книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

ß отношении A = 2: 1 = 2 (от А к D):

Координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому одноименных координат его вершин:

м( — 3 : - С Уа ~г Ув + Ус \

50.Найти точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки:/ X * X f-р X п -f-

1) А (7; - 4 ) , В (— 1 ; 8) и С (-1 2 ; - 1 ); 2) Л (- 4 ; 2),

В (2; 6) и С (0; —2).

XII. Вычисление координат центра тяжести системы материальных точек, лежащих в одной плоскости

51. Найти центр тяжести однородной треугольной пла­

в точке пересечения его медиан. Следовательно, коорди­ натами центра тяжести будут:

ХА + Х!і + ХС

Хм= -------- g-------- ,

Ум ——— §— - (см. задачу 49).

Координаты центра тяжести однородной треугольной пластины равны среднему арифметическому одноименных координат вершин треугольника.

52. Найти центр тяжести однородной пластины, имею­ щей форму треугольника, вершинами которого служат

Р е ш е н и е . Искомый центр масс лежит на отрезке AB в точке М, делящей его на части, обратно пропорциональ­ ные массам, т. е.

т А + т В

1+т.

Если заданы силы тяжести РА и Рв и точки их при­ ложения А (хА; уА) и В (хв; ув), то центр тяжести (точ­ ка М) находится также по формулам (1.3):

AM

с массами тА и тв центром масс будет точка

Аналогично найдем центр масс —точку N для системы точек М и С с-массами тА-\-тв и тс:

MN тг

Ш= т

По формулам (1.3) получим:

56.В трех точках А (— 1; 3), В (4; 3) и С (6; —5) сосредоточены соответственно массы в 2, 3 и 5 кг. Найти центр масс этой системы.

§3. Смешанные задачи

57.Найти точки, симметричные точке А (—2; 3) отно­ сительно: 1) начала координат; 2) оси Ох; 3) оси Оу, 4) бис­

сектрисы первого и третьего координатных углов.

58. Дан отрезок с концами А( — 3; 1) и В ( —1; 7). Найти концы отрезка симметричного данному относи­ тельно: 1) начала координат; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) бис­ сектрисы второго и четвертого координальных углов.

59. Дан треугольник с вершинами А (3; 2), В (7; 4) и С (1; 6). Найти вершины треугольника симметричного

в точке С пополам. Найти длину отрезка, соединяющего

отрезка, соединяющего точку С с точкой ей симметричной, относительно начала координат.

Г Л А В А 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 4. Уравнения прямых, параллельных осям координат. Уравнения осей координат

Уравнение прямой, параллельной оси Оу, имеет вид

Если Ъ^>0, то прямая расположена выше оси Ох, если Ь<0, то прямая расположена ниже оси Ох. Если b = О, то прямая совпадает с осью Ох. В этом случае имеем уравнение оси Ох:

2)X — — 2. Через эти точки проводим прямые, парал­

рон совпадают с осями координат, причем большая из сто­ рон совпадает с осью Ох.

Р е ш е н и е . Построим заданный прямоугольник (рис. 16). Из построения видим, что вершины прямоугольника имеют координаты: А (0; 0), В (5; 0),

С (5; 3) и D (0; 3).

Теперь легко составить уравнения сторон:

AB : у = 0 (ось Ох);

ВС : х — 5 (проходит через точку В (5; 0));

CD : у — 3 (проходит через точку D (0; 3));

DA :х = 0 (ось Оу).

80.

ника равны 3 и 4. Составить уравнения всех его сторон, если он расположен в третьем координатном углу так, что две из его сторон совпадают с ося­ ми координат, причем меньшая из сторон совпадает с осью Оу.

81. Составить уравнения сторон квадрата, если он рас­ положен в первом координатном углу и две из его вершин имеют координаты А(2; 0) и В (5; 0).

§5. Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид

где k —угловой коэффициент; х, у —текущие координаты — координаты любой точки прямой, выраженной этим уравне­ нием.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох:

Заметим, что углом наклона прямой к оси Ох называется угол, на который надо повернуть положительное направ­ ление оси Ох около точки пересечения прямой с осью Ох, против движения часовой стрелки, до совпадения с прямой (рис. 17).

Если прямая параллельна оси Ох, то угол наклона равен 0°. Угол наклона любой прямой к оси Ох будет иметь значения, заключенные между 0 и 180? (0Ч^ а < 180°).

83. Построить прямые: 1) у = 2х\ 2) у = —х\ 3) у = —

4) г /= —4х.

I I . Проверка принадлежности данных точек прямой y = kx

и если координаты данной точки не удовлетворяют уравне­ нию, то точка не принадлежит прямой, т. е. лежит вне прямой.

Подставив вместо переменных х и у в уравнение у — 2х координаты точки А (3, 6), получим тождество 6 = 2 • 3, т. е. координаты точки А (3; 6) удовлетворяют уравнению у = 2х; следовательно, точка А (3; 6) принадлежит данной прямой.

Аналогично проверим-принадлежность точек В ( —1;

1; y j и С (8; 4) прямой у = —~х.

III. Составление уравнения прямой вида y — kx по данному k

86. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если ее угловой коэффициент 6 равен:

ходящей через начало координат, необходимо знать один

2)у = —3х или 3x-ft/ = 0.

87.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если ее угловой коэффициент 6 равен:

1)Ä = —1; 2) 6 = 4.

IV. Вычисление угла наклона прямой y — kx

коси Ох по данному k

88.Вычислить, под каким углом к оси Ох проходят прямые: