Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

220

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4831 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Р е ш е н и е , у' = Зх2 — 6х + 2 или ^ = Зх2 — 6х 4 -2,

отсюда ей/ = (Зх2— 6х + 2) dx.

Берем интеграл от левой и правой частей:

$ей/ =$ (Зх2— 6х + 2) dx; у + Сг = х3— Зх2+ 2х + С2. Полагая С2—Сі = С, имеем:

г/ = X3 — Зх2+ 2х + С.

Мы получили общее выражение функций, имеющих своей производной у' = Зх2 — 6х + 2 .

Замечание. В дальнейшем при интегрировании подобных выраже ний постоянную интегрирования будем писать только в правой части.

ИЗО. 1) Найти функцию, производная которой у' =

— 4х3— 2х + 3- 2) Найти функцию, дифференциал которой ей/ = (2х +

4 - 6) dx.

II. Вычисление первообразной функции

по заданной ее производной (или дифференциалу) и частным значениям аргумента и функции

1131. Найти функцию, производная которой у' —2х — 3, если при X = 2 эта функция принимает значение, равное 6.

Р е ш е н и е , у' = 2х —3	или ^ = 2х — 3. Отсюда dy =
= (2х — 3) dx.	и правой частей:
Берем интеграл от левой	и правой частей:

^ dy = ^ (2х — 3) dx, у = X2— Зх + С.

Найдем	С	при	заданных значениях х = 2			и у — 6.
Подставив	в	функцию эти		значения,	получим:	6 = 22 —
— З - 2 -fC,	откуда		С = 8 .	Функция,	удовлетворяющая

заданным начальным условиям, примет вид у — х2 —Зх + 8 .

1132.	Найти	функцию,	производная	которой у ' =
= 2х — 5,	если	при х = —3	эта функция	принимает зна
чение, равное 28.

1133. Найти функцию, обращающуюся в нуль при х = О, если производная от этой функции у' = 3х2— 4х + 5.

1134.	Найти	функцию,	производная	которой	у' =
= Зе*+ 2х, если эта функция			при х = 0 принимает		значе
ние, равное 8 .
1135.	Найти	$ (cos X —sin х), если при		х = у первооб

разная функция равна 6.

Р е ш е н и е . ^ (cos х — sin х) dx — ^ cos х dx — $ sin х dx =

= sin X4- cos X-+-С.

Найдем С при заданных начальных условиях:

			6 = sin у + cos ~ + С,
откуда С = 5,			следовательно, первообразная функция
				у — sin X-f- cos X-f 5.
1136.		Найти:		1)	$ (sinx + 3cosx) dx, если		при х — л
первообразная функция равна 4; 2)						$(cosx —е*+ 2х) dx,
если	при		х = 0		первообразная	функция	равна 3;
3) Ç f, f		2+ 2 ) dx,		если при х = 0 первообразная функция
^		Х	(*	/1	\	при х = —1 первооб
равна	нулю;		4) \	(	— х%\ dx, если

разная функция равна у .

III. Составление уравнения линии по заданному угловому коэффициенту касательной

в каждой ее точке

1137. Найти уравнение кривой, если угловой коэффи циент касательной k в каждой ее точке (х; у) равен 2х.

Ре ш е н и е . В условии за дачи дано: k —2x. Известно,

что k = tg а = ~ , следователь

но, j~ = 2x, dy = 2xdx. Инте грируя, получим:

$ dy = § 2х dx, у = хг-\- С.

Мы нашли совокупность кривых (семейство кривых), каждая из которых имеет в любой своей точке угловой коэффициент касательной,

равный 2х. Эти кривые отли
чаются друг от друга на по				с верши
стоянное С. При С — 0 имеем: у —х2 — параболу				с верши
ной в начале координат, при	С =	1 —■параболу		у = х2-\- 1
с вершиной в точке (0; 1), при			С — —2 —параболу
у = х2 — 2 с вершиной в точке	(0;	—2)	и т. д. (рис. 123).

1138. Найти уравнение кривой, если угловой коэффи циент касательной в каждой ее точке (х\ у) равен —Зх.

1139. Найти уравнение кривой, если угловой коэф фициент касательной в каждой ее точке (х\ у) равен

аг+ 2.

1140. Составить уравнение линии, если угловой коэф

фициент касательной в любой точке касания равен у .

Р е ш е н и е .			В	условии		задачи дано; k — X ' но й = dx’
следовательно,			dy _ у		0ТКУда- разделив переменные,
				=
имеем;	у = ^ .		Интегрируем;
		S 7		= ÜТ*		1пу=1п* + ІпС.
Произвольное постоянное берем равным In С для удобства
упрощений.		Потенцируя,				получим:	у —Сх — уравнение
прямой проходящей через начало координат.
1141.		Составить уравнение кривой, если угловой коэф
фициент касательной в каждой ее точке равен;
			IV. Составление уравнения				линии
	по заданному угловому коэффициенту касательное
			и проходящей через данную точку
1142. Найти уравнение кривой, проходящей через
точку	А (2;	—1), если			угловой коэффициент касательной
к кривой в каждой ее					точке равен 2х — 4.			k = 2x — A, но
Р е ш е н и е .			В	условии задачи			дано:
k =	следовательно,					= 2х — 4	или	dy = (2х — 4) dx.
Интегрируем:
		$ dy = J (2л: — 4) dx, у = хг —Ах + С.
Подставив начальные данные, найдем С: —1 = 2 2—4-2 +
+ С,	С = 3,	Получили			уравнение кривой у = х%— 4х + 3.
Найденная кривая —парабола.

1143. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, у которой касательная в любой точке

кривой имеет угловой коэффициент, равный

1144. Найти уравнение кривой, проходящей через

точку

М (1;

4),

если

угловой

коэффициент касательной

к кривой

в каждой

ее точке

равен Зх2 —2х.

через

1145.

Составить

уравнение

кривой, проходящей

точку

А (—1;

3),

если

угловой

коэффициент касательной

в каждой

точке

кривой

равен утроенному квадрату абс

циссы точки

касания.

кривой, проходящей

через

1446.

Найти уравнение

точку

А (0;

1),

которой

касательная

в любой точке

кривой имеет угловой коэффициент, равный

ординате

точке

касания у.

Р е ш е н и е .

/г = ~ = і/,

Интегрируем;

^ у

== ^ dx,

In у = X + С.

Из начальных

условий

найдем С: In 1 = 0 + С,

С — 0, сле

довательно,

у = ех.

1147. Найти уравнение кривой, проходящей через

точку

А (0;

е),

если

угловой

коэффициент касательной

к кривой

в любой ее точке равен у.

Составление уравнения движения тела

по заданному уравнению скорости его движения

1148.

Скорость прямолинейного движения тела задана

уравнением v = 3t2 —2t.

Найти уравнение

пути s.

Р еш ен и е .

Известно,

что

скорость

прямолинейного

движения

тела

равна

производной от пути s по времени

t і V =

= 3t2— 2t,

откуда

ds — (3t2 — 2t) dt. Интегрируем;

\ds = \{3t2- 2 t) d t,

s = t3- t 2 + C.

1149. Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением ѵ = t2 — 8t + 2. Найти уравнениедвижения точки.

1150. Скорость тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону v = 4t — 3t2. Найти уравнение дви жения этого тела.

VI. Составление уравнения движения тела по заданному уравнению скорости его движения

и по начальным условиям

1151. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением ѵ = 3t2+ 4. Найти уравнение пути s, если за время / = 2 с тело прошло 20 м.

Р е ш е н и е ,		ѵ — ~d* = 3t2-}-4, откуда ds = (3/2-f-4) dt.
Интегрируем:
	$ds= $(3/2+ 4)Ä, S = /3+ 4< + C.
По	начальным условиям		найдем С : 20 = 23 + 4 • 2 -f С,
С = 4.	Уравнение движения		тела будет иметь вид
		s = t3+ At + 4.
1152. Дано		уравнение скорости прямолинейно движу

щейся точки ѵ = 2і-~ 3. Найти уравнение движения точки, если к моменту начала отсчета точка прошла путь 6 м.

1153. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой V — 3t2+ At — 1. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени она находилась в на чале координат.

1154. Скорость прямолинейного движения точки задана

формулой		V —2 cos t. Составить уравнение движения, если
в момент t — ^r с точка находилась на расстоянии										s = 4 м
от начала		отсчета.
VII.		Составление уравнения движения тела по заданному
	уравнению ускорения и по начальным условиям
1155. Найти закон движения свободно падающего
тела при		постоянном ускорении g, если в начальный мо
мент движения тело находилось в покое.
Р еш ен и е .			Известно,		что ускорение а прямолинейно
движущегося			тела	есть вторая			производная		пути s по
времени	t	или производная				от	скорости	ѵ	по	времени
t : а = ~	= — , но			a = g,	следовательно,			^ = g ,		откуда
dv —gdt. Интегрируем:
			\dv = \g d t,			v — gt + Ci.
По	начальным			условиям:		t = 0, ѵ = 0 найдем Ci : 0 =
= g-0 + Clt С1==0.
Имеем уравнение скорости движения: v= gt.
Теперь		найдем закон движения тела: у= ^-, но v = gt,
следовательно,			ds		ds = gtdt. Интегрируем:
			dj = gt или

§ ds = jj gt dt, s = ^- + C2.

Пѳ начальным условиям: t = О, s = О найдем С2:

О = g ’ ~ + C 2, С2= О.

Имеем уравнение движения падающего тела: s =

1156. Тело брошено вертикально вверх с начальной

скоростью ѵ0.	Найти уравнение движения этого тела
(сопротивлением	воздуха пренебречь).
Ре ш е н и е .	Примем направление по вертикали вверх

за положительное, тогда ускорение силы тяжести, как направленное вниз, примем за отрицательное. Имеем:

= —g, откуда dv = —g dt. Интегрируем:

\do = — \g d t, V — — gt-\-Cv

По начальным условиям: t = 0, ѵ— ѵ0 найдем Ci : v0= = —g • 0 + Ci, Ci = v0. Имеем уравнение скорости: v =

= —gt + v0-

Находим закон движения тела: о'= —f но ѵ = —gt + v0f

тогда ^ = —gt + v0, откуда ds = (~gt + v0) dt. Интегри

руем:

^ ds = ^ (— gt + v0) dt, s = — ^2 vü/ + C2.

	По начальным условиям: / = 0, s = 0 находим С2:
	О = — ^2— b yoO"bC2, С2= 0.
	Имеем уравнение движения тела:
	s = —■Ç +
или
	. gt1
	s = v0t —^ .
=	1157. Тело движется прямолинейно с ускорением а —
	12/2+ 6С Найти закон движения тела, если в момент
1 = 1 с скорость тела ѵ= 8 м/с и путь s = 6 м.
=	1158. Тело движется прямолинейно с ускорением а =
	24/2 + 8 . Найти закон движения этого тела,	если в мо
мент 1 = 1 с скорость тела ѵ= 1 0 м/с и путь		s = 1 2 м.

1159.

Точка движется

прямолинейно с ускорением

а = 6/ —12.

момент

времени

/ = О

(начало

отсчета)

начальная

скорость

н0 = 9 м/с; расстояние от начала от

счета

s0=10

м.

Найти:

уравнение

скорости

и пути;

2) величину

ускорения,

скорости и пути в момент / = 2 с;

3) момент,

когда скорость будет наименьшей.

Решение .

1. Находим

уравнение

скорости: а = ^ ,

но

а = 61 — 12,

тогда ™ = 6/ — 12

или. du = (6/ — 12) dt.

Интегрируем:

\du = \{<ot-\2)dt,

г>= 3/2- 1 2 t + Cv

По

начальным условиям:

/ = 0,

ѵ0 —9 найдем С2: 9 =

3-02—- 12-0 + Ci,

Ci = 9.

Имеем

уравнение скорости:

о = 3/2— 12/ + 9.

пути:

но п = 3/2—12/ + 9,

Находим

уравнение

п= ^ ,

/іС

или

ds = (З/ 2 — 12/ + 9) Л.

Интег

тогда ^ = 3/2— 12/ + 9

рируем:

\d s =

^ (З/3 — 12/ + 9)Л,

s = /3 — 6/2+ 9/ + С2.

По начальным условиям: / = 0, s0= 10 найдем С2: 10 =

О3 — 6-02+ 9-0 + С2,

С2=

10. Имеем

уравнение пути:

s = / 3 _ 6/2 +

9/ +

io.

Найдем

а, ѵ

при

t — 2

с:

а = 6 - 2 — 12 = 0;

н = 3-22—12-2 + 9 = —3

м/с;

s = 23- 6 - 2 2+ 9 - 2 + 10 =

=12 м.

3.Исследуем уравнение скорости на максимум и минимум:

о = 3/2— 12/+ 9, о' = 6 / - 1 2 , 6/ - 1 2 = 0,						/ = 2;
	ѵ" =	6,	ѵ" >	0.
Следовательно, скорость		будет наименьшей при t — 2 с.
1160. Точка движется		прямолинейно с ускорением а =
= —6/+ 18. В момент		времени		/ = 0	(начало		отсчета)
начальная	скорость о0= 24		м/с,	расстояние		от	начала
отсчета s0= 15 м. Найти: 1) уравнения					скорости и пути;
2) величину ускорения, скорости				и пути в момент t — 2 с;
3) момент,	когда скорость будет			наибольшей.

§ 58. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки)

Сущность интегрирования методом замены переменной заключается в преобразовании интеграла \i f(x)dx в интег


рал $ F (и) d u , который легко				берется	по какой-либо из
основных формул		интегрирования.
Для	нахождения		интеграла	J / (х) d x	заменяем	пере
менную	X новой	переменной		и подстановкой х =		ц>(и).
Продифференцировав			это равенство,		получим:	d x =

= qp' (и) d u .	Подставляя в подынтегральное выражение
вместо X и	d x их значения, выраженные через и и d u ,
имеем:

$ f (х) dx = ^ f [ф («)] ф' (и) du = ^F (и) du.

После того как интеграл с новой переменной и будет найден, посредством подстановки и = ф(х) он приводится к переменной х.

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

I. Интегралы вида

$ (Ах 4- В)т dx, где т Ф — 1.

Интегралы этого вида находятся по формуле (9.2).

1161. \(Зх + 2)Ых.

Ре ш е н и е . Введем подстановку Зх + 2 = м. Диффе ренцируем: 3dx — du, откуда dx —~ d u . Подставив вместо 3*4-2 и dx их значения в данный интеграл, получим:

J (3* +

= 1 J «5dM==i . ^ + c==_lg„we + Ci

Заменив и его выражением через *, имеем:

§ (3*4- 2)5 dx — ^ ы®4 - С = -^ (3* -f 2)® 4- С.

Проверкой

d [1 (3*4-2)® 4- С] = ~ (3*4- 2)6.3 dx = (3* 4- 2f dx.

Получили подынтегральное

выражение, следовательно,

интеграл

взят

верно.

1162.

5 ( 7 - 2 x)3 dx; 2)

$ (5 / -1 )4с(/;

J (аде + Ь)т dx.

" 63-

Положим

4х + 1 == и.

Дифференцируем:

Р е ш е н и е .

4 dx = du, откуда dx — \ d u .

Находим интеграл:

S (4лг-Ь I)4

^ (4х +

1) 4 dx = Y

и 4 du =* “

с =

1_____і_ г

12u3

12(4х+1)3^

1164.

^ (4_ з^ .- 2) $ №+ 1„; 3)

1165.

\ V (3 x + l)2dx.

Ре ш е н и е .

Положим

Зх+1 = «,

откуда

3 dx = du,

dx — ^ d u .

Находим интеграл:

^ Y (Зх + I)2dx — ^ (Зх +

1)3 dx = \- ^ и? du=>

= l . - i . J + C = i - J + C = |( 3 x + 1 ) 3 “ + C.

1166.

1) \ y ( 2 x - l) 'd x \

5 ÿ

(4 -

3t f dt;

3) 5 y^(ax +

b)n dx.

1167.

f ( 3 x - l) 3

3dx = du,

Реш ен ие .

Положим

Зх — 1 = ы,

откуда

dx = ~ d u . Находим

интеграл:

^ (Зх — 1)

2 с?х = у

^ «

2 du —

Y (Зж—I)3

= — -3и

2 + С =

з*—1

•С.

•

[ -----------: 2)

[

(ад:+ 6)"

у / (Зх — 5)2

К(о-7)*4

II. Интегралы вида ^ (Ахп +	В)т xn~l dx,
где п и т — любые рациональные числа
Интегралы этого вида находятся	по формуле (9.2).

1169. $(2х3+ 1 )i x2dx.							6x2dx — du,
Р еш ен и е .		Положим 2х3+ 1 = « ,				откуда
х2dx — --du.
Находим интеграл:
^ (2х3+		I)4x2dx =		^ u* du =		+ С =
	=	w	“* + c = s ( 2'tS+		\| )* + c -
1170. 1) 5 (X2+			З)5X dx;		2)	$ 4 (х4 - l)2 х3 dx;
3) JJ (ax’1+	b)m xn~x dx.
1171* I	к d x
	(**+1)3						2xdx — du,
Ре ш е н и е .		Положим		x2+ l = « ,		откуда
xdx = ~ d u . Находим интеграл:

§	(ffi)a == J	(х2+		\)~**dx = Y $
				1
	2 —2			4(х2 + 1)2
1172	6z2 d z	_	0.	X s d x
1172	(1— 2 г З ) 4		Ч	(5х! + 3)
	(1— 2 г З ) 4		Ч	(5х! + 3)
1173.	$3 )/х 3- ix 2 dx.
Р еш ен и е . Положим			х3—1=и, откуда

Находим интеграл:

-С.

хп 1 dx (ах11+ Ь)т ‘

Зх2dx = du.

	^ 3 У х 3 — 1 х2dx = ^ 3 (х3 -		1)2 X2 dx =	^ и 2 du =
	= -тг и + с = 4 ( х з - і ) 2 + с .
	1174. 1) jj фА4х3+ 1 X2 dx;		2) $ у^ах” + bxn~x dx;
3)	$ ] / 2 sinx—1 cos X dx.	Подстановка		2 si nx —\ —u-t
4)	$ У e* -f- 1 ex dx. Подстановка		ex + 1 = «;
5)	^ Y (x4 — l)3X3 dx. Подстановка x4 — 1 =u.

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4831 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ