Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>


	1021.	1)	Y 1,006		(случай	10); 2) ^25,16		(случай 2);
3)	Ѵ~24№ (случай				3; 24,84 = 25-0,16); 4)			У Ш (слу
чай 2); 5)		]/99,5 (случай 3); 6) Y 1,03 (случай 6).
	VII.		Приближенное вычисление обратных величин
	Пусть в функции f ( j c ) = - j					X получает малое прираще
ние	Ах.	Вычислим			приближенное		значение функции
f (л + Ах) =			^	, применяя		формулу для		вычисления
приближенного значения функции. Имеем:
	/(х + Д		х	) =	^ І(х) = ~ ,		f ’ (x )A x= * - % ,

откуда

1Ах

х-{-Ах X

Частные случаи:

1) А х< 0,			х —1Ах	1 .		Ах

2) х = 1 ,			1	1 — Ах\
		1 -J- Лаг
3) X=	1 и Ах <. 0, -j—Ах					1 +Дх.
Найти приближенные значения							обратных величин.
1022.	1
	1,004 •
Р е ше н и е .			Применяя		частный		случай (2), положим
Дх = 0,004,		тогда				1—0,004 = 0,996.
1023.	1) jj-gg [частный				случай (3); 0,99 = 1—0,01];
2) 9,93	[частный			случай		(1); 9,93= 10 — 0,07].
1024.	1
	(1,004)2 •
Р е ше н и е .			I
			(1,004)2 = (1,004)-2 = (1 + 0,004)-2 я« 1 - 2 X
X 0,004 =	1 -	0,008 = 0,992.
Здесь	применена формула (1 + Ах)п ^ 1 -\-nAx.

VIH. Приближенное вычисление синусов

итангенсов малых углов (близких к нулю)

1.Пусть для функции /(x) = sinx аргумент х = 0 по лучает малое приращение А*. Вычислим приближенное значение функции:

/(х + Ах) = sin (х + Ах) — sin (0 + Ах) = sin Да:.

Применяя формулу для вычисления приближенного значения функции, имеем:

f (х + Ад:) = sin A*; f (.х) = sin х = sin 0 = 0;

f (х) Ах = cos хАх = cos ОАх = Ах,

откуда

sin Ах 0 + Ах; sin Ах ^ Ах.

Синус малого угла приближенно равен самому углу (угол берется в радианной мере).

2) Пусть для функции f (х) = tg х аргумент х —0 полу-, чает малое приращение Ах. Вычислим приближенное зна чение функции:

f (х+ Ах) = tg (х	Ах) = tg (0+ Ах) = tg Ах.
Применяя формулу
/ (х+ Ах) ъ* f (х) -f f			(х) Ах,
имеем:
/ (х + Ах) = tg Ах; / (х) = tg X= tg 0 = 0;
/' (х) Ах =	Д*	Ах	= Ах,
откуда	COS2 X	cos2 0
		tg Ах ^ Ах.
tg Ах я« 0 -f Ах,
Тангенс малого угла приближенно равен самому углу
(угол берется в радианной мере).
1025. Вычислить sin 12'.		радиана; sin0,0035 = 0,0035.
Р е ш е н и е . 12' = 0,0035

По таблице натуральных значений синуса имеем sin 12' = = 0,0035.

1026. Вычислить: 1) sin 42'; 2) sin2°06'.

1027. Вычислить: 1) tg 1°12'; 2) tg3°18'.

Замечание. Синусы и тангенсы углов равны самим углам (в ра

дианной мере) с точностью до 0,0001 от 0 до 3°.

IX. Вычисление табличных разностей десятичных логарифмов

Табличной разностью Ау называется приращение де сятичного логарифма у = \^х при увеличении числа х на единицу.

Пусть для функции y = \ g x X получает малое прира щение Ах. В ычислим по формуле Ау dy приближенное значение Ау. Имеем:

, /iw \ г к 0,4343Ах

dy = (\gx)’ Ах = - ^ — ,

тогда

Ау ъ 0 ,4 343^,

т.е. абсолютная погрешность логарифма вычисляется по

относительной погрешности числа х

— относительная

погрешность j..

0,4343

Положим Ах- 1; тогда Ау.

По этой формуле можно вычислить табличные разности. 1028. Найти табличную разность при вычислении деся

тичного логарифма числа 544.

Р е ш е н и е .		0,4343	—	0,4343	: 0,0008.
		Ау ^ - -		544
Проверим	по таблице Брадиса:
		lg (544 -f 1) =	lg 545 = 2,7364;
			lg 544 = 2,7356.
Табличная разность логарифмов чисел 545 и 544 ока
залась равной		0,0008.			погрешность числа х при
1029.	Найти относительную
вычислении его по его логарифму y = ]gx.
Р е ш е н и е .		Пусть логарифм числа х (lgx) был вы-
числен с погрешностью Ау ,			тогда при нахождении по нему
числа X будет		допущена погрешность Ах. Относительная

погрешность числа х равна — .

Абсолютная погрешность логарифма равна:

А у ъ 0,4343^,

откуда

Ах _ Ау

0,4343 *

Относительная погрешность числа х при вычислении

его по его логарифму не					зависит от значения	числа х,
а зависит только от погрешности, с какой был найден
логарифм числа х.				относительную погрешность		точности от
1030.		Найти
счета	на	логарифмической			линейке со шкалой	250 мм.
Ре ше ние .			Допустим,		что при установке визира, или
отсчета со шкалы наибольшая погрешность будет состав
лять	0,1 мм.
Найдем абсолютную погрешность логарифма числа.
Вся шкала логарифмической линейки длиной в 250 мм
соответствует			числу, логарифм которого равен			единице
(lg 10 = 1). Отсюда на 0,1 мм шкалы абсолютная						погреш
ность	логарифма числа будет в 250 раз меньше, т. е.
		Аг/ = ^		= 0,°04, но Ау = 0,4343^,
тогда
	Ах _	, Ау		0,004	: 0,00092 ^0,001= 0,1% .
	~х ^	0,4343		0,4343

Относительная погрешность точности отсчета состав ляет 0 ,1% (в любой части шкалы).

§ 55. Смешанные задачи

Найти дифференциалы первого порядка функций. 1031. 1) у = ех sin*; 2) у = ахех\ 3) у = ех ]/г2х.


1032.		1)	у = (ех - е - х) \			2)	y = -^~ ç -, 3)		г/ = -£—
1033.		1)	г/= arcsin (In ж);				2) у = arctg (sin*);				3) у —
= arcctg (ln Зх).					приближенное значение приращения
1034.		Вычислить
функции:							зт	Ах —0,02;		2) у = Іпх2
		1) у = sin 2* при х — -g- и
при х = 20			и Ах —0 ,01;			3)	у — arcsin х		при		у~з
											X — L<y и
Ах = 0,02.					приближенное			значение			функции:
1035.		Вычислить
1) /(х) = х3+ х2+ х +					1 при х = 0 ,001; 2) /(х) = х4— 1 при
х ~ —3,3;		3) f(x) = ÿ==== прИ х=1,1.
1036. Найти относительную погрешность при вычис
лении	величины,			заданной			уравнением:		1)	г/= х2, при
х = 1 0	и Дх = 0 ,01;			2) у — х3 при х — 3 и Дх = 0 ,02.

1037. Составить формулу для вычисления относитель ной погрешности функции: 1) t/=sin23x; 2) y = t g 2x.

1038. Составить формулу для вычисления относитель ной погрешности функции: 1) y = esin*x', 2) у = 3^х.

Контрольная работа

I в а р и а н т

1039. I. Вычислить дифференциал функции y = Incos2*, при

X = 4 и d* = 0,01.

2. Вычислить относительную погрешность функции » = — п/?3

при R — 300 и dR — 0,3.

3.	Найти приближенное значение приращения функции у = х3 —
— X2 при х = 2 и Дд:= 0,01.
4.	Найти приближенное значение функции f(x )= x 3 — хг-{-х — 3
при х = 3,03.
5.	Вычислить приближенное значение величины	.

II в а р и а н т

1040. 1. Вычислигь дифференциал функции у = ln tg 2дг при х =

=и dx = 0,03.

О	Вычислить относительную погрешность функции и = х3
2.	Вычислить относительную погрешность функции и = х3	при
дг = 750	и dx = 0,5.	у —
3.	Найги приближенное значение приращения функции	у —

~ 2}^х + 4 при х — 25 и Ал:= 0,01.

4.Найти приближенное значение функции f(x) = 3x3—x2-j-5x — 1

при х = 3,02.

5.Вычислить приближенное значение величины (1,02)7.

ЭЛЕМЕНТЫ

ИНТЕГРАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

Г Л А В А 9

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

	§ 56. Основные формулы интегрирования.
		Непосредственное		интегрирование
Функция		F (х)	называется	первообразной		для	функ
ции	/ (х),	если	производная	от функции		F (х)	равна
Î {х)	[F'(х) =	f (х)]	или дифференциал ее		равен		f(x)dx
[dF (х) = f (х) dx].
Отыскание первообразной функции по заданной ее про
изводной / (х) или			по дифференциалу f (х) dx есть действие
обратное дифференцированию — интегрирование.
Совокупность			функций F (х) + С, первообразных для
функции / (х) или			для дифференциала f (х) dx,			называется
неопределенным интегралом и обозначается					символом

$ / (x)dx = F (*)■+ С, если d [F (х) -f С] = / (х) dx,

где f (х) — подынтегральная функция;

/(х) dx — подынтегральное выражение;

С—произвольное постоянное неопределенного инте грала.

Свойства неопределенного интеграла

I. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольным постоян ным:

^dF (x)=F (х) + С.

II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d § f (х) dx — f (х) dx.

III. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных инте гралов этих функций:

5 [/ (х) + Ф (*)] dx = ^ f (х) dx + ф (х) dx.

IV. Постоянный множитель подынтегрального выраже ния можно выносить за знак неопределенного интеграла:

$ а/ (х) dx — a ^ f (х) dx.

Основные формулы интегрирования (табличные инте

гралы)	(9.1)
$ du = и -}-С;	(9.1)
	(9.2)

			= 1п\|«!4-С;
b	rf«	1	1„	+ O;
	2'=ö5' — ~2а		П u-j-a

І? И Ь ' = 1п “+ѵ/“‘± “ 1+С:

S “*‘І“ " - К Г + С-

k ln a

I ea du = eu+ C;

jj ekadu = ~ e ka+ Ç\

$ sin и du —— cos и + C;

^ sin kudu — — cos ku + C;

'5 cos w du = sin« -fC;

^ cos kudu = -y sin ku + C;

tgM + C;

5 cos2 «

(9.3)

(9.4)

(9.5)

(9.6)

(9.7)

(9.8)

(9.9)

(9.10)

(9. II)

(9.12)

(9.13)

(9.14)

?	du	—	ku -f- C;
J	cos2ku	—	ku -f- C;
С du		—— ctg u -f- C;
j	sin2u	—— ctg u -f- C;
Ç	du	-	-jr ctg ku + C;
J sin2ku		-	-jr ctg ku + C;
J sin2ku
Ç	du	— arcsin u -f C;
J	K ï - u 2	— arcsin u -f C;
f*	du	= arcsm — f- C;
J V O2— U2		= arcsm — f- C;
J V O2— U2			a
	du	1	• b	. n
Vu2—b2u2		= — arcsin — u		-f C;
Vu2—b2u2		b	a

Çdu

	' 1+u2	=		arctg« -f C;
Ç	du		ia rc tg l +		C;
J	a2+ “2 V-
	du		^	arctg \| и	+ С.
cfi+ bW ~

(9.15)

(9.16)

(9.17)

(9.18)

(9.19)

(9.20)

(9.21)

(9.22)

(9.23)

В вышеперечисленных формулах а, b и k —постоянные, и — независимая переменная или любая (дифференцируемая) функция от независимой переменной.

При применении формул (9.3), (9.4) и (9.5) знак абсо лютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. Дифференцирова нием правой части получаем подынтегральное выражение.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование производится путем применения соответствующего табличного интеграла. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2)данный интеграл после применения свойств III и IV приводится к одному или нескольким табличным интегра лам;

3)данный интеграл после.элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и приме нения Свойств III и IV приводится к одному или несколь ким табличным интегралам.

Найти интегралы и проверить их дифференцированием. 1041. \5dx.

Р еш ен и е . Постоянный множитель 5 по свойству IV выносим за знак интеграла и, применив формулу (9.1), получим:

^ 5 dx = 5 § dx = 5х + С.

Проверка: d(5xJs~C) = 5dx. Получили подынтегральное выражение, следовательно, интеграл взят правильно.

1042. 1) $3 du; 2) $adcp; 3) $(m—1) ей/; 4) $d(x-f3).

Интегрирование по формуле (9.2)

Найти интегралы и проверить их дифференцированием.

1043.	§ x3dx.
Р е ш е н и е . Интеграл находим						непосредственно	по
формуле	(9.2)	при	п = 3:
		С		ѵЗ+1	1
Проверка:		d ^	х4+ cj = ~ • 4х3dx = х3 dx.
Дифференцированием				получили		подынтегральное	вы
ражение;	интеграл		взят	верно.
1044.	1) \x*dx\		2) \х т-Чх\ 3)		[ x ^ d x ; 4) [ир+Ыи.
1045.	5 6x2dx.

Р е ш е н и е .		Применив свойство IV	и формулу (9.2),
получим:
	^ 6хЧх = 6 ^ x2dx = 6 • jyqjj- + С = 2х3+ С.
Проверка: d (2х3+ С) = 2 • 3x2dx —6x2dx.
1046.	1) ^ 2xdx\ 2) ^4t3dt\ 3) §ax2dx;		4) ^ nxn~1dx.
1047.	\4 (x 2- x + 3 ) d x .
Р е ш е н и е .		Применив свойства III	и IV и формулы
(9.2) и (9.1), имеем:
$4	(х2 —х + 3)dx = 4 ^x2dx — 4 $xdx-h 12 \d x —

= 4 - ^ - 4 - — + 12х + С = ^ х ? - 2 х 2+ \2 х + С.

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную (Сг—С2 + "і- С3 = С).

	Проверка: d		х3 — 2х2+		12х + C^j = (4л:2— 4х+ 12) х
X dx — 4 (л:2— X + 3) dx.
	1048.	1) $(4«3- 6 u 2- 4 u		+	3)efu-
2)	^	X3 — — л:2+ öj dx;		3)	^ (4ох3 — 6Ьх2 — 4сх + е) dx;
4)	^ 3 (ф — 2) dtp.
	1049.	§ 2 (Зх — 1)2е?х.
	Р е ш е н и е .		Ij 2 (Зх — I)2 dx — ^ (І8х2— 12л:+ 2) dx —
=	18 § x2d x — 12 ^xdx-f-2 \dx —6x3 — 6x2+ 2x-j-C.
	1050.	$ 3 (2x2-	l)2 dx.
	1051.	jx*(l +	5x)dx.
	Р еш ен и е .		x3 (1 +5x) dx— ^x3dx + 5 Î x*dx = -j- x4 + -
+ x5+ C.
	1052. $x4 (x— l)dx.
	1053.	jj (2x— l)3 dx.
	Ре ш е н и е . $ (2x — l)3 dx = $ (8x3 — 12x2+ 6x — 1) dx —

=8 § x?dx — 12 ^ x2dx + 6 ^xdx — ^dx —2x4— 4x® + 3x2—

—x -)- C.

1054. $ ( x - 2 fd x .
,055. Ÿ 3±3X* + 4Xdx.
Р еш ен и е .		J(x2+ 3x + 4) rfx =
^ x2dx +	3 ^ xdx + 4 ^ cfx= yX 3+ \|- x 2+ 4x + C.
,056.	1) Y ^ - d w ,	2)
1057.	\х~Ых.
Решение . ^ d x =		- ^ ^ = ^ + C = - ^ + C.

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ