книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Р е ш е н и е .

Г

du =

Г

du

Положим

I

cos и

I sin (

+ и

С

du

_ Ç

dz

_ j

O'

+

C =

J

cos и

~~ j

sin 2

tg

- + И

+ C = ln t g ( T + 4 ) l + c .

— In tg-

4

1

2

l l 8 5 - » jI s s*k :

2>2)

j

3)

I

dt

X

t ( l + l n t )

Подстановка

1 + ln / = «.

C0ST

IV.

Интегралы вида

^au du =

aa

=------1-Cf

где

и — (p (x)

ln а

'

1186.

$35x2 xdx.

5х2 = и,

10xdx —du,

Реш ен ие .

Положим

откуда

X dx = jQ du.

Находим интеграл:

J З5*2 x d x — ^Q J 3й du-

1

3“ + C =

Ъхг

3

10 .1

10 ІпЗ

1 "

10In 3

1187.

1)

\ax‘x3dx;

2)

\a 3xb3x dx.

V. Интегралы вида

^eu d u — eu -\-C,

где

u = q>(x)

1 1 8 8 .

^exl +} x dx.

Р е ш е н и е .

Положим

x2+ l = u ,

откуда

2xdx = du,

x dx — ~ du. Находим интеграл:

^ e*2+ 1x dx — ~ ^ ea du — e“+ С = у e*2+ 1+ C.

1 1 8 9 . 1 )

jj

e V * y

^ \

2)

\xe~ x2dx-,

3 )

^ x3ex’ dx;

4) f esin * cos xdx;

5)

[ ~

e x dx.

1190. ^sin3х2 х dx.

Ре ш е н и е . Положим 3х2 = и,

откуда 6xdx = du,

dx — ^r du. Находим

интеграл:

^ sin 3x2xdx = ~ ^

sin и du = —

cos и -f С =

1191. 1) ^ sin (t2 — 1) / dt-,

2) ^ sin у

dz.

VII. Интегралы вида

^ cos и du =

sin и -f С,

^ cos X3 X2 dx =

у

^ cos и du = -і- sin и + С — ~ sin х3+ С.

1193.

1)

J - °у-* dx ;

2)

j* cos (х2+

1) xdx.

VIII. Интегралы

du

tg a + C,

вида

и

cos2

где

и — ф (х)

i t

9 4

f

. —

'

11

}

cos2 2л:2

2х2 = и,

откуда 4x d x = d u ,

Ре ш е н и е .

Положим

X dx =

y

d u .

Находим

интеграл:

3X dx

_

3

f

du

4 t g « + C = 4 tg 2 * ’ + C.

cos2 2л:2

4

J cos2 и

dx

X dx

Y X cos2 Y X

COS2 X2

*

I ctg“ + C = - T

c,«

^ + C-

M97.

.) $ - ^ § r ;

2)

3) J - л dx

SÎn* *_■

** С1Г1^

___ ml

v

sin2 ln X ’

sin2

Iу — Ф

X. Интегралы

вида V

= arcsin и-{-С,

J у 1 —u2

где и — ф (х)

1 1 9 8 .

Ç .

Ç dx _ Ç

dx

__ 1

Ç

dx

iÿ ÿ r î r - 3 y

,(, _ £ ) - •

J y n ^ s f '

Ç

dx

a

£

du

__

Ç

du

__

J

J/V — x2 ~

a

J

/ Г ^ й 2 —

'

/ П ^ й 2

~

1 1 9 9 . 1) f

f ü f L . ;

2 ) S —

0

Kl —

J гКі — lnse

V î

XI. Интегралы вида

du

lardgu + C,

1+u2

dx

где

u — <f (x)

,2°°- 5 *+3» '

dx

■ iS

dx

Р е ш е н и е .

“! !i + ÿ

>+ ( f

>203.

1)

J

j ê

r ; 2) 5

1204.

$

+

Реш ен ие,

x2—5x + 4 = (x— 1) (x —4); -

2я+ 1

_

Л .

s

x%— 5дс + 4

—

x — \ +

л; —

4

•

( Л + 5 = 2,

I

4Л + 5 = — 1.

Решив систему,

найдем: Л = — 1

и 5 = 3.

Подставив

значения

Л и 5

в выражение рыше,

получим:

2*+ 1

_

—1 ,

_з

X2 — 5* + 4

X — 1

X— 4 *

Интегрируя, получим:

2х+1

dx

I

dx

+

3 - dx

J X2—5я + 4

-

= — In {х

l) + 3 In ( x - 4 ) + C = l n ^ ^

<205.

1) $ - +

+

- <

! * ;

2 ) $ ,

3djc

+ 3* + 2

1206,

— 13л+4 dx.

•

^X 3 —-Зл:2 +

2х

Р еш ен и е,

х3—Зх2+ 2х ==х(х2 — Зх + 2) :

=х ( х — 1) X

6л:3— ІЗлг+4 _

А_

,

ß

,

с

X

2),

дсЗ — Зд;2_{_2jf

X

1

х — 1

+

•

1

х — 2

л:

‘

Решив систему, найдем:

А — 2, В — 3, С — 1.

Подставим значения

Л,

£

и С в выражение выше:

6*2— 13* + 4

_

2

,

3

1

*з — Зх2+ 2х

X

'

X — 1

‘ JC—- 2 *

Интегрируя,

получим:

(*6*2—13* + 4

dx

Зл:2 + 2*

=

ln [Cx2 (x — l)3 (x — 2)].

1207• »■ sл^-|-2*а — 3x

dx’

S

7x

— 3

j

r,4 f 6л;— 4

При вычислении

интегралов

вида

$ sin2nxdx или

^cos2"xdx при п

четном нужно

представить

его в виде

^ ^L=L£2i£^n dXt

раскрыть скобки

и,

если

потребуется,

повторно применить формулу

cos2x

1 + co s 2*

2

При вычислении интегралов

вида

^ sin ах cos bx dx,

^ sin ах sin bx dx

и

j

cos ах cos bx dx

применяются формулы:

sin a sin b= ~ [cos (a —b)—cos (a+ b)],

cos a cos b = y

[cos (a —b) + cos (a+ b)\,

sin a cos b — Y

[sin (a — b) -f sin (a4 - b)J.

Ре ш е н и е . Заменим

cos2x = ——^---- . Тогда имеем:

^ cos2x d x — ^

dx = у ^ dx + -~- ^ cos2xdx —

Указание. Применить формулу

sin2 x =

1_cos 2x

-------------.

1210. Jcos4xdx.

P e ш e H и и e.

^ cos* x d x — ^ (cos2x)2dx = ^

j2dx —

= y ^ dx + Y § cos2x d x + y

^ cos2 2xdx.

В последнем интеграле

заменим cos22x = - ~^~c°s4* ,

тогда

^ cos4xdx = y x + y sin2x-f-y ^ (1 + cos4x)dx =

= \

x + y sin2x + y x + ^sin4x + C =

=

| “* + T sin2* + 3g sin 4x-fC.

1211. § sin4xdx.

1212. $ tg2xdx.

Р е ш е н и е .

Заменим tg2x = — -,-----1:

®

COS2 X

S ^ x d x = $ ( z ^ - l ) d x =

$dx = t g x - x + C.

1213. $ctg2xdx.

Указание. Применить формулу

1+ ctg2 х = - Д —.

о

sm2x

Р е ш е н и е , jj

^

/

1

] dx-

1

Р е ш е н и е .

§sin3x dx = ^sin2xsin xdx = ^(1 — cos2x) x

X sin Xdx = § sin Xdx — ^cos2x sin x dx.

Вычислим

второй интеграл. Положим cosx = u, тогда

— sinxdx = d«:

jj cos2xsinxdx = — ^ u2du = — у + С = —

+ С.

Имеем:

^ sin3 x dx = — cos x + p p + С.

1217. ^ cos3x dx.

1218. jj sin5xdx.

Р е ш е н и е .

^ sin5x dx = ^ sin4x sin x dx — ^ (sin2x)2 x

Положим

cos x = «,

откуда — sin x dx = du, тогда

—

(1 — 2u2+ «4) du = —

— у ub-\-C —— cos x +

+

g cos3x — у

cos5x -j-C.