ =;(tgA;+ctg^
ftg » + |
ctg £ ) - |
(tg £ + ctg£) = (КЗ + ^ j - |
1^ . + К з ) = о . |
|
1) |
SUя |
Я |
|
4 |
T |
Y S
Р еш ен и е .
arcsin (—1) =
|
Ç |
- . dx- - = arcsinx Ç2 |
|
J |
j/ 1-дг2 |
|
- 1 |
|
j |
— |
я |
\ |
5 я |
|
2 |
/ |
6 |
|
|
|
Ѵэ
2
Р е ш е н и е •h-f-x2
1288. 1) '(
= arctgx P = arctg 1 — arctg 0 = |
° jo |
ö |
dx
2) ( T+x*'
О
1289,•I |
dx |
|
|
|/ 9 —X2 * |
|
|
|
|
|
,3 |
X P |
. 3 |
Р е ш е н и е |
dx |
■• |
= a r e sin — |
= arcsin - |
|
|
|
•Sj / 9 - x 2 |
3 (о |
3 |
— arcsin у |
= arcsin 1 — arcsin 0 = y . |
|
|
|
і^з |
|
Y 3 |
|
1290 |
1) |
[ |
-jJL= ; |
2) C ■ dx |
|
|
|
Y 2 |
|
9 + x2 |
|
|
|
|
Q |
|
§ 65. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
(способом подстановки)
При вычислении определенного интеграла методом за
мены переменной (способом подстановки) определенный
ь
интеграл §f (х) dx преобразуется посредством подстановки
а
и = ij; (х) или X — ф (и) в определенный интеграл с новой переменной и. При этом старые пределы интегрирования а я b заменяются соответственно новыми пределами ин тегрирования a n ß , которые находятся из подстановок выше.
Из подстановки первой новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно; a — ip(a), ß — тр (b).
Из подстановки второй новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений а = ср(а) и &= <p(ß) относительно а и р . Таким образом, имеем:
ь |
ß |
Р |
|
(х) dx — ^f[ cp («)] ср' («) du= |
(и) du. |
а |
а |
а |
Вычислить определенные интегралы.
ь
I. Интегралы вида j (Ах-\-В)т dx, где т Ф — I
а
3
1291. \ ( 2 x - \ ) 3dx.
2
Р е ш е н и е . Введем подстановку 2х— 1=и. Диффе
ренцируем: 2 dx = du, откуда d x = ^ d u .
Вместо переменной х мы ввели новую переменную и, которая связана с переменной х равенством подстановки. В связи с этим границы изменения переменной и, т. е. пределы интегрирования по переменной и, будут другие. Они находятся из подстановки заменой аргумента х его значениями 2 и 3. Для вычисления нижнего предела ин тегрирования подставляем в подстановку значение старого нижнего предела х — 2. Получим:
ын = 2 »2 — 1 = 3 .
Для вычисления верхнего предела интегрирования подставляем в подстановку значение старого верхнего предела х — 3. Получим:
нв = 2 • 3 — 1 = 5.
Заменив в данном интеграле 2л;— 1 и dx их выражени ями через новую переменную и и du и соответственно заменив старые пределы интегрирования новыми, получим:
з |
5 |
|
|
|
и3 du — Л |
|
5 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
3 |
3 |
|
|
= |
(54— З4) = 68. |
|
1293. |
{ - , 5 dx |
l |
|
|
|
|
|
|
|
J V 5 x — |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
5 |
$ |
(5x — 1) |
2 dx. |
Положим 5 x — \ = u . |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
тогда 5 dx = du, |
dx — ~d u . Вычисляем новые пределы ин |
тегрирования: ин = 5-1 — 1=4, |
нв = 5 - 2 —1= 9. |
Находим интеграл: |
|
|
9 |
_ і |
|
|
X. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
jj (5х — 1)" |
2 dx = |
5 • у |
Ç и |
2 du = 2ы' |
|
|
= 2 \9 2; — 42/ = 2 (3 — 2) = 2. |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1294. |
1) |
\ Y 3 x - l d x ; |
2) |
$ V ( 2 x - |
l)3 dx. |
|
|
О |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
II. Интегралы |
вида^ (Ахп+ В)т xn~l dx, где |
т и я — рациональные |
числа
1295. І (2я* + 1)* я* dx.
о
Ре ш е н и е . Положим 2х®+1 —и, тогда 6x2dx — du,
X2dx — ~ du. Вычисляем новые пределы интегрирования,
ии = 2 - 0 » + 1 = 1, ыв = 2 - 1 3+ 1 = 3 .
Находим интеграл:
1 |
|
з |
|
|
|
|
|
\ |
(2х3+ |
I)4x2dx = ~ jj |
и4du = -6- • j- |
З = 1 ( 3 » - 1 6) = 8 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
30 |
15' |
|
|
|
|
|
2 |
4х dx |
|
|
1296. |
1) ^(x 2- l ) 3xdx; |
2) |
\ |
|
|
(х3- 1 У>: |
|
|
2 |
—' I |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
^ 9 V |
1 X2 dx\ |
4) ^ у |
У (х4 — 8)2X3 с/х; |
|
|
о |
|
Ѵз |
|
|
|
|
|
2 Ѵг |
|
|
|
|
|
|
5) \ V За:2-|-1 *
