Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

220

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

1058.	1)	J (ЗлГ4+ 8x 3) dx;					2) §	{х 4 —х 3— Зх~2+ 1) dx.
1059.	J
Решение .			^ ~			х~Чх = ~		+ С = — ^		+ С.
1060.	1)	§ § ;		2)	$	3) J
1061.	^x3dx.
						- +	і	X3	3	-
Реш ение .			\ x 3dx =-^					X3	3	-
Реш ение .			\ x 3dx =-^				С = Ѵ + С = \| х З +
						} +	'
+ С= \| х ' А Ч - С .
	1) ^хЫх;							3\	3) Y x V x dx;
1062.	1) ^хЫх;				2)	$\5ы2 —7и4yd«;			3) Y x V x dx;
			__2
4) JjA dx;		5) ^х		3dx.
		1		!	1
		1	JL
		Л	I „3‘+ * 1
1063. jAî_JJL_X±_Z.rfje.
				з		2	и	3	i + x=
Реш ен ие .			^					3	i + x=	+
					1		1
+ x*		d x = Y x 4 + x 3 + x 2 d x = ^ x 4 dx -J-
		1		„	I		. 3
-f- ^ X		3d x -f^ *			2dx = y * 4-f- y л:3 +				2x2 + C .
		1	i
1064		2	..3	+ *'		dx.
,065.	J	£ .
Реш ен ие . J						-	i	—	—
Реш ен ие . J					= J л:		2dx = 2л:2 + C = 2 Y x + C.
,066.	„	I p	,	2, J		A	; 3,	J A .
	3 2жУxa

Р е ш е н и е .

Y ^ x 6 dx

1068.

+ a p j â ,

C ' Y x d x			I	f	x 2dx	1	f	i — l — 4 ,
I — r-=- =			2	\ ---5-		= -^	\	x 2	3dx —
J	2xVx*		2	J	1	2	J
	Y				XX
		1			XX
		1				_ J
1	X	6*				_ J
1	X	r + C = —3x 6 + c .
Y

2> Я т г ’ 3> Ш - 7 Т +

Интегрирование по формуле (9.3)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1069. J

Р еш ен и е . Интеграл берется непосредственно по фор муле (9.3):

М х _g Г		dx	=3 ln I л: ] +	С.
X	}	X

Проверка: d [3 ln | x |+ C] = 3 • — dx =

1070. J Ф

1071.

J1 +■*

Ре ш е н и е . Дифференциал знаменателя равен числи

телю, поэтому по формуле (9.3) имеем:

S i S	H ^ - N i + ' l + c .
Проверка: d [ln \|	=
1 0 7 2 - « I i f ? :	2 > $ Й г ' 3 ) $ Й ? '

1073.

Р еш ен и е . Дифференцируя знаменатель подынтеграль ного выражения, получим:

d (х2+ 1) =s=2xdx,

откуда

xdx = 4- d (x2-f 1).

10 Богомолов H. В.

289

	Применив		формулу	(9.3);	имеем:
б	x d x	Г	-£d(x* + 1)
)	х>+ 1 -	J	F f l	- Н	^ - ^ + О + с -

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение х2+ 1 Х ) .

1074.	О 5 г Т Г ! 2 > 5			^ .
1075.	§ tg xdx.
г,		(*	, .	f	sin xdx	=	— \	Ç d cosx		=
Р е ш е н и е .		\ t g xdx =		\	--------cos*	=	— \	j	--------cos X	=
		j	b	J	--------cos*			j	--------cos X

— — In ] cos x | + C.

1076.		(	Ä			.
		J	3 sin x — 1
Р е ш е н и е .					Дифференцируя				знаменатель подынтег
рального		выражения,					получим:
					d (3 sin X — 1) = 3 cos xdx,
откуда
					cos xdx =			у d (3 sin X — 1).
По формуле					(9.3)		имеем:
£	cos X d		x	___ I		f d (3 sin x — 1)			1 In I 3 sin JC— 1 j + C.
'	3 sin x — 1				3	)	3 sin x — 1		3
							;2>s
1077.		1)	J	sin x d x			m	C cos* dx
					“COS X			3 + 2 sin x ’

Интегрирование по формуле (9.4)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1078-	j - j ê ï .
Р е ш е н и е .		По формуле (9.4)			имеем:
С	d x	f	à	__ 1	,	+C-
} IF-F— J x2 — 22 ~ FJ Ш x + 2						+C-
		“	T i n	x + 2	+ c ,

Проверка: d	ln	x + 2		+ C) = 1 • ^		2~ fl 7 2)' dx
		x + 2			4 X— 2	(x + 2)a
' . x+ 2~ x+ 2-d x ■			i	4dx	dx
		4 д-2— 4			x2 — 4'
,079. 1) $ ^	5 ; 2)		J	3 du
				-25-

Интегрирование по формуле (9.5)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1080. Г -у£х

J Ѵх2-|_4

Р е ш е н и е . По формуле (9.5) имеем:

J	äx	■ln I x + ]/x 2-j-4\| + С.
	У х 2+ 4
1081•« І дdxа		2>JУ*dx	16

Интегрирование по формулам (9.6) и (9.7)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1082.	\2 xdx.					при а — 2 имеем:
Р е ш е н и е . По формуле (9.6)						при а — 2 имеем:
			$ 2' Л = Й		+	С-
Проверка: d			+	c j =	• 2* ln 2dx — 2хdx.
1083.	1) \b x dx\		2)	\b udu.
1084.	\& x dx.				(9.7) при k = 5 и я = 3 по
Р е ш е н и е . По			формуле		(9.7) при k = 5 и я = 3 по
лучим:
		) 3 “ ^ = Т І Т + С -
1085.	\ V x dx.
1086.	\2 x*xdx.
Р е ш е н и е .		Дифференцируя				показатель степени
подынтегрального		выражения,			получим

d (х2) — 2х dx,

откуда

x dx = у d (x2).

Применив формулу (9.7), имеем:

jj 2*2х dx = JJ 2 х * ■ i - d (X2)= у J 2**d (х2) =

1087.	\bx*x2dx.
	Интегрирование по формулам (9.8) и (9.9)
Найти интегралы и проверить их дифференцированием.
1088.	jM q).
Р еш ен и е .		Интеграл берется		непосредственно по
формуле	(9.8):
		^ ефй!ф = еф + С.
1089.	§ (ех + 2х) dx.
1090.	\e-**dx.			при k = —2 получим:
Р е ш е н и е .		По формуле	(9.9)
	^ е~2х dx = ~ е~2х+ С = — у е~2х+ С.
1091.	^ё>х dx.
1092.	\ e '3x*xdx.
Р е ш е н и е .		Дифференцируя		показатель степени
подынтегрального выражения,			получим

d (—Зх2) == —6х dx,

откуда

xdx = — g- d (—Зх2).

Применив формулу (9.9), имеем:

^ e~3x‘xdx — ^ е~3х‘ ^			~	d (—Зх2)^ =
- - 4	$	( ~ 3х2)	= ~	^ е 3х\ + С. .

1093. 1) \e~x*xdx\ 2) §x2x2xdx.

Найти интегралы и проверить их дифференцированием. 1094. §3sinxete.

Реш ен ие . Интеграл берется непосредственно по формуле (9.10):

^ 3 sin X dx —3 § sin X dx = —3 cos x + C.

1095. 1) § (sin* - 5 ) fite; 2) $ S^~~.

1096. ^sin3xdx.

Р е ш е н и е . Интеграл берется по формуле (9.11) при k = 3:

^ sin 3xdx — — у cos Зх -}-С.

1097.	$sin2xete.
1098.	J sin (ах + b) dx.
Р е ш е н и е . Интегрирование		производим по формуле
(9.10):
d (ах + Ь) = a dx, откуда		dx — ~ d (a x + b).
Имеем:

^ sin (ах + b )^ d (ах + Ь) =» ~ ^ sin (ах + b) d (ах + Ь) =

— — ~ cos (ах + Ь) + С.

1099. 1) J sin (х — 5) dx\ 2) § sin x2xdx.

	Интегрирование по формулам (9.12) и (9.13)
Найти интегралы и проверить их дифференцированием.
1100.	$ 2 cos г dz.
Р е ш е н и е . Интеграл берется непосредственно по
формуле	(9.12):
	$ 2 cos z fite = 2 $ cos z dz — 2 sin z + C.
1101.	J (4 — 3 cos x) dx.
1102.	J cos 4* fite.

Р е ш е н и е . Интеграл берется по формуле (9.13) при Æ= 4:

^ cos 4xdx = ~ sin 4х + С.

1103.	^ cos 3xdx.
1104.	jj cos (5л: — 3) dx.
Р е ш е н и е . Интегрирование		производим по формуле
(9.12):
d (5х — 3) = bdx, откуда		dx = -^d (bx —3).

Имеем:

^ cos (5л: — 3)dx = ^ cos (5л: — 3) • у d (5л: — 3) = = у ^ cos(5x — 3) d (5л: — 3) = у sin (5л: — 3) + С.

1105. 1) ^ cos (2 — Зл:) dx\ 2) jj cos л:3х2 dx.

Интегрирование по формулам (9.14) и (9.15)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1106.	J	cos2 у		берется		непосредственно	по
Р еш ен и е .			Интеграл	берется		непосредственно	по
формуле	(9.14):
				dy
		) T § ? “ 5 S - J i - = 5 te » + c -
П 07.	$	dx
П 07.	$	2 cos2 X ’
■108.	j	dx
■108.	j	cos2 5л ‘
Ре ш е н и е .			Интеграл	берется		по формуле (9.15)	при
k — b:			dx
			dx	у tg 5л:+ С.
			cos2 Ъх	у tg 5л:+ С.
			cos2 Ъх
1109 •I		X* dx
1109 •I		cos2 ха			производим по формуле
Р е ш е н и е .			Интегрирование		производим по формуле
(9.14):
	d(x3) = Зл2dx, откуда				л2 dx = ~ d (х3),

Имеем;
Ç x*dx —JL Ç			X 3	=	3 ь	xs+ C.
J	cos2 A:3	3 J cos2	X 3		3 ь	1
	^ cos2 (ax + b) :				dx
I 1 1 0 , ^	^ cos2 (ax + b) :		^ cos2 (1 — ж)

Интегрирование по формулам (9.16) и (9.17)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

111 j	Ç .......
111 *	J 2 sin2 г '
Р е ш е н и е . Интеграл берется непосредственно по
формуле	(9.16):

С	dz	= J_ С
J	2 sin2 г	2 '

2112	С
	J sin2x ‘
	dx
1 1 1 3 .	Ssin2 6x *

Р е ш е н и е . Интеграл k = 6 :

гіг

ctgZ + C.

берется по формуле (9.17) при

						=	— -i- ctg 6л;4- С.
			Ssin2 6х				6
l)I4-	0	5					dz
l)I4-	0	5				2) 5 и
			dx				sin2 2z
			dx
1115* I sin2Ч*2+( і )•										по формуле
Р е ш е н и е .				Интегрирование производим						по формуле
(9.16):					d (х2+		1) = 2х dx,
					d (х2+		1) = 2х dx,
откуда
					X dx = — d (х2+			1).
Имеем:
[	*dx		.	1	Г	d(*2+ P .		1	,,,	. n ■r
} sin2 (*2 +		l)	“	2	}	sin2(*2+ l ) —		2

, l i e - S a s n i + 2) . '2)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1117.

j V 1 - х 2

Решение . Интеграл берется непосредственно по фор муле (9.18):

С ßdx____2 С

= 2 arcsin х-\-С.

J / 1 - x 2

0 / 1 - х я

Проверка: d (2 arcsin х +

С):

2dx

/ 1

- х

2 '

1118■S

3 / і

— г2 *

1119.

J /9 ^ х 2 *

берется

по формуле (9.19)

при

Решение .

Интеграл

а = 3. Имеем:

, ^

\ ■.

arcsin -а- 4- С.

0 / 9

—X2

,,2 °-

»ІТШ=^:2> S/

1121.

Ç ___d,x

‘

/ 9 —'16x2

по

формуле

(9.20)

при

Р е ш е н и е .

Интеграл берется

а — 3, Ь = 4:

„

І 7 й

т аги ,^

' + С -

1122.

1) t

“* ... ;

(

- г! -— "'

{

- 1

0 / 2 5 — 9х2

/ 5 — 4х2

J / 9 — 2ф2

4) ІІ -7^ = ; 5) [ -7 _ ^ = -; 6) Ç ^

7 0 / 3 - г 2

0 / 1 6 —9х2

/ 5 - З х 2

Интегрирование по формулам (9.21), (9.22) и (9.23)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

П23, 5 2(1 +х2)'	непосредственно по фор
Решение . Интеграл берется	непосредственно по фор
муле (9.2 1)і
jj 2 (1 + х 2) ~ 2 ^ 1 + х 2 ~	2" агс1ё Л + С.

П25.
Р е ш е н и е .		Интеграл	берется	по формуле	(9.22)	при
		S	-з - arcts=
"26- » S w ;2>
l l 2 7 -	S S Ä	-	берется	по формуле	(9.23)	при
Р е ш е н и е .		Интеграл	берется	по формуле	(9.23)	при
а = 5 и Ь — 2:
5 я т Ь		5TÏагс1е 5 * т С --'і'о агс,е s х - ІС .
' т -	»	S n r p b =	2 > S	w ; 3)

4> S w

§ 57. Простейшие приложения неопределенного интеграла

Отыскание функции по заданной производной или по дифференциалу — задача неопределенная, так как § / (х) е?х


означает		множество первообразных		функций		вида у =
= F(x) + C,			отличающихся друг от	друга		постоянным
слагаемым		С;	С может принимать любые		числовые зна
чения,	если		на первообразную функцию		не наложено
никаких	начальных условий. Чтобы из множества перво

образных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Под началь ными условиями понимается задание частных значений х и у для первообразной функции y — F(x)-\-C, по которым находится вполне определенное значение С, удовлетворя ющее этим начальным условиям.

I. Вычисление первообразной функции

по заданной ее производной или по ее дифференциалу

1129. Найти функцию, производная которой у' — = 3х2—6х + 2 .

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ