Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5175 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf
Скачиваний:
219
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
18.34 Mб
Скачать
☆

 

1219.

5 cos5xdx.

 

 

 

 

 

 

1220. §tg3xdx,

 

 

 

 

 

 

Р еш ен и е .

^ tg3x dx =

^ tg2x tg x dx = ^

\)x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ COS* JC

x ^

x d x =

I COS2 X

- S *

x d x = S- cos2gx- x-

- И

sin x dx

COS X

=

Y

tg2x +

In cos x + C.

 

 

 

 

 

1221.

5 ctg3xdx.

 

 

 

 

 

 

1222.

 

1)

§ sin 5A: sin 3xdx\

2)

§ cos 4x cos x dx:

3)

$ sin7;ccos3A:dA:.

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

1)

sin5x sinЗл: = y [cos (5x — Зл:) — cosx

X (5x + Зл:)] — -І- (cos 2x — cos Sx),

 

 

 

 

 

 

sin 5x sin Зл: dx =

§ (cos 2x — cos 8x) dx =

 

— Y (y sin 2л: — g- sin 8л:j + C = \

sin 2x — ~ sin 8л:+ C;

 

2) С08 4л:с08л: = ~ (с08 3л: + С05 5х),

 

 

 

 

ij

cos 4л: cos xdx = Y

§ (cos 3x -f cos 5л:) dx —

 

= y ( y s m a i f r j - y s i n 5 ^ + C = -g-sin3x + i s i n

5x + C;

 

3)

sin 7л: cos 3x —— (sin 4л: + sin Юл),

 

 

 

 

^

sin lx cos 3xdx —Y

^ (sin 4л:-}- sin Юл:) dx =

= Y ( ~ Y COS^X ~YÖCOS Юл:) + C= — -^c° s 4x—^cos 10*+C.

1223. 1) ^ 8ІпЗл:зіпл:гіл:; 2) $ cos 5л: cos 3x dx;

3) 5 5Іп4л;с05 3л;с(х.

§61. Интегрирование некоторых иррациональных функций

спомощью тригонометрических подстановок. Разные подстановки

При вычислении некоторых интегралов аргумент х необходимо заменить функцией новой переменной и: x —f (и). К таким подстановкам относятся тригонометрические под­ становки:

1) x = asinu

в интегралах, содержащих У а2— х2;

2)

x — a\gu

в интегралах,

содержащих У а 2-{-х2;

3)

х —

или * =

в интегралах, содержащих

У х 2— а2.

Найти, используя соответствующую тригонометрическую подстановку, следующие интегралы и' проверить их диф­

ференцированием.

1 2 2 4 . У а2— X2dx.

Реш ен ие . Подстановка x = asin«, откуда dx —

—a cos ù du. Имеем:

\У а 2— x2dx — ^ У а2— а2sin2« а cos и du =

—а § У а2(1 — sin2и) cos и du = а2^ У cos2и cos udu =

=а2 jj cos2 и du.

Из тригонометрии известно, что cos2и = *+c°s2“ t то_

гда аг ^ cos2udu = a2 ^ H -C°s2“ du = у- § du + ~ ^ x

X cos 2и du = Y u + Y ' T s^n 2« + C = y ^ы+ у sin2«j + C. Перейдем к данному в условии аргументу х. Из соот­

ношения х = а sin и

имеем: sinu = —, тогда и = arcsin — ;

 

 

о *_____ _

а ’

sin 2« — 2 sin« cos и,

но cos и = |/ "

1 — (^-J =

~ У а2— х2,

тогда sin 2и = 2 • — — У а2 —х2 — Щ1/ а2 —х2.

 

Окончательно получим:

 

 

jj K a2- x 2dx = Ç(arcsin-J + y

- ? | У й 2-л :2) + С =

= у arcsin у + у ]Лг2— х2 + С.

1225. 1) \ y y ^ y d x \

2) \ y r ^ d x .

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1226.

J V* + ЛГ2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ре ш е н и е . Подстановка x ~ a i g u ,

откуда dx-

Интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

dx

 

 

p

 

du

 

 

 

 

Y a2+

x2

°

J

cos2 и Y a2+ a2 tg2 и

 

 

 

 

du

 

 

__ p

 

 

du

 

 

J cos2 и ]/У 1 +

tg2 'и

J

COS'

U ~

f cos2 U

- S

J o

i n

t s

( ÿ +

 

(см. пример 1184).

cos u

 

ö V2

‘

 

 

 

 

 

 

Перейдем к данному в

условии

аргументу х:

 

 

 

 

 

,

и

, ,

я

 

I

и .

,

tg ( тг + т

) =

tg y + t g y

 

tg 2 - + 1

l - t g - 2-tgT

 

.

»

«

 

 

 

 

 

 

1— tg тг

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

.

и

,

 

и

 

 

 

 

 

 

 

Sin y + CÖSy

 

 

 

 

 

 

 

и

 

и

 

и

 

 

 

 

 

sm у

cos 2 -

smT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos •

a du cos2 « ‘

( sin у

+

cos у j

( cos y +

sin y

u

-

. и \

/

и

и \

cosy

sm y j

 

c o s y +

s m y !

. * и ,

Л .

и

и ,

9 и

sin2 -g- +

2 sm Y

cos Y

+

cos2 ~2

 

,

И

• 9

“

 

 

COS2

-g----- Sin2 y

 

i -f- sin u

tg«, HO

cos u

 

1 + Sin 2 *y

cos 2

tg« =

J - . = y l + tet u = Y

Следовательно,

i r + t g « = I K ^ T ^ + 4 = I ( K ^ T ^ + * ) cos u

Тогда

J

: ln (Уа2+

dx

ln

+ х j £ =

V* +.ï2

 

 

х2+ х) — In а + С =

In (Уа2+ х2+ л;) -f- Сі.

где — In а-{-С = Сх.

,227'

 

 

dx

-

 

 

г*

dx

 

 

 

 

 

і»ѵ Ш

 

 

2)S (1 + л2) 2

Подстановка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з *

 

 

x — tgu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1228. Г -j -

-, -..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

И *2— о2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ре ш е н и е .

Подстановка

л:=

,

откуда

Лс

а sin и du

 

Интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin и du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-, Г

à1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I/

----;----- а 2 • COS2 U

 

 

 

sin и du

 

 

 

y

COS2

и

 

 

 

“ J у

 

 

Г - L = l n t g ( f + ^ ) + C

sin3 и COS'1и

 

 

J

cos «

 

\ 2

1 4 /

 

 

 

 

(см. пример 1184).

 

 

 

Перейдем к данному в условии аргументу х:

 

. I

и

.

JI \

 

1

 

tg и (см. пример 1226).

 

‘ 8

92

+ 1

7 4 у =

cos и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HO COS и ■ а '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

'

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 H- tg2«,

 

 

 

 

 

 

 

COS2 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg и = т/~ —4----- 1 =

л [ \

— 1 =

— V х2- а 2-

ь

 

У

cos2

и

 

 

У

а2

 

а

г

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------- h tg и —— 1—

У х 2— а2= — (х -j- V х2 —а2),

cos и

1

0

а

'

а

г

 

 

а 4

1

’

'

тогда

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

*+К*!.-:.“2 + с =

 

 

 

J Y X2—а2

 

 

 

 

 

 

 

: In (а:+

У"л:2 — а2) — In а + С = In (х-{-Ух2 — а2)

Сѵ

где

 

 

 

Ci ~ — In й

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка

х ~ - — ■

дает

интеграл

Г

dx —

 

 

 

 

 

sm

и

 

 

 

 

г

 

J

Ух2 —а2~

= -

5

— l n t g y + C

(см. пример

1181).

 

Перейдем к

переменному х :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

и

 

, 1

— COS и

,

 

,

I

1—COSH

 

 

ln tg -п = — ln

sin и

= ln

1 — ln

 

sm и

 

=

Г

 

■ln

sin и

 

ln

 

sin и (1 -f- cos u)

ln 1 — cos и

1 —

cos u ~

(1 —cos u) (1 -|-cos и)

 

 

sm и

 

1 -f cos и

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ln

ln

и

-ctg и

 

 

 

 

 

 

sm и

 

 

\sin

 

 

 

 

 

Из

 

подстановки x-

sm и

выразим

первое

слагаемое

через

x:

 

 

 

 

 

1

_

£

 

 

 

 

 

 

 

 

sm u —-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sm и

 

а *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X *

 

 

 

 

Выразим второе слагаемое через х:

 

 

 

 

 

 

1 + ctg2и —~Д—,

ctg2и

 

1

 

и

 

 

 

1

°

 

sin2 и •

 

®

 

sin2 и

 

 

тогда

 

CtgU

] / " sin2u

1

] / " а2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In

+ ctg«) = ln (т + Ѵ

£

-

 

 

 

 

 

 

 

Уx2а2)— , х+Уx2а2—*

Подставив это выражение в интеграл, получим:

Г -7. dx- ■— ln (х + Ух2 —а2)+ Сх. J Ух2—а2

1229. Г

Jу 1 ^ - Г

Ра з н ы е п о д с т а н о в к и

1230. J

dx

 

Ух -fl

х — и2, откуда dx = 2и du.

Р е ш е н и е . Подстановка

Имеем:

dx

п (• и du

 

 

Jу Т У л ~

J

К числителю прибавим и отнимем единицу и заменим интеграл суммой интегралов:

2 I

 

= 2 J

du =:2 $ Лі-- 2 J

=

— 2H — 21n (w-f 1) + 0 = 2 }^* — 21n ( y x +

1) + C.

1231.

C -y £ x

 

 

 

J

V 2x+ 5

 

 

 

 

dx

 

 

1232.

j

- Vl+x* ’

 

 

Р е ш е н и е .

JÇ

"

Дальнейшее

Подестановка

x — -^-,

откуда d x = — ^ :

__ dx ___ _

_ f

du

 

*/1 + * -

J к2 — l / "

1 + 4

"

d«

 

« y

«2

 

 

du

«Jт Л і ± І

J T ^ + T

 

P

и2

 

 

вычисление ведется как и в примере 1226: (“ + Ѵ і + « 2) + с .

Окончательно Г —f f = ln

_j_ с,

J я / і + л :2

д:

1233. §лг)Лз:— xdx.

а — х — и2 или х = а — и2, от­

Р еш ен и е . Подстановка

куда dx = — 2udu.

 

—2 ^ (а — а2) У а — (а — ы2)и du = — 2 § (а — а2) Т^ы2ы d« = = — 2 J (я — а2)«2 du = — 2а $ а2 du + 2 § и* du —

= — 2а £ + 2. £ + С = —

+-g- (V а —х)5+ С ==

=V а — л: [3(|/ а — х) 4— 5а (]/ а — л:)2] -j- С =>

=jg ]/а — X [3 (а2— 2ах -+х2) —5а (а — х)\ + С =

= ~ ]/ а — X (За2— бал: + Зх2 — 5а2+ 5ах) + С =

= ^ j/a — X (Зл:2 — ах — 2а2) + С.

§ 62. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства дифференциала произ­

ведения d(uv) — u dv-\-v du, получим:

 

\j d{uv) = ^udv-\-\j v du, uv — ^udv-^^vdu,

 

откуда

 

^ и dv = иѵ — $ vdu.

(9.24)

Вычисление интеграла ^ и dv сводится к вычислению ин­

теграла § vdu, - если последний будет проще исходного.

Найти следующие интегралы и проверить их диффе­ ренцированием.

1234. ^xsinxdx.

Р е ш е н и е . Положим и г=х, dv —sin x dx, тогда du = dx:

jjdv — § sinxdx, V— — COSX.

Подставив в формулу (9.24), получим:

xsin xdx — — xcosx + $ cos xdx = — *cos x + sinx + C.

1235.

§x cos xdx.

 

 

 

1236.

^ ^fl -dx.

 

 

 

Ре ш е н и е . Положим « = lnx, dv

dx

,

dx

-zi, тогда

du =

 

l do==\ % = l r ’t d x = - - x -m y = - 4 - Подставив в формулу (9.24), получим:

 

 

- - ~

- i +

C .

 

 

X

X

1

1237.

J —

dx.

 

 

1238.

\ V x2-a*dx.

 

 

Р е ш е н и е .

Положим и = У х г — о2, dv — dx. Диффе­

ренцируя

равенство первое,

найдем:

X

du dx. Ѵх1- а %

Интегрируя равенство второе, имеем: ѵ = х, тогда по фор­ муле (9.24) получим:

JÇ У х 2 — а 2 d x = х У х 2 — а 2 — JГ - х d x .

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем а 2 и представим этот интеграл суммой двух интегралов:

J У X2 — G 2 d x — X J / X2 — а 2

J

X2 — а 2 4 - а 2 ,

- ■dx

 

 

Ух2—а2

= X У X 2 — CL2

(х2—a2) dx

 

dx

Ух2—а2

 

Ух2—а2

S

 

Впервом интеграле освободимся от иррациональности

взнаменателе, второй интеграл берем по формуле:

$ у ^ = ] а { х + у ^

) + с -

Следовательно,

§'Ух2 — a 2 dx = х У х 2 — а 2 — ^ У х2 —a 2 dx —

—а 2 In (х + У х 2 — а 2) + С.

Перенеся $ У х2— a 2 dx из правой части в левую, получим:

2 ^ У X2 — a2 d x = x У X2 — а2— а2In ( х + У х 2 — а2) + С

или окончательно:

 

 

 

 

 

 

^ У X2 —a2 dx — ^ x

 

У X2 —а2— у

In (х + У х 2— а2) + С.

1239.

\ y ^ ~ b d x .

 

 

 

 

 

 

1240.

\ y x 2 + a 2 d x .

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Положим

и — У х2 + а2,

dv — dx, откуда

 

 

d u —

 

- *......d x

и

V — X.

 

 

 

 

Ух2-\-а2

 

 

 

По формуле

(9.24)

получим:

 

 

 

 

Г У X2 + a 2 dx — X У X2 У

а 2 — Г ■г-

х —.dx.

 

J г

1

 

г

1

 

J Уя*+а?

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем а2 и представим этот интеграл суммой двух интегралов:

JУ х2+ а2еІх=

—X ]/х 2+ а2—

Впервом интеграле освободимся от иррациональности

взнаменателе, второй интеграл берем по формуле:

Г ^ = ^ = = 1п +

+

 

Следовательно.,

 

 

 

^ Y X2 + a2 tfx=

X Y х%+

а2 — ^ "J/ X2 +

а2 d x -У

+ а21п (х + У х

2 + а2) + С.

 

Перенеся интеграл

$ У х2-{-а2й?х из

правой части

в левую, получим:

2 § У х 2+ а2£/х= х У х 2+ а2+ а2 In (х + У х2+ а2) + С

или окончательно:

^ ]/х 2+ a2cfx== ~ х 'Ух2+ па + -|-1п(х + 'Ух2+ а2)-}-С.

1241.

$"Ух2+

b d x .

 

 

 

 

 

§ 63.

Смешанные задачи

 

 

1242.

Найти

функцию,

производная

которой

у' —

= sm 2х — х е 3* 2 + 1.

 

 

 

 

1243.

Найти

^ 'сотх+е* 60,7111 ПРИ

пеРВ0°бразная

функция

равна 2 .

 

кривой, проходящей

через

1244.

Составить уравнение

точку А

2^,

если

угловой коэффициент касательной

к кривой в каждой ее точке равен cos у .

1245. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой V = sin 21. Составить уравнение движения точки,

если в момент 1 —

точка находилась

на

расстоянии

0і75 м от начала отсчета.

прямолинейно

с

ускорением

1246.

Точка

движется

а = ( — 61

+ 24) м/с2.

В момент

времени

1=1

с

скорость

точки Ö = 15 м/с и

пройденный точкой

путь

s = 20

м.

Найти: 1) уравнение скорости точки; 2) уравнение пути

точки; 3)

ускорение,

скорость

и путь в

момент

1= 3

с;

4) момент времени, когда скорость точки будет наибольшей.,

 

 

Найти интегралы

1247.

р

x d x

 

) V x * - l ’

1248.

^ é?sin * cos X У esin * + 1 dx.

1249.

f

sin X dx

J

1 — COS X‘

1250.

Ç

cos X dx

J

9 + sin2 X ’

1251.

J sin2X cos2X dx.

1252.

§ sin 5x cos xdx.

1253.

C

7 x + 1 3 ,

 

)

x2- \ - 2 x - 3 dXm

1254.

$ excos X dx.

1255.

P

dx

 

 

( 1 + * 2)2 ’

1256.

P

dx

j

9 cos2 X+ 4 sin2 X '

1257.

f

dx

 

J

3-fCOSAr"

1258.

^ tg5X dx.

Подстановка x = tg г.

Подстановка tg* = z.

Подстановка tg y — z.

Контрольная работа

1 в а р и а н т

1259.

 

Найти

интегралы:

Г X2-f- X У X -j-У х

 

1)

X У х

 

 

 

 

 

 

j

=

 

+ - \

dx; 3)

 

dx

 

 

J sm Xcos X

 

У

9 —4л:2

е*

 

 

4. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (—2, 8), если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен 2х—4.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности